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1、2012-2018年新课标全国卷I文科数学汇编立体几何-、选择题【2017, 6如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB与平面MNQ不平行的是（）【2016, 7如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 28 兀直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）3A. 17 冗B. 18 冗C. 20 冗 D. 28 冗【2016, 11平面过正方体ABCD AB1clD1的顶点A,/平面CB1D1 , I平面ABCD m ,I平面ABB1A1 n ,则m,n所成角的正弦值为（）D.【2015, 6
2、】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委M依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为M几何？ ”其意思为：在 屋内墙角处堆放 M （如图，M堆为一个圆锥的四分之一），M堆底部的弧长为 8尺，M堆的高为5尺，M堆的体积和堆放的 M各位多少？ ”已知1斛M的体 积约为1. 62立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放的 M有（）A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D . 66 斛【2015, 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的16+20%,则 r=（）BA. 1 B. 2
3、C. 4 D. 8【2015, 11】12014, 82013, 11】12012,4 / 17则这个几何体是（）【2014, 8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图,A .三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱【2013, 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A . 16+8 兀B. 8+8 兀C. 16+16 兀D. 8+16 兀【2012, 7】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A. 6B. 9C. 12D. 15【2012, 8平面 截千。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面 的距离为 J
4、2 ,则此球的体积为()A.捉B. 4加C. 4娓D. 673【2018, 5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 Oi,。2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积 为8的正方形，该圆柱的表面积为A. 122 兀B. 12 兀C. 82 兀D. 10兀【2018, 9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点 的长度为A. 2.C. 3N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径【2018, 10在长方形BB1C1C所成的角为30 ,则该长方体的体积为A. 8 B. 6C. 8D.8.二、填空题
5、【2017, 16已知三棱车B S ABC的所有顶点都在千O的球面上，SC是球O的直径.若 平面SCA 平面SCB, SA AC, SB BC ,三棱锥S ABC的体积为9,则球O的表面积为 .【2013, 15已知H是球O的直径AB上一点，AH : HB=1 ： 2, AB,平面& H为垂足，a截千O所得 截面的面积为 兀，则球O的表面积为 .三、解答题【2017, 18如图，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD ,且 BAPCDP 90(1)证明：平面 PAB 平面PAD ; (2)若PA PDP ABCD的体积为8,求该四棱锥的侧面积.3AB DC , APD 90 ,且四棱锥【20
6、16, 18如图所示，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA 6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点 E.连结PE并延长交AB于点G .(1)求证：G是AB的中点；(2)在题图中作出点 E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体 PDEF的体积.的体积为,求该三棱锥的侧面积. 3【2015, 18如图四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE，平面ABCD,(I )证明：平面 AECL平面BED;(n )若/ ABC=120, AEXEC,三棱锥 E- ACD【2014,19如图，三棱柱ABC AB1C1中，侧面BB1C1C为菱形，
7、B1c的中点为。，且AO 平面 BB1C1C .(1)证明：BC AB；(2)若 AC AB1, CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC A14G 的高.【2013, 191证明：如图，三棱柱 ABCAiBiCi 中，CA=CB, AB=AAi, /BAAi = 60.ABXAiC; (2)若 AB=CB=2, AiC=舵,求三棱柱 ABC AiBiCi 的体积.5 / i7【2012, 19如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面,的中点.(1)证明：平面BDCi,平面BDC;(2)平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1ACB 90 , AC=BC= - AA1
