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1、博弈论习题参考答案（Part. I ）一、选择题1.B2.C3.A4.A5.B6.ABCD7.C8.B9.C二、判断正误并说明理由1 .F 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论2 .T 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论3 .T 博弈类型按局中人数多少分为单人博弈、双人博弈和多人博弈4 .F 博弈双方偏好存在差异的条件下， 一个博弈模型中可能存在2个纳什均衡，如性别战5 .T 零和博弈指参与博弈各方在严格竞争下， 一方收益等于另一方损失，博弈各方收益与损失之和恒为零，所以双方不存在合作可能性6 .T 上策均衡是通过严格下策消去法（重复剔除下策）所得到的占优策略，只能有一个纳什均衡7 .F 纳
2、什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。8 .F局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标9 .T纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，没有人会改变自己的策略而减低自己的收益10 .F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标11 .F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标12 .T 虽然斯塔格伯格模型各方利润总和小于古诺模型，但是领导者的利润比古诺模型时高三、计算与分析题1、（1）画出A、B两企业的损益矩阵。B企业做广告不做广告A
3、企业做广告20, 825, 2不做广告10, 1230, 6（2）求纯策略纳什均衡（做广告，做广告）2、画出两企业的损益矩阵求纳什均衡 （1）画出A、B两企业的损益矩阵白事口乐原价涨价可口可乐原价10, W100, -30涨价-20, 30140, 35（2）求纳什均衡两个：（原价，原价），（涨价，涨价）3、假定某博弈的报酬矩阵如下：a,b_c,de,fg,h如果（上，左）是上策均衡，那么， a?, b?, g?答：ae, bd, fh, ge, bd4、答：（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。北方航空公司合作新华航空公司合作500000, 5000000, 900000900000：
4、060000, 60000（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。答：若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争” （600000）;若新华选择“合作”，北方仍会选择“竞争” （900000500000）。若北方选择“竞争”，新华也将选择“竞争”（600000）;若北方选择“合作”，新华仍会选择“竞争” （9000000）。由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。5、博弈的收益矩阵如下表：乙左右甲上a, bc, d下e, fg, h（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则 a、b、c、d、e、f、g、h之间必 然满足哪些关系？答：从占优策略均衡的定义出发
5、：对甲而言，策略“上” （a,c）优于策略“下 （e,g）;对乙而言，策略“左”（b,f）优于策略“右” （d,h）。所以结论是：ae, bd, fh, cg（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？答：纳什均衡只需满足：ae, bd,（3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？答：占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均 衡的条件。（4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？答：当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。6、乙低价高价甲低价100,80050, 50高价-20 , -30900,
6、 600（1）有哪些结果是纳什均衡？答：（低价，低价），（高价，高价）（2）两厂商合作的结果是什么？答：（高价，高价）8、用反应函数法结合划线法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡 参与人2甲乙丙丁A2,33,23,40,3B4,45,20,11,2C3,14,11,4.10,2D3,14,1-12.10,1参与人1的反应函数:R1（2）=B,若2选择甲二B，若2选择乙=A,若2选择内二C或D,若2选择丁参与人2的反应函数：R2（1）=内，若2选才? A二甲，若2选才? B二丙，若2选if C C二丙，若2选if D D求共集，得纯策略纳什均衡为（B,甲）与（A,丙）9、求出下面博弈的纳什均衡（
7、含纯策略和混合策略）5,00,82,64,5LR甲 UD解：（1）纯策略Nash均衡：由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡, （2）混合策略Nash均衡设甲选择“ U”的概率为P1,则选择“ D”的概率为1-P1乙选择“ L”的概率为P2,则选择“ R”的概率为1-P2对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“ U”和“D”，使乙选择“ L”和“R” 的期望值相等即 P1*0+（1-P1）*6= P1*8+（1-P1）*5解得 P1=1/9即（1/9,8/9）按1/9概率选“ U”、8/9概率选“ D”为甲的混合策略Nash均衡 对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“ L”和“R”，使乙选择
8、“ U”和“D” 的期望值相等即 P2*5+（1-P2）*0= P2*2+（1-P2）*4解得 P2=4/7即（4/7,3/7）按4/7概率选“ L”、3/7概率选“ R”为乙的混合策略Nash均衡10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题:2,30,00,04,2左右下甲 上（1）写出两人各自的全部策略。答：全部策略：（上，左），（上，右），（下，左），（下，右）（2）找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。答：由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略Nash均衡为（上，左）和（下，右）两个(3) 求出该博弈的混合策略纳什均衡。解：设甲选择“上”的概率为 P1 ，则选择“下”的概率为 1-P1乙选择“左”的概率
9、为P2,则选择“右”的概率为1-P2对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下” ，使乙选择“左”和“右”的期望值相等即 P1*3+(1-P1)*0= P1*0+(1-P1)*2解得 P1=2/5即( 2/5,3/5 )按 2/5 概率选“上” 、 3/5 概率选“下”为甲的混合策略 Nash 均衡对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右” ，使乙选择“上”和“下”的期望值相等即 P2*2+(1-P2)*0= P2*0+(1-P2)*4解得 P2=2/3即( 2/3,1/3 )按 2/3 概率选“左” 、 1/3 概率选“右”为乙的混合策略 Nash 均衡11、 某寡头垄断市场上有两
