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1、谈谈平面几何中的辅助线 解证几何问题，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助线在图中一般画为虚线常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或圆弧等等(一)为什么要添线？解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结果我们碰到的几何题有的并非一定要添线，有些则需要添线为什么有的几何题一定要添线呢？我们还是从具体例题分析谈起例1 ABC中，ACAB，在AC上取一点D，使CDAB，E为AD中点，F为BC中点连FE交BA延长线于G求证AE=AG分析 要证AE=AC只须证1=2，问题的关键在于如何由ABCD等题设来证得12由于AB、CD位置分散，它们与1、2的联系不易直接观察到因此，必须设法添
2、线使它们由分散状态相对集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显为此，连结BD，取BD中点0联OE、OF这样就将1“搬”到了3、2“搬”到了4AB、CD各以其一半的面目“搬”到了OE和OF于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个OEF中了容易见到，只要证得3=4，问题即可迎刃而解证明 (略)例2 在ABC中，B=2C，求证b2=c2ac分析 要证b2=c2ac，只须证b2c(ac)只须证bc(a+c)b即只须证b、c、(a+c)、b分别为一对相似三角形的对应边这对三角形要满足以b为公共边，其中有一个三角形要有一边为a+c为此延长AB至D，使BD=BC，这时AD=a+c连结DC要证bc(ac)b
3、只须证ABCADC，由于A为这两个三角形的公用角，只须条件ACB=D也即只须2ACBABC这正是题设所给出的我们通过添线沟通了题设与题断之间的逻辑通路大家不难写出本题的证明(略)上述诸例表明，解证几何问题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探求新的、未知的结果一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化实现这一转化，要求我们依据具体问题具体分析，而添设辅助线，正是我们创造的转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁添设辅助线的总目的在于沟通解题思路创设由已知条件向所求结论过渡的条件其作用(1)使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题，应有如梯形中位线定理证明
4、中通过添线把问题转化为三角形中位线定理；(2)使图形中隐蔽的关系显现出来，(如例2，例3)(3)使不直接联系的元素发生联系(如例1)添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画，也不可生硬地机械照搬而是随着解题思路的展开，当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线这正是理解添设辅助线方法的精髓 练习一 对下述各题分析解题思路，决定添线方法，从中体会添线的目的与作用1ABC中，AB为高，D为垂足，B=2C，求证AB+BD=DC2ABC中，A=60，B的平分线BD与C的平分线CE相交于O，求证OD=OE3四边形ABCD中，AB=AC=AD，
5、ACB=50，求BDC的度数4ABC中，AC=BC，C=20，作ABD=70，且BD交AC于D求证CD=AB(二)添线的原则原则一 化繁为简添设辅助线有助于把复杂的图形分解成简单的图形；把复杂问题分割为若干个简单问题；把不规则图形转化为规则图形无论添线怎样复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来驾驭“繁”例4 如图4，已知凸六边形ABCDEF，对角线BF、AC、BD、CE、DF、EA的中点分别是A1，B1，C1，D1，E1，F1若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形，求证A1B1C1D1E1F1面积恰为ABCDEF分析 容易发现，小六边形的对角线，平行且等于大六边
6、形相应的分为两个四边形，连A1D1把小六边形也分为两个四边形四边形A1D1E1F1面积=A1E1D1F1sin1由于两对边对应平行的角=1，这样，立即可得出结论本题连AD，A1D1把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问题，这样达到化繁为简的目的例5 在ABC中，E是AC中点，D是BC边一点若BC=1，ABC60，BAC100，CED=80求ABC的面积与二倍的CDE面积之和分析 设K=SABC+2SCDE由于BCA=20，EDC80， CE=CD直接计算两个三角形的面积很困难，要碰到求特殊角的三角函数值但如果注意到ABC=60这个条件，把ABC复原为一个边长为1的正三角形为此，延长BA到G
7、，使BG=BC=1连CG，在AG上取F点，使BA=GF连CF，则易知ABCFGC，且AC=CF，ACF=20于是ACFCDE，但CA=2CE， SACF4SCDE，SBCG=2ABC面积+4CDE面积，此题添线后从表面看使图形变得复杂了，但实质上则使不规则图形转化为规则的正三角形，达到化繁为简的目的同时也使我们捕捉到了解答本题的途径原则二 相对集中添设辅助线常常要将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角形中或集中到两个相关的(全等、两对边对应相等、相似)的三角形中只有元素相对集中，才便于联系与比较，才能充分应用有关的几何定理例6 在ABC中，经过BC中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB
8、、AC分别交于D、E求证BDCEDE分析 要证BDCEDE需要设法把这三条线段集中到同一个三角形中，为此，由M是BC中点，DMEM，使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的方法在DM的延长线上取D，使MD=MD，连ED，CD易证ED=DE， CD=BD最终把BD、DE、CE三条线段以CD、ED、CE的“身份”集中到了ECD中，而使问题获证原则三 作图构造已知条件、求证结论中出现线段、角的和差倍分，可在图形中把它们的关系具体构造出来只要构造得当，往往有利于对问题的探索例7 ABC中，AD为A的平分线若AB+BD=m，AC-CD=n求AD=？分析 条件中出现ABBD、 AC-CD，不妨在图中具体作图构造