8、, D 是棱 AA1 28 / 17解读接AB与平面MNQ不平行的是()【2018, 18如图，在平行四边形 ABCM中，AB=AC=3 , / ACM=90。，以AC为折痕将4ACM折起, 使点M到达点D的位置，且 ABXDAo(1) 证明：平面 ACDL平面ABC;ji(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=3DA,求三棱锥 Q-ABP的体积。-、选择题【2017, 6如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直【解法】选 A.由B, AB / MQ,则直线AB /平面MNQ ;由C, AB / MQ ,则
9、直线AB /平面MNQ ;由 D, AB / NQ,则直线 AB /平面MNQ .故A不满足,选 A.【2016, 7如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 招工，则它的表面积是()3A. 17 冗B. 18 冗C. 20 冗D. 28 冗解读：选A.由三视图可知，该几何体是一个球截去球的-,设球的半径为R,则7 4 R3史二解 88 33得R 2.该几何体的表面积等于球的表面积的7， 人 ，一,一一一人口一一一一，1,加上3个截面的面积，每个截面是圆面的一，84所以该几何体的表面积为7212S4 兀223九228414冗3冗17 7t.故
10、选A.【2016, 11平面过正方体 ABCD AB1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,I 平面 ABCD m, I平面ABB1A1 n ,则m,n所成角的正弦值为（）解读：选A.解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面即平面AEF,即研究AE与AF所成角的正弦值，易知EAF ,所以其正弦值为3解法二（原理同解法一）：过平面外一点 A作平面 ，并使 /平面CB1D1,不妨将点 A变换成B ,作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面A1BD ,如图所示，即研究 AB与BD所成角_.3的正弦值，易知 ABD ,所以其正弦值为.故选A .32C. 1
11、6+16 兀10 / 17D. 8+ 16 兀今有委M依垣内角， （如图，M堆为一个圆锥的【2015, 6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： 下周八尺，高五尺，问”积及为M几何？ ”其意思为： 在屋内墙角处堆放 M 四分之一），M堆底部的弧长为 8尺，M堆的高为5尺，M堆的体积和堆放 的M各位多少？ ”已知1斛M的体积约为1 . 62立方尺，圆周率约为 3,估 算出堆放的”有（）BA. 14 斛B. 22 斛 C. 36 斛 D . 66 斛1 一一 一 16解：设圆锥底面半径为 r,依题一2 3r 8 r ，所以M堆的体积 43位 11162320,320,为一 一
12、 3 （一） 5 ,故堆放的 M约为勺.62= 22故选B.43399【2015, 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20兀，则r=（） BA. 1 B. 2 C. 4 D. 8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 2 武2+ 武 X2r+ 2+2r X2r =5 22=16.所以所求体积为 16 + 8兀.故选 A .2【2012, 7】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A. 6B.
13、9C. 12D. 15【解读】由三视图可知，该几何体为 三棱锥 A-BCD ,底面 BCD为 底边为6,高为3的等腰三角形，侧面ABD，底面BCD , AO，底面 BCD , 因此此几何体的体积为1 ,1-C、CCV -(-63)39,故选择 B.32【2012, 8 8.平面 截千。的球面所得圆的半径为距离为J2,则此球的体积为()A. 66B. 4A/3【解读】如图所示，由已知 O1A 1,OO1 J2,在Rt 001A中，球的半径R OA J3,所以此球的体积v r3 473 ,故选择B.3【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算.18 / 17【解读】由几何体的正视图和侧视图可知
14、，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.故选D.【2018, 5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1,。2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表面积为B【2018, 9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点 为A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径 的长度为BC. 3D. 2【2018, 10在长方形 ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=2 , AC 1与平面BBiCiC所成的角为30 ,则该长方
15、体的体积为CA. 8 B. 6 枢C. 8 京D.81百二、填空题【2017,16】已知三棱车B SABC的所有顶点都在千O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面 SCB , SA ACSB BC ,三棱锥S ABC的体积为9,则球O的表面积为取SC的中点O,连接OA,OB,因为SAAC,SBBC ,所以OA SC,OBSC,平面 SAC平面 SBC以 OAVA SBCSsbc OA1 31 3-r3 ,所以r333所以球的表面积为 4 r2【2013, 15已知H是球O的直径AB 上一点，AH : HB=1 ： 2,ABL平面a, H为垂足,截面的面积为K则球O的表面积为答案:解读:9