10、个厂商， 总成本均为自身产量的 20 倍， 市场需求函数为 Q=200-P。求： ( 1)若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？( 2) 若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量， 则各自的利润情况如何？( 3)用该案例解释囚徒困境。答： ( 1)由已知条件Q=200-P， P=200-QTC1=20q1， TC2=20q2 q1+q2=Q可得 1,2 厂商的利润函数分别为：K1=Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2K2=Pq2-TC2=(200-(q1+q2)q2-20q2=180q2-q22-q1q2令 dK/dq1=0得厂商1 的反应函数
11、为180-2Q1-Q2=0，令 dK/dq2=0得厂商2 的反应函数为180-Q1-2Q2=0，联解可得 q1=q2=60K1=K2=3600(2) 由已知条件Q=200-P ， P=200-QTC=TC1+TC2=20q1+20q2 =20Q可得1,2厂商的总利润函数为：K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2令 dK/dQ=0 得 Q=90,q1=q2=45K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2=8100K1=K2=4050(3) 将q1=45,q2=60和q1=60,q2=45分别代入1,2厂商的利润函数可得1,2厂商的利润为：K1 (q1=45,q2=
12、60) =Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375K1 (q1=60,q2=45) =Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500K2 (q1=45,q2=60)=Pq2-TC2=(200-(q1+q2)q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500K1 (q1=60,q2=45) =Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375J商2合作（q2=45）不合作（q2=60）)商1合作（q1=45）4050, 40503375, 4500
13、不合作（q1=60）4500, 33753600, 3600根据划线法，可得厂商1.2的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600）双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图）,回答下面问题。进入者20)，25)右图：残酷型9（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡(1)温柔型在位者的纳什均衡为(进入，默认)残酷型在位者的纳什均衡为(不进入
14、，(进入，斗争)(2)已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？20 P 10(1 p) 0 得到 p 1/3四、论述题1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。(1)假设条件举例：两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。他们被分别关在不同的牢房无法互通信息。各囚徒都被要求坦白罪行。如果两囚徒都坦白，各将被判 入狱5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱 2年；如果一个 囚徒坦白而另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱1年，而不坦白的囚 徒将被判入狱10年。(2)囚徒困境的策略矩阵表。每个囚徒都有两种策略：坦白或不坦白。表中的 数字分别代表囚徒甲和乙的得益。囚徒乙坦白不坦白囚徒
15、甲坦白-5, -5-1, -10不坦白-10, -12 -2(3)分析：通过划线法可知：在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦 白”。给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的 最优策略也是坦白。而且这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡， 即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。其结果是双方都坦白。(4)商业案例：寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔， 选择垄断利润最大化产 量，每个厂商都可以得到更多的利润。 但卡特尔协定不是一个纳什均衡， 因为给 定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增
16、加生产，结果是每个厂商都只得到纳 什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。为什么其均衡是一种囚徒困境？见上课笔记或计算题第11题3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励(监管)悖论”。(1)假设条件举例：偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。门卫可以不睡觉，或者睡觉。小偷可以采取偷、不偷两种策略。如果小偷知道门 卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。对于门卫， 如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去 睡觉。(2)小偷与门卫的支付矩阵表(假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不睡觉时偷一
17、定会被抓住)门卫睡觉不睡觉小偷偷 1,-1 -2, 0不偷0, 2 0, 0(3)分析：通过划线法可知：这个博弈是没有纳什均衡的。门卫不睡觉，小偷不偷，双方都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作 得不到奖励，小偷被判刑丧失效用2单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很 愉快得到效用2单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，门卫因失 职被处分而丧失效用1单位，小偷偷窃成功获得效用1单位。(4) “激励(监管)悖论”说明：现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分 子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过 分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫 将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多， 偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。如果偷窃集团倾巢出动， 那么门卫的选择也是全部不睡觉， 但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不 偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。(5)结论：加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃(而只能使门卫偷懒) 加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。这种门卫和小偷的博弈所揭示 的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”