概率与数理统计论文.docx

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1、概率论论文Monte Carlo方法的应用院系：建筑学院 班级：1334602 姓名：孙诗祎 学号：1133460206 指导教师：田波平摘要Monte Carlo方法，源于二战美国关于研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城一一摩纳哥的 Monte Carlo 来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩。Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。19世纪人们用投针试验的方法来确定圆周率兀。20世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。Monte Carl

2、o方法研究的问题大致可分为两种类型：一种是问题本身就 是随机的，另一种本身属于确定性问题，但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系，因而也可用随机模拟方法解决。本文介绍了 Monte Carlo方法的思想，从计算定积分和古典概率两方 面的应用进行研究，给出了实例及其Mathematical实现程序。关键词：Monte Carlo方法，积分计算，古典概率，模拟8目录1 Monte Carlo 方法简介2 Monte Carlo 方法在定积分中的应用3 Monte Carlo 方法在计算多重积分中的应用4 在古典概率问题中的应用5误差分析1 Monte Carlo 方

3、法简介1.1 Monte Carlo 方法思想概述Monte Carlo方法，有时也称随机模拟 (Random Simulation) 方法或统 计试验(Statistical Testing) 方法。它的基本思想是：首先建立一个概率 模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观 察、抽样来计算所求参数的统计特征；最后给出所求解的近似值，而解的精度可用估计值的标准误差来表示。假设所求的量I是随机变量金的数学期望月K),那么近似确定I的方 法是对白进行重复抽样，产生相互独立的占值的序列A，金，并计算 其算术平均值：1川亡#=TrS 4* 7根据大数定理，当 N充分大时，品篇(

4、旬=7以概率1成立，即可 用品作为X的估计值。Monte Carlo 方法以概率统计理论为基础 ，以随机抽样(随机变量的抽样)为手段，在很多方面有重要的应用.它的优点表现在三个方面：方法和程序的结构简单，易分析、易理解；收敛的概率性和收敛速度与问题的维 数无关，很好的避免了维数问题；受问题条件限制的影响较小，很好的提 高可行性。使用Monte Carlo方法的步骤如下：(l)构造或描述概率过程(2)实现从已知概率分布中抽样(3)建立各种估计量1.2 Monte Carlo 方法的可行性蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响 不大。该方法的收敛性是指概率意义下的收敛，因此问

5、题维数的增加不会 影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型复杂 问题时的优势。因此，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂， 蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、 微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度 和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学 、 信息科学、公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都 得到成功的应用。 从Monte Carlo方法的基本思想可以得到它通常的做法， 通过号利用数学或物理方法产生 0 , 1中均匀分布的随机数，在变换得到 任意分布白随机数.随机数个数

6、很大时，可以由大数定理，求出事件的概 率值.这种做法的可行性主要依据下面的事实：(1)如果随机变量F的分布函数是,由于产。)非降.对于任 意的y ,(。八1),可以定义：f七)二,(鼠网工)作为尸。)的 反函数.我们考虑随机变量 i 的分布，这里假定 f (x)是连续函数，则对于。，工;1有：尸 公二P X)=咫 尸(=尸行)=X (1) 即a) 服从nu上的均匀分布.(2)反之，如果服从ii上的均匀分布，则对于任意的分布函数尸，令人F %),则：1Pd。”尸(尸)c)=P(F(功/因此F是服从分布函数F(x)的随机变量.所以我们只要能够产生 111中均匀分布的随机变量的子样，那么通过(2)式

7、我们就可以得到任意分布函数FQ)的随机变量的子样.再结合大数定理、就可以运用 Monte Carlo方法进行随机模拟，解决一些实际的问 题。2 Monte Carlo 方法在定积分中的应用2.1 随机投点法对于定积分工八.为使计算机模拟简单起见， 设。，6有限，Q = y):axbfiyM,并设 (X是在C上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函数为1 Ip 1 I- 0)%砌际忖则S = J/(讪是C中曲线,烟下方 的面积(如图2).图2假设我们向0中进行随机投点.若点落在/二下方（即 p=- I）/0）称为中的，否则称不中.则点中的概率为M（b-a）,若我们进行巩次投点，其中次中的.则可以得

