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1、圆与圆位置关系判断教案导入新课思路1.平面几何中，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下：第一步：计算两圆的半径 R,r;第二步：计算两圆的圆心距 OQ,即d;第三步：根据 d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系:外离外切相交内切内含d R+rd=R+r|R-r| vdvR+rd=|R-r|dv |R-r|10-(3r n 1在解析几何中，我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂 课研究白课题，教师板书课题圆与圆的位置关系 .思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆
2、与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系.推进新课 新知探究 提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？如何判断两个圆的位置关系呢？若将两个圆的方程相减，你发现了什么？两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？ 活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互 相交流.教师引导学生阅读教科书中的
3、相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多 少学生利用“图形”求解，对这些学生应1给予表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合 的学科.启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途 径.讨论结果：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有五类，分别是外离、外切、相交、 内切、内含.判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆
4、的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断略.根据所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距（d）与两圆半径（r,R）的和与差之间的关系.判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法，即两个圆的圆心坐标、 半径长、连心线长的 关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为1,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1当dR+r时，圆Ci与圆C2外离；2 当d=R+r时，圆。与圆。外切；3当|R-r| vdvR+r时，圆Ci与圆G相交；4当d=|R-r|时，圆。与圆C2内切；5当d0,所以方程有两个不等的实数根，即圆Ci与圆G
5、相交.方法二：把圆 C：x2+y2+2x+8y-8=0,圆 G：x 2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程，彳#(x+1) 2+(y+4) 2=25 与(x-2) 2+(y-2) 2=10.圆。的圆心是点(-1,-4), 半径长1=5;圆G的圆心是点(2,2),半径长2=，10 .圆G与圆G的连心线的长为 J(1-2)2 +(-4 2)2 =3几，圆。与圆。的半径长之和为1+2=5+ 10 ,半径长之差为r 1-r 2=5- 10 .而 5- ,10 v 3 55 v 5+ ,10 ,即1-r 2V 3 V5 r 1+r2,所以圆G与圆G相交，它们有两个公共点 A、B.点评：判断两圆的位置
6、关系，一般情况下，先化为标准方程，利用几何法判断较为准确直观.变式训练判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程.(1)(x+2) 2+(y-2) 2=1 与(x-2) 2+(y-5) 2=16,(2)x 2+y2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为1=1和2=4,两圆的圆心距d= 2 -(-2)2 (5 -2)2 =5.因为d=r 1+2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x+3) 2+y2=16,x 2+(y+3) 2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距 d= (0-3)2(3-0)2 -
7、3.2.因为|r 1-r 2| v dv r 1+r2,所以两圆相交.例2 已知圆C:x2+y2+2x-6y+1=0,圆Q:x 2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.活动：学生审题，思考并交流，探讨解题的思路，教师及时提示引导，因两圆的交点坐标同时满 足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解：设两圆交点为 A(xi,yi)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组2 22_4x +y +2x6y+1=0,(1)-X2 +y2 -4x +2y -11 =0.(2)-，得 3x-4y+
8、6=0.因为A B两点坐标都满足此方程，所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3), 半径r=3.又点C1到直线的距离为d= | -1：3-4-3* = 9 .32(-4)25所以AB=2 Jr 2 d 2 = 2J32 ()2 =,即两圆的公共弦长为 .555点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动：学生思考交流，回顾圆的方程的求法，教师引导学生注意题目的条件，灵活处理，如图1.所求圆经过原点和 A(0,6),且圆心应在已知圆
9、的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解：将圆C化为标准方程，得(x+5) 2+(y+5) 2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r2.由题意，知O(0,0),A(0,6) 在此圆上，且圆心M(a,b)在直线x-y=0上，则有一 2_22-(0 -a)2+(0-b)2 =r2, a =3,“0 -a)2 +(6b)2 =r2,解得b=3,a-b=0,r =32.A.L于是所求圆的方程是(x-3) 2+(y-3) 2=18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于
10、选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2已知。0方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和。0相切的动圆圆心的轨迹方程 . 活动：教师引导学生回顾学过的知识 ，两圆外切，连心线长等于两圆半径之和 ，两圆内切，连心 线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点 A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P与。0外切时，|PO|=|PA|+2 ;当动圆P与。0内切时，|PO|=|PA| -2.综合这两种情况，得|PO| |PA
11、|二2.将此关系式坐标化，得| . x2 y2 - , (x -4)2y21=2.2化简可得(x-2)2- y_=i.3解法二：由解法一可得动点 P满足几何关系|OP| |PA|二2, 即P点到两定点 Q A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以 Q A为焦点,2为实轴长的双曲线，中心在OA中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=Jc2 _ a2 =2所以轨迹方程为(x -2)2- -y-=1.3点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程，对于圆与圆，要综合平面几何知识、解析几何、代数知识，将条件转化成我们熟悉的形式，利用常规思路去解，求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P141练习题课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法