16、一冗2如图,设球 O 的半径为 R,贝U AH=2R, OH=R.又兀EH2=国 /. EH = 1 .二在 RtAOEH 中，R2= 332 +12 ,R2= . S 球=4 kR2=上 .382【2011, 16已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的-3,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.1633【解读】设圆锥底面半径为 r ,球的半径为 R ,则由 - -3 4成2,知r2 - R2 .164根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB.设 P
17、O x, QO y ,则 x y 2R .又 APO Bs/ BO Q ,知 r2 OB2 xy .即 xy r2 3R2.4由 及x y可彳导x 3R, y R . 22则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为,1故答案为-.3【2017, 18如图，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD,且BAPCDP 90(1)证明：平面 PAB 平面PAD ; (2)若PA PDP ABCD的体积为8,求该四棱锥的侧面积.3AB DC , APD 90 ,且四棱锥【解法】(1) Q BAPCDP 90 , AB AP,CD DP三、解答题又Q AB / CD AB DP又AP 平面PAD
18、 , DP平面 PAD，且 API DP PAB 平面PADQ AB 平面PAB ,所以平面PAB平面PAD90 ,所以 PAD为等腰直角三角形(2)由题意：设 PA PD AB DC=a,因为 APD即 AD= 2a取AD中点E ,连接PE ,则PE a , PE AD .2又因为平面PAB 平面PAD所以PE 平面ABCD因为AB 平面PAD , AB / CD所以 AB AD, CD AD又 AB DC=a所以四边形ABCD为矩形1121 3 8也Vp abcd -gABgADgPE -gag. 2ag-a -a -33233即a 2S侧=1 2 2 3+1 2/2 6=6+2 , 32
19、2【2016, 18如图所示，已知正三棱锥 P ABC的侧面是直角三角形，PA 6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点 E .连结PE并延长交AB于点G .(1)求证：G是AB的中点；(2)在题图中作出点 E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.B解读：(1)由题意可得 ABC为正三角形，故 PA PB PC 6.因为P在平面ABC内的正投影为点 D ,故PD 平面ABC .又AB 平面ABC ,所以AB PD.因为D在平面PAB内的正投影为点 E ,故DE 平面PAB.又AB 平面PAB ,所以AB DE .因为 AB PD,
20、 AB DE, PDI DE D, PD, DE 平面 PDG , 所以AB 平面PDG .又PG 平面PDG ,所以AB PG .因为PA PB,所以G是AB的中点.(2)过E作EF/ BP交PA于F ,则F即为所要寻找的正投影.理由如下，因为 PB PA, PB/ EF ,故EF PA.同理EF PC , 又 PAI PC P, PA,PC 平面 PAC ,所以 EF 平面 PAC , 故F即为点E在平面PAC内的正投影.1 _ 1 _ _ _所以 Vd pef Szxpef DE PF EF DE .36在 4PDG 中，PG 3应，DG娓,PD 2J3,故由等面积法知 DE 2.由勾股
21、定理知 PE 2J2,由4PEF为等腰直角三角形知 PF EF 2,故VDPEF【2015, 18如图四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD交点,(I )证明：平面 AECL平面BED;(n )若/ ABC=120, AEXEC,三棱锥 E- ACD的体积为-6,求该三棱锥的侧面积.3解：(I ) . BE,平面 ABCD, BEX AC. . ABCD 为菱形，BDXAC,AC，平面BED ,又AC 平面AEC,平面 AECL平面 (11)设人8=*,在菱形 ABCD中，由/ ABC=120可得，BE,平面 ABCD,BED.6分一一 3_ _ xAG=GC= x , GB=GD=在RtAA
22、EC中，可得EG =.32在RtAEBG为直角三角形，可得BE=?x. Veacd 1 1AC GD BE x3 ,解得 x =2. 3 2243由 BA=BD=BC 可得 AE= ED=EC= 层.MEC的面积为3, AEAD的面积与 AECD的面积均为 J5 .所以三棱锥E-ACD的侧面积为3+2 J5.12分18.解读(1)因为BE 平面ABCD ,所以BE AC .又ABCD为菱形，所以 AC BD .又因为 BDI BE B, BD, BE 平面 BED,所以AC 平面BED .又AC 平面AEC ,所以平面AEC 平面BED .(2)在菱形 ABCD 中，取 AB BC CD AD
23、 2x,又 ABC 120,所以 AG GC 73x, BG GD x.在 AEC 中， AEC 90,所以 EG 1AC V3x, 2所以在 RtEBG 中，BE VEG2 BG2 &x,所以 VE ACD 1 1 2x 2x sin120 J2x x3 巫，解得 x 1 . 3 233在 RtA EBA , RtAEBC , RtEBD 中，可得AE EC ED 娓.所以三棱锥的侧面积 S侧212J51J6J6 3 2庭.22【2014,19如图，三棱柱ABCABQ1中，侧面BBQQ为菱形，B的中点为。，且AO 平面 BB1GC .(1)证明：B1C AB；(2)若 AC AB1, CBB
