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1、6-1 对线性系统x& Ax Buy Cx Du 作状态反馈u Kx v ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解 将反馈律代入状态空间模型，则有x& Ax B( Kx v) (A BK)x Bvy Cx D( Kx v) (C DK)x Dv 因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为x& (A BK)x Bvy (C DK)x Dv 1 GK(s)(CDK)(sIABK) B D6-2 对线性系统 x& AxBuy CxDu作输出反馈u=-Hy+ v,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解 将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有y Cx D( Hy v) Cx DHy Dv
2、 即(I DH )y Cx Dv因此，当 (I DH )可逆时，闭环系统输出方程为11y (I DH) 1Cx (I DH) 1Dv将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有x& Ax BuAx B( Hy v)11A BH(I DH) 1Cx BH(I DH) 1D Bv当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为11x& A BH(I DH ) Cx BH(I DH ) D Bv 11y (I DH) 1Cx (I DH)1Dv11111GH(s) (I DH) 1CsI A BH(I DH ) 1C 1BH(I DH ) 1D B (I DH ) 1D6-3给定被控系统的状态方程为试确定一个状
3、态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在 -2 j处。解1)判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为B AB则开环系统为状态能控，可以进行任意极点配置。2)求能控规范II形：11工0 1B AB - 0 1 31T11 0 1Tc2T1A3 3 1% Tc21ATc20 1 ,小 Tc21Bc2 c25 2-2 j所确定的期望的闭环特征多1 0 118 163 3 15万因此系统开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点项式f(s)=s2+4s+5,得系统的状态反馈阵K为K KTc21 a； a；-a1Tc215-(-5) 4-(-2)则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
4、510/3x31通过验算可知，该闭环系统的极点为-2 j,达到设计要求。6-4给定被控系统的状态方程为2 1000问能否确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点分别配置在下列位置(1) S1=-2, S2=-2, S3=-2, S4=-2(2) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-2(3) S1=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-3解：由于开环系统模型为约旦规范形，因此由模态判据知，该系统特征值2的子系统完全能控，因此2重的开环极点2可以任意配置；而特征值 -2对应的2维子系统不完全能控，但由于其对应的2维子系统的能控性矩阵的秩为1,故2重的开环极点-2应有一个可以任意配
5、置，一个不能配置(不能控)。根据上述分析结果，可以判定如下：(1) S1=-2, S2=-2, S3=-2, S4=-2由于期望闭环极点有一个为-2,因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-2,而一个不能配置的极点也为-2,符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望 位置上。(2) si=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-2由于期望闭环极点有一个为-2,因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-3,而一个不能配置的极点还为-2,符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望 位置上。(3) si=-3, S2=-3, S3=-3, S4=-3由于期望闭环极点
6、没有-2极点，因此，不存在状态反馈律将不能配置的极点-2还为配置在期望的4个极点的任何一个上。6-5判断下述系统是否能镇定，若能镇定，试设计一个状态反馈使系统成为稳定的。101(2) x 020 x102解：(1)先对系统进行能控性分解0rank B AB rank 01表明系统不完全能控，取能控性分解变换矩阵Pc为0 0 41Pc0 10,Pc11 3 0I于是可得 0 10A Pc 1APc1 3=0; -* 310 01原系统的能控性分解为0 01 12 n3 403 10100.2500由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点 统是可镇定的。-1,因此不能控子系统是稳定的，系再对