8、到g的一个估计该方法的具 体计算步骤为：独立地产生 2用个UQ1）随机数i,H,i=1,n；计算为二行/-* , * =峋，和4）；统计 为）打 的个数为0 ;用（3）估计9.例1 : 1777年，法国学者Buffon提出用试验方法求圆周率 TT的值.原理如下:假设平面上有无数条距离为 1的等距平行线，现向该平面随机地投掷一根长度为睦1） 的针.则我们可以计算该针与任一平行线相交的概率x均匀地分此处随机投针可以这样理解：针中心与最近的平行线间的距离 布在区间I。1/2上，针与平行线间的夹角 伊（不管相交与否） 均匀地分布在区间，开1上（如图1）.于是，针与线相交的充要条件是，必于2 ,从而针线

9、相交概率为：m=而由大数定律可以估计出针线相交的概率P 月，其中并为掷针次数，期为针线相交次数，从而圆周率_ 2nl汽=掰.其mathematical 实现语句见附录1.2.2 样本平均值法对积分日工/（工）忠，设g是（3上的一个密度函数，改写卜谭/幡L由矩法，若有出个来自且任）的观测值，则可给出g的一个矩估计，这便是样本平均值法的基本原理若。，6有限,可取g二Jb-.设M冉是来自的随机数，则g的一个估计为禽=殳誓=*它e）I侬幽）盟仁 （5）该方法的具体计算步骤为：独立地产生用个LTU）随机数汨A七；计算由=和 他）,j=IA*;用（5）估计d.后面将给出一个例子说明此方法的应用.3 Mon

10、te Carlo 方法在计算多重积分中的应用1=，幽,叼/，阳）也人也方法一：氤（S重积分）（7）其中9。为s维单位立方体，o q工,01,，- 12A j2j,在9。上 有：Og|i五A01 .很明显.此时积分可以看作为求S+1维 空间长方体v： CqX& g（&孙人，可）的体积.即：I =，目（外,工方人，工J应去1A圾（8）对于这种较为一般形式的多重积分计算问题，采用的还是随机投点.具体步骤如下:首先产生S+1个随机数自（i=1,2,，S）及歹，构造S + 1维随机T向量 t - &刍A .蜃初 ,然后检验F是否落后在 V中，同理可以推论.检验鼻-或，A是否成立，如果在构成的抽个随机向量

11、白中,i 二s有朋个随机向量落于 V中，那么取 利作为积分的近似值，即 用， 如果积分区域及被积函数不满足上述条件，那么可以通过变换便可达到所 希望的条件.1 =仙伉?A，几）d/d与A 凡, 方法二： 其中积分区域 Q包含在K维多面体中，此多面体决定于 个不等式 由父修，40二12A冷设函数八肛5A在。内连续且满足条件： 。，）（11，孙人M是在K+1维多面体中均匀分布 的随机质点的个数， 力是在个随机点之中落入以 太维区域 V为底以 Z=/（孙孙A 融） 为顶之曲顶柱体内的随机点的个数 .这里 qoM 表示由不等式由“大地（i = L2,A 和O，Z，M决定的K +1维多 面体.则K重积分

12、的Monte Carlo近似计算公式为：卜“01，心工煮也a k 上“口色佐）n=拉 Ji（9）例2:在三维空间中，由三个圆柱面： / +/ = 1, 9 +一二1 , y + 1围成一个立体，利用 Monte Carlo方法求它的体积。=| dxdydz分析：据题意，所求体积 ，仇 ，其中=（W）I0i1,。4，（EzWl且一+了*1,“飞i,记lowiwi, 0旌1, ozi ,考虑在空间Q内 0 nn随机的产生弘个点，落在空间山。内有那个，则 M .在 Mathematical中模拟程序见附录 2.4在古典概率问题中的应用下面的例子说明了 Monte Carlo方法在古典概率中的应用.例

13、3:甲乙两位棋手棋艺相当， 现他们在一项奖金为 1000元的比赛中 相遇，比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲三胜一负， 现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？分析：平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配.现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛，是否就可以知道奖金分 配方案.由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负 的机会各半.Mathematical中函数产生随机数 0或1, 0与1出现的机会各 占一半，可以用随机数 1表示甲棋手胜，而随机数 0表示乙胜.（也可以 用力中的随机实数来模拟两人的胜负，随机数大于0.

