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1、国际象棋中的数学问题国际象棋中的数学问题 国际象棋中的数学问题 一个国际象棋盘，是一个 88 的 64 方格，欧拉曾研 究过棋盘上马的跳跃问题，他证明了，存在一个马的跳跃路 线，从一点出发，经过每一格一次且仅一次。最后又跳回到 初始点。 上述的这样一个马步跳跃路线，称为棋盘上的马步哈密顿回 路；如果不限制最后一步还要能跳回到始点，则称为马步哈 密顿路。定义 m，n 是正整数，一个（m，n）马，是指在一 个充分大的棋盘上一步可纵横跳 m，n 个格或 n，m 个格。于 是，国际象棋的马是（1，2）马。下面给出一个定理，它刻 画了（2，3）马和（ 1，2）马的本质区别。定理从88 棋盘上任一点出发，
2、均不存在（2，3）马的马步哈密顿路。 证把 88 棋盘分成 A，B 两个区，分两种情形证明： （1）若起始点在 A 区，存在（2，3）马的马步哈密顿路， 由于从 A 区的任一方格经一步（2，3）马，它可以到 A 区的 一格或 B 区的一格；而由 B 区的一格经一步（2，3）马只能 跳到 A 区的一格，注意到 A 区的方格数和 B 区的方格数是同 样多的，所以必须从 A 区到 B 区，再由 B 区至 A 区的交替跳 跃，才可能不重复地跳遍 A，B 两区。另一方面，我们把棋 第 1 页 盘依黑白两色染色，这样，从 A 区的白（黑）格，经一步（2， 3）马，必到 B 区的黑（白）格，再从 B 区的黑
3、（白）格经 一步又回到 A 区的白（黑）格，如此下去，则只能跳过 A 区 的白（黑）格和 B 区的黑（白）格，这和其存在（2，3）马 的马步哈密顿路相矛盾。 （2）若起始点在 B 区，若存在着马步哈密顿回路，则（2， 3）马不能交替地在 B 区与 A 去之间跳跃，否则归约到情形 （1）的类似证明。于是，存在一步且仅有一步从区到区的 跳跃，这是因为 A 区与 B 区的方格数相等，从 B 区的方格经 一步（2，3）马必须跳到 A 区的缘故。考虑下面的 3 行，现 考虑（2，3）马在 P，Q，R 之间的跳跃。若 P，Q，R 均尚未 跳过。有以下情形： （i） （2，3）马首先跳到 P 点（首先跳 到
4、 R 的情形是类似的） ，由 A，B 区的构造，知必是 A 区跳到 P 点的。继而由（2，3）马从 P 至 Q，Q 至 R.如果只不是最 后一个未跳过的点。则下一步必须跳至 A 区的某一点。这样 就出现了在 A 区之间的 2 次跳跃，因此 R 就是最后一个未跳 过的点。当 R 是最后一个未跳过的点时，则考虑点 S，T，U 之间的（2，3）马的马步跳跃。当先跳到 S 或 U 时，由上述 讨论可知，在 S，T，U 间会出现第 2 次从 A 区到 A 区的跳跃； 当先跳到 T 时，由下述（ii）的推理知至少出现两次从 A 区 到 A 区的跳跃。 （ii） （2，3）马首先跳到 Q 点，则（2，3）马从 Q 至 P，P 第 2 页 必至 A 区，经若干步又由 A 区跳到 R 点，至少出现 2 次从 A 区至 A 区的跳跃。 （Q 先至 R 后到 P，讨论相同） 若从 Q 不跳到 P 或 R 点，它必跳到 A 区的某一点，则在以后 的跳跃中，必然会出现一次从 A 区跳至 P 点，一次从 A 区跳 至 R 点， 同样会出现至少 2 次的从 A 区至 A 区的跳跃。 总之， 至少存在着 2 步从 A 区至 A 区的（2，3）马的跳跃，这与存 在（2，3马马步哈密顿路及 A 区，B 区方格数相等相矛 盾，定理证毕。 第 3 页