24、1 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC A14G 的高.证明：(I)连接BC1,则。为B1C与BC1的交点，. AO,平面 BB1C1C. /.AOB1C,2 分因为侧面BB1C1C为菱形，；BC11B1C,分 BC平面 ABCi, v AB 平面 ABCi,故BiCLAB.6分(H)作 ODBC,垂足为 D,连结 AD, AOBC, . BC，平面 AOD,又BC 平面ABC, 平面 ABC，平面AOD,交线为AD,作OH，AD,垂足为HOH，平面ABC.9分3./CBBi=60 ,所以ACBBi为等边三角形，又BC=1 ,可得OD=J,41 1227由于 ACLABi, . OA B1ca
25、 AD JOD2 OA2 ,2 2421由OH-AD=OD OA,可得OH= 詈，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为五，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为叵。仅分77另解(等体积法)：.一/ CBB1=60,所以ACBB1为等边三角形，又BC=1,可得 BO=比，由于 ACLAB1, . OA 1B1c 1,.AB=1, AC=,乡分 2222则等腰三角形ABC的面积为1 J12 ()2 4，设点B1到平面ABC的距离为d, 2 248由 Vb1-abc=Va-bb1C 得 Y7d 1,解得 d 11 842721所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为卫。T2分7【2013
26、, 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB, AB= AA1, /BAA1 = 60.(1)证明：ABXA1C; (2)若 AB=CB=2, A1C= J6 ,求三棱柱 ABC A1B1C1 的体积.证明：(1)取AB的中点O,连结OC, OA，A1B. 因为CA = CB,所以OCLAB.由于 AB = AAi, /BAAi = 60,故4AAiB为等边三角形，所以 OAi AB.因为OCnOAi =。，所以AB，平面OAiC.又 A1C?平面 OAiC,故 AB AiC,(2)解：由题设知 ABC与AAAiB都是边长为2的等边三角形，所以 OC = OAi= J3.又 AiC
27、= 66 ,则 AiC2= OC2+ OA12 ,故 OAiXOC.因为OCAAB=O,所以OA平面ABC, OAi为三棱柱ABC AiBiCi的高.又ABC的面积Saabc = J3 ,故三棱柱 ABC AiBiCi的体积V=字abcXOAi = 3.90 , AC=BC= - AAi, D 是棱 AAi2【20i2, i9如图，三棱柱ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，ACB的中点.(i)证明：平面BDCH平面BDC;(2)平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解读】(i)在Rt DAC中，AD AC ,得： ADC 45 ,同理：AiDCi 45 CDCi 90 ,得：D
28、Ci DC .由题设知 BCXCCi, BCXAC, CCi I AC C,所以BC 平面ACC1A .又DCi 平面ACC1Al ,所以DCi BC而DC I BC C ,所以DCI平面BDC .又DC1 平面BDC1，故平面BDC平面BDC.I5 / 17(2)由已知AC=BC= 1AAi, D是棱AAi的中点，2123设 AA 2a, AC BC AD a,则 Vabc a,b1G 5 a 2a a由(1), BC 平面ACC1A1,所以BC为四棱锥B ACC1D的高,11 -1 3所以 Vb accd ( 3a a) a a .132222 / 17因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积
29、的比为VABC A1B1clVB ACC1DACC1D【2011, 18如图所示，四棱锥PPD 底面 ABCD.(1)证明：PA BD ；若PD AD 1,求棱锥D【解读】(1)因为 DBA 600,从而 BD2 AD2 AB2,故 BDABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 600,PBC的高.AB 2AD ,AD ,又PD 底面ABCD ,可得BD PD .所以BD 平面PAD，故PA BD .(2)如图所示，作 DE PB,垂足为E .已知PD底面ABCD ,则PDAB由(1)知 BD AD ,又 BC / AD ,所以 BC 故BC 平面PBD, BC DE ,则DE 平面因为
30、AD 1 , AB 2 , DAB 600,所以BD J3,又PD 1,所以PB 2.3根据DE PB PD BD ,得DE ,即棱锥2【2018, 18如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3 , / ACM=90 ，以 AC 为折痕将 4ACM 折起,使点M到达点D的位置，且 ABXDAo(3)(4)证明：平面 ACDL平面ABC;Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 BP=DQ=9 DA,求三棱锥 Q-ABP的体积。18.解：（1）由已知可得,BAC =90BA AC .又BAXAD,所以 ABL平面 ACD .又AB 平面ABC,所以平面 ACDL平面 ABC.(2)由已知可得，DC=CM=AB=3, DA = 3j2 .又BP DQ 2 DA,所以BP 2夜.3作QEAC,垂足为E,则QE P1DC .3由已知及(1)可得DC,平面ABC,所以QEL平面ABC, QE=1.因此，三棱锥Q ABP的体积为1 一 一 11LVq abp QE Saabp -1-3 2v2sin45 1 -332