9、出来为此，延长AB至E，使BEBD则AE=ABBD=m，在AC上取点F，使CF=CD，则AF=AC-CD=n连ED、DF，由1=2，容易设想，可否通过AED与ADF相似来计算AD为此尚需寻求另一对对应角相等比如，我们不妨寻求E与ADF的关系由以上分折，易由AEDADF，得出AD2=nm原则四 显现特殊性通过联结辅助线，在图形中常常可造出特殊角、特殊线、特殊点或图形的某种特殊性质例9 过正方形ABCD的顶点A作直线l/对角线BD，以B为中心BD为半径画弧交l于E(如图9)，连BE交AD于F求证DE=DF分析 要证DE=DF只须证1=2但试图证明1=2往往会周旋不止而达不到目的愿因在于隐藏在题中的
10、条件还未仔细挖掘其所以马上得出HEB=30，EBD=30，2=EBD+ADB=304575，所以1=2，问题迎刃而解 练习二 通过以下各题体会各种添线原则1四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积2P为正方形ABCD内一点，且PA1，PB=5，PC=7求证A、P、C三点共线3ABC中，C2B，求证AB2AC4ABC中，C=nB(其中n为大于2的自然数)求证ABnAC5不等边ABC中，最长的高线AD等于中线BE，求证B606矩阵ABCD中，AB=2AD以A为中心AB为半径画弧交DC于E，连EB求EBC的度数7直角梯形ABCD中，P为垂直于底的腰BC上一点APPD，APB=
11、75，DPC=45，求证BC=AB(三)添线的手段通过什么手段来实现上述原则？添设辅助线，从整体看，可以理解把图形的一部分变换到另外的位置，以此来实现条件和结论的联系这些变换很多，常用的是平行、对称、旋转，线段等比及等积等等其中，平移、对称、旋转是合同变换，它不改变线段的长度与角的大小；而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变；等积变形，只是图形在保持面积不变情况下的形变此外圆中弦的一侧所张的圆周角均相等，可以看成一个角顶点沿圆弧滑动，角的两边通过弦的两个端点的运动，这些都是很有用的变化手段下面举例说明这些变换在添线中的应用1平移 常常通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性
12、质，造成平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置例10 在四边形ABCD中，AB=DC，又E、F各是BC、AD的中点，延长BA、EF、CD，如图10(甲)交成1，2求证1=2图10(甲)中，利用平移使AB，CD，1，2集中在一个三角形中图10(乙)中，利用中位线，使1，2集中，AB、CD以半长集中(解略)例11 六边形ABCDEF中，AB/ED，BC/FE，CD/AF，对边之差BC-FEED-ABAF-CD0求证该六边形的各角均相等提示 过A作AQ/BC，过C作CR/DE，过E作EP/FA交成图中的PQRPQ=BC-EF，QRDE-ABPR=AF-CD故PQQRPR PQR为
13、正三角形以下容易推证六边形各内角均为120本题是通过平移将元素相对集中2对称 对称分轴对称与中心对称等腰三角形的底边上的高线是对称轴一个角的平分线是这个角的对称轴而一条线段关于中点为中心对称平行四边形为中心对称图形一般地，一个图形要关于一条直线“翻折”过去，采用轴对称，一个图形绕一定点旋转180，采用中心对称例13 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分BM是AC上的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分(xyz)，求xyz解 本题解法很多，我们利用中心对称求解如图13，以M为中心作ABC的中心对称图形，则EC/AE，FC/AF由，得 x-y=z， 3旋转 在具有等边或特殊角的图形中，
14、将图形一部分绕定点旋转一特殊角，往往使分散的条件相对集中，显示出若干新的联系例14 ABC中,AB=AC,D是形内一点，若ADBADC求证DBCDCB分析 将ABC以A为中心逆时针旋转一角度BAC，到ACE的位置连DE，由ADBADC，得 AECADC又 ADE=AED，相减，得 DECEDC CDCE即 CDBD，从而DBCDCB例15 设M是等腰直角三角形ABC的腰AC的中点，ADBM交斜边BC于D求证AMB=DMC分析 要证1=2，由于3与1互余，4与1互余，又AB=AC，设想把ABM平移加旋转到ACN(4与3重合，MN，AC)问题变为要证2=5这时，只要设法证MDCNDC即可例16 若
15、P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3试证APB=135分析 利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3绕B点顺时针旋转90 APE=90于是 APB=1354线段的等比移动在一直线上二线段比的关系转移到另外直线上的二经段之比例17 等腰梯形ABCD中，底角为675，以它的一腰BC为直径作圆，交底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M，求BE：AE的值分析 由OE=OB，得OEBOBE=A，因此OE/AD设想把AE：EB等比移动方法有二方法1 延长AD、BC相交于P，如图18(甲)，P=45，例18 O为ABC内任一点，直
16、线AO交BC于B，BO交AC于分析 过A作BC的平行线，交CF延长线于C，交BE的延长线于B，形成二平行线被线束所截及三角形相似所以至于等积变形，我们留在专题扩展讨论有了以上一些基本原则与方法，我们不难对一些常见的辅助线分类研究，将某些类型题目的辅助线的经验系统化，这一工作留待大家去完成 练习三 通过下列习题体会变换在添线中的作用1三角形ABC的边CB上有一点D，如果AC3，AB6，CAD=DAB60，求AD的长(答2)2在等边三角形内有一点P连接P与各项点的三条线段的长为3、3P为正方形ABCD内一点，P到A、B、D的距离分别为1、4如图，ABAC，APB，与APC为钝角且相等，求证BP=PC5等腰直角三角形ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE=CD过C、D分别作AE的垂线交斜边AC于L、K求证BLLK提示 利用平行截线把BL、LK等比移动到FC、CD，又相当于把CAE旋转90到BFC、2=4=1，CL/BF/DK由CD