7、能控部分进行极点配置。由上可知，系统的能控部分为%1、I* .设A为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且%A1110 .B1K1,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2,因此有a*Ai的0 11 3 . 显然，当反馈阵K1为1%ki此时，闭环极点为-3和-2。求取原系统的状态反馈镇定矩阵Kk2k1 1k213k28 31K K% 0 PC1 8 3103 100100 7 80.250 0经检验，状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。100A BK 001(2)先对系统进行能控性分解1010rank B ABrank 0 00表明系统不完全能控，取能控性分解变换矩阵 Pc为010201Pc0 0
8、 3,PC11001200.1/30于是可得010% Pc1APC1 3g0;幽 PC1B0 02原系统的能控性分解为010130q ;00 02由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点 统是可镇定的。-1, 因此不能控子系统是稳定的 ,系,系统的能控部分为(2) 对能控部分进行极点配置。由上可知A%110113B%1、I* .一.设 A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且-1 和-2 ， 因 此有AA11B1K1,本例中设期望的闭环极点取为A*A%11B%1K%1013110k1k2k11 k213显然，当反馈阵11为K%1k1 k26 19此时,闭环极点为-1 和-2。(3) 求取
9、原系统的状态反馈镇定矩阵K201KK%10 Pc 16 19 01007060. 1/3 0经检验,状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。101A BK 02 06046-6 已知系统状态空间模型的各矩阵为010A 001，B100试判断该系统的输出反馈可镇定性。解 设输出反馈u=h1h2y,因此闭环系统的系统矩阵为010A BHC 0 011001 h10h2100001010h1 01 h2100其特征多项式为s3+ his-(l+ h2)。由劳斯判据可知，该系统不可能通过输出反馈进行镇定。本题系统为能控能观的，根据定理6-5 ，其输出反馈可镇定性。6-7 已知待解耦的传递函数矩阵为。
10、11Gp(s) ss1s(s 1)试作一前馈补偿器 Gc(s)使系统解耦，且其传递函数阵为G(s)1(s 1)2(s2)解 根据6.4.1节的方法，前馈补偿器Gc(s)为一一 1 一Gc(s) G；(s)G(s)I G(s).1ss 1s(s 1)(s 1)2(s(s2)1(s 1)(s 2)(s 1)(s(s 1)(s2)s(s 2)s2 1s2(s 2)(s2s1)3s 1(s 1)2s(s23s1)6-8已知状态空间模型的各矩阵为01 ,C0试判断该系统能否实现状态反馈解耦。右目匕，求其积分型解耦系统。解：由于C1B 1C2B 00,0,C2TAB 0 1,可知110, l2 1。从而C
11、1BC2 ABC1AC2A100 1 ,004440状态反馈解耦控制律的反馈矩阵与前馈矩阵为KE 1FHE 1004 41 00 1因此，状态反馈解耦控制闭环系统传递函数阵为一一_1 _Gd(s) C(sI A BK) BH1s 2100 04 s 2 00 100 s 1 06-9给定被控系统的状态空间模型为&y 1 1 0 x试确定一个状态观测器，要求将其极点配置在-2,-2和-3处。解（1）用方法一求解。利用对偶性方法，求得原系统的对偶系统为(於%C%1011210 ,1 , 2 0 1根据6.2节进行极点配置方法，可计算出对偶系统的状态反馈阵K为即所求状态观测器的反馈阵 则相应状态观测
12、器为62 (y ?)17822X 211 契 0 u0111y 1 1 o父6-10给定被控系统的状态空间模型为12 02试设计一个降维状态观测器 ，要求将观测器的极点配置在 -3和-5处。解(1)由于输出C已为规范形式，则系统各矩阵可分解为如下形式12 ! 02A 31 ； 1 B 1三,0 2 ; 01IC 0 0 1(2)因此，降维状态观测器的特征多项式为f(s) |sI F| sI 的 LA21sI 12L10 231L2s 12 2L13 s 1 2L22s 2L2s 72L2 6L1(3)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为一 *2f (s) (s 3)(s 5) s 8s 15
13、令f(s)=f*(s),则可得LL15L24(4)故，可得降维状态观测器的各矩阵为 1 25F A11 LA210 22720314G A12 LA22 FL25H B1 LB2114z& Fz Gy Hu18 z392720 y105z Lyx?0 1 z 4 yy0016-11 给定被控系统的状态空间模型为0100x& 001 x 0 u2431y 1 4 2x该系统的状态不能直接测量,试设计一个带状态观测器的状态反馈系统,要求将其状态观测部分的极点配置在-5,-7 和-8 处,状态反馈部分的极点配置在-1,-2 和-3 处。解：根据 6.2 节求解极点配置方法，得到反馈矩阵为 K=4 7 3 ；再根据 6.5 节求解状态观测器反馈矩阵的方法，得到反馈矩阵为G=-353/3 260/3 -106T。因此，所设计的带状态观测器的状态反馈系统的状态反馈律：u 4 7 3x? v状态观测器为0100x?&001 x? 0 u2431353/ 3260/ 3 ( y y?)106y? 1 4 2 x?