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1、7-7-3.7-7-3.几何中的重叠问题几何中的重叠问题 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 教学目标教学目标 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：AB A B AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“” 读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下 :A表示小圆 部
2、分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B，即阴影面积图示如下:A表示小圆 B，即阴影面积 1先包含A B 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A A 的元素的个数，可分以下两步进行：B B A B 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进 1AB来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和
3、A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABC A B C AB BC AC ABC图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， C 1先包含：A B C 重叠部分AB、BC、C多加了1次A重叠了2次， 2再排除：A B C AB BC AC 第 1 页 ABC3A B C AB BC AC 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 【例【例 1 1】 把长把长38厘米和厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长
4、厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多厘米，焊接后这根铁条有多 长？长？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以， 由包含排除法知， 焊接后这根铁条长38534 87(厘 米) 【答案】87 厘米 【巩固】【巩固】 把长把长23厘米和厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多厘米，焊接后这根铁条有多 长？长？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁
5、条长：2337357(厘米) 【答案】57 厘米 【例【例 2 2】 两张长两张长4厘米，宽厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方 厘米？厘米？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形， 如 果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各 被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠 部分于是，被覆盖面积
6、4222212(平方厘米) 【答案】12 厘米 【巩固】【巩固】 如图如图3，一张长，一张长8厘米，宽厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为 4厘米的正方形，求这个组合图形的面积厘米的正方形，求这个组合图形的面积 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果 利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各 被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所
7、以，组合图形的面积长方形面积正 方形面积重叠部分于是，组合图形的面积：866644 68(平方厘米) 【答案】68 平方厘米 【巩固】【巩固】 一个长方形长一个长方形长12厘米，宽厘米，宽8厘米，另一个长方形长厘米，另一个长方形长10厘米，宽厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个厘米，它们中间重叠的部分是一个 边长边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积厘米的正方形，求这个组合图形的面积 【考点】几何中的重叠问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如 果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么
8、重叠部分在两个长方形面积中各被计算 了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠 部分于是，组合图形的面积12810644 140(平方厘米) 【答案】140 平方厘米 【例【例 3 3】 三个面积均为三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上平方厘米的圆纸片放在桌面上( (如图如图) )， 三个纸片共同重叠的面积是三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米平方厘米 三三 个纸片盖住桌面的总面积是个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】将图中
9、的三个圆标上A、B、C根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积(A圆面积B圆 面积C圆面积） （A与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积） 三个纸片 共同重叠的面积， 得：100 （505050） （A与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合 例题精讲例题精讲 第 2 页 部分面积） 10，得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：160100 60平方厘米，而这个面 积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103阴影部分 面积，则阴影部分面积为：603030(平方厘米) 【答案】30 平方厘米 【巩固】【巩固】如如图，图，已知甲、已知甲、乙、乙
10、、丙丙 3 个圆的面积均为个圆的面积均为 30，甲与乙、甲与乙、乙与丙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为甲与丙重合部分的面积分别为 6，8， 5，而，而 3 个圆覆盖的总面积为个圆覆盖的总面积为 73求阴影部分的面积求阴影部分的面积 【考点】几何中的重叠问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】设甲圆组成集合 A，乙圆组成集合 B，丙圆组成集合 C A B C=30，AB=6，BC=8，AC=5，ABC=73， 而ABC=A B C AB BC AC ABC. 即ABC=2， 即甲、 乙、 丙三者的公共面积(部分面积)为 2 那BC，有 73=303-6-8-5+A 么只是甲与乙()，乙与丙(
11、)，甲与丙()的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影 部分(、部分之和)的面积为 73-4-6-3-2=58 【答案】58 【例【例 4 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘米阴影部分的面积总平方厘米阴影部分的面积总 和是和是40平方厘米，平方厘米， 3张板盖住的总面积是张板盖住的总面积是100平方厘米，平方厘米， 3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】阴影部分是有两块重叠的部
12、分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次所以三张纸重叠 部分的面积 （60310040） 2 20(平方厘米) 【答案】20 平方厘米 【巩固】【巩固】如如图所示，图所示，A、B、C分别是面积为分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在 外面的总面积为外面的总面积为38若若A与与B、B与与C的公共部分的面积分别为的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的这三张纸片的 公共部分为公共部分为3求求A与与C公共部分的面积是多少？公共部分的面积是多少？ 【考点】几何中的重叠问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得： 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12 2816 56，那么每两个图形的公共部分的面积 都重复计算了1次，因此要排除掉 再“排除”：5687 x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回 再“包含”：5687 x3，这就是三张纸片覆盖的面积 根据上面的分析得：5687 x338，解得：x 6 【答案】6 第 3 页