14、5表示甲胜，否则乙胜）连续模拟 1000次（或更多次数）每次模拟到甲乙两方乙有一方胜 了三局为止.按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次 的平均奖金，就是该棋手应得的奖金 .模拟结果：甲：750,乙：250 （程序见附录1）31最终以甲分到4 ；乙分到4 .即甲750元，乙250元.实际上，因为比赛只需进行两局 .则可分出胜负.结果无非是以下四种 9情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.上面四种情况可看出，甲获胜的概率为4 ,乙获胜的概率为4 .在Mathematical中模拟程序见附录 2.5误差分析5.1收敛性蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样 可，4的算术平均_ 1 X*

15、 = %Y V V值： 用Z 作为所求解的近似值.由大数定律可知，如八卜勺，仆 独立同分布，且具有有限期望值（邺0 皿）,则留 -第功- 1 . 即随机变量X的简单子样的算术平均值 人,当子样数N充分大时，以概 率i收敛于它的期望值（,去）.5.2庆左10蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案.该定理指出，如果随机变量序列儿 ”2 ,，*加独立同分布，且具有有限非零的方差一，即玳疝。岫6 汽幻是X的分布密度函数.则其中4称为置信度1 4称为置信水平.这表明不等式闷w 近似地以概率i - a成立，且误差收敛速度的阶为0（犷门）.通常，Monte Carlo方法的误差

16、 e定义为登= 4n上式中4与置信度a是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水 平后，查标准正态分布表，就可以确定出 4 .关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的.第二，误差中的均方差是未知的，必须使用其估计值ii算所求量的同时，可计算出：.例4:求用平均值法估计圆周率 不，并考虑置信度为5%精度要求为0.01的情况下所需的试验次数.解：易知用4 ,故考虑令，令g二J1-尸,其期望值为矶g（x）二1” 4 ,7讥式=n i-1，其中Ji是0, i区间上均匀分布的随机数八%网-固g的卡-加-守= = 0.04 死 1641此时，值二

17、0.05, % =1.96,七二 Q01/4,所以1 962x0.04981641(0.01/4)2二 30620(次)5.3减小方差的各种技巧显然，当给定置信度 a后，误差e由（T和N决定.要减小 ,或者 是增大N,或者是减小方差 仃.在固定的情况下，要把精度提高一个数 量级，试验次数 N需增加两个数量级.因此，单纯增大 N不是一个有效的 办法.另一方面，如能减小估计的均方差 b ,比如降低一半，那误差就减小 一半，这相当于 N增大四倍的效果.因此降低方差的各种技巧，引起了人 们的普遍注意.一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加.在固定时间内，使观察的样本数减少.所以，一种

18、方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量.这就是蒙特卡罗方法中效率的概念.它定义为仃% ,其中c是观察一个子样的平均费 用.显然仃%越小，方法越有效.总的来说，增大样本 力的值对计算机要求较高；减小方差的技巧都只 具有指导思想上的意义.对于实际的计算问题，往往要求对涉及的随机变量有先验的了解，或者对发生的物理过程的性态有一定的认识.通过利用 这些预知的信息采取相应的手段减小误差，提高精度附录： 1. （ 1 ） n=1000;p=Dom=0;Dox=Random;y=Random;IfxA2+yA2=1,m+,k,1,n;Append Top,N4m/n,t,1

19、,10;Printp;Sumpt,t,1,10/10（2） n=10000;p=Dom=0;Dox=Random;y=Random;IfxA2+yA2=1,m+,k,1,n;Append Top,N4m/n,t,1,10;Printp;Sumpt,t,1,10/10（3） n=100000;p=Dom=0;Dox=Random;y=Random;IfxA2+yA2y,m+,k,1,n;Append Top,Nm,t,1,20Printm;Sumpt,t,1,20/20,1000-Sumpt,t1,20/20参考文献1 徐钟济 蒙特卡罗方法M 上海： 上海科学技术出版社， 1985： 171-1

20、88.2 茆诗松， 王静龙， 濮晓龙 高等数理统计M. 北京： 高等教育出版社，2006： 415 4543 周铁，徐树方，张平文等计算方法 M 吉林：清华大学出版社， 2006 ： 299 3534 李尚志，陈发来，张韵华等数学实验M 北京：高等教育出版社，2004 ： 23 305 王岩 Monte Carlo 方法应用研究J. 云南大学学报( 自然科学版) ，2006， 28(S1): 23 26.6薛毅，陈立萍.统计建模与R软彳M.北京：清华大学出版社，2008: 476-485.7 杨自强 . 你也需要蒙特卡罗方法提高应用水平的若干技巧 J.数理统计与管理, 2007,27(2):355-376.14