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1、7例说新课程理念下的数学探究教学东山一中林辉清关键词：新课程数学探究内容提要：数学探究是新高中数学课程中引入的一种新的学习方式，是改变传统的教学模式，培养学生探究创新的能力的一条有效途径。数学探究可以以课堂教 学为载体通过在课堂教学中创设问题情境， 营造合作的氛围进行探究，重新展示 知识的形成、发展过程；也可以利用课外时间对实际生活和生产中的问题进行探 究。1、数学探究的概念和要求1.1 数学探究的概念： 数学探究即数学探究性课题学习，是指围绕某个数学问 题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的 数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明。1.2 课
2、标要求：数学探究是新高中数学课程中引入的一种新的学习方式，课 程标准要求将数学探究贯穿于整个高中数学课程中，改革传统的教学模式，着 眼于学生学习方式的改变，注重学生的学习过程和亲身体验。2、数学探究的开展2.1课堂上的数学探究高中学生的大多数学习时间在课堂，因此课堂教学应是数学探究学习的主要 载体，选择教材中的知识点为探究课题， 通过在课堂教学中创设问题情境，营造 合作氛围进行探究，重新展现知识的形成过程。探究内容可以选择某些定义、定 理、公式、法则，让学生自己去发现、检验、论证，甚至推广，让学生亲身经历 知识的形成过程。有些数学结论、规律在教材没明确提出，但又属于学生应该掌 握的或者说属于考
3、试范畴的，需要老师在课堂上拓宽引中的，可作为探究性课题。课例1探究抛物线的标准方程/一 教师：屏幕上有一个动点M, 一个定点F, 一条定直线1,定 NI/m 直线1的右上角有两个度量值|MF|与|MN|。我们开始操作，请大家 / M 注意观察，拖动M,使|MF|与|MN|保持相等，画出了 M点的轨迹。请同学们思考，这条曲线象什么？学生：双曲线的右支！11教师：对吗？学生：不可能！因为双曲线的点到定点（焦点）距离大于它 到定直线（相应准线）的距离教师：很好！我们将这条曲线叫抛物线，现在我们能不能给抛物线下个定义呢?学生：平面内，到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹叫抛物线教师：很好！类比椭
4、圆和双曲线第二定义，这个定点叫抛物线的焦点， 这 条定直线叫抛物线的准线，同学们，刚才我们得出了抛物线的定义，接下来干什 么呢？学生：求出抛物线的方程，研究抛物线的几何性质教师：同学们回想一下，求曲线方程的步骤是什么？学生：建立恰当的坐标系；用（x, y）表示曲线上任一点的坐标；寻找动点满足的几何条件；化简方程。教师：很好！，求曲线方程的步骤，简单讲就是建系、设点、列式、化简 这四个步骤。如何建立直角坐标系呢？前面我们接触过建立直角坐标系的问题， 我们曾研究过，建立直角坐标系要遵循简单、和谐的原则，即使已知点的坐标、 已知直线的方程表达简单化，要充分注意利用图形的对称性。下面请同学们讨论如何建
5、立直角坐标系？（学生讨论）学生1:过点F作KF l ,垂足为K,以直线KF为x轴，以K为坐标原点建立平 面直角坐标系学生2:我也这样选定x轴，但我认为可以选F为坐标原点学生3:由抛物线的定义可知，线段 KF的中点也在抛物线上，考虑到数学的对 称美，我认为可以线段KF的中点为坐标原点（老师在黑板上分别画出这三种坐标系）教师：以上三位同学的回答都很好，都遵循了建立直角坐标系简单、和谐的原则， 那么，选择哪个坐标系能使抛物线方程更加简洁呢？下面我们分组实践一下， 一 组用第一种方法，二组用第二种方法，三组用第三种方法，四组随便选择一种方 法。在做时，我们可设焦点F到准线l的距离为p （p为常数，p0
6、）（做完后，各小组推选一名代表，将结果写在黑板上）教师：同学们请看，哪种建系方法好？学生：第三种方法最好！教师；我们把方程y2 = 2 px（ p 0）定义为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程，焦点F （李，0）,准线方程为x=-这里要明确系数p的几何意义 焦点到准线的距离。同学们，通过刚才的不同坐标系下得出抛物线方程的体验你 有什么体会？学生：不同的建系方法，不仅计算结果不同，而且对计算过程及计算结果的简洁 性有一定影响，所以，在做题时应考虑建立恰当的坐标系， 平日要积累这方面的 经验。评注： 在当前的高中数学课堂中，教师舍不得在概念、定义的发生发展过程中 花时间，认为这样太虚，不如让学生
7、多做几道题目实在，因而概念教学常常用“一 个定义三项注意”的方式，告诉定义的内容，强调几个注意事项，然后就讲例题， 做练习。实践表明这样做得不偿失。课程标准要求教师在课堂教学中应设法 激发学生的积极性和主动性，要求教师向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作学习交流中掌握基本的数学技能、思想和方法，获取广泛的活动经验。本节课对抛物线标准方程的得出，让学生充分动手动脑，始终注 意发挥学生的主体地位，这样有利于培养学生的独立思考能力。 同时，本节课注 重概念、结论的得出过程的教学，使学生经历、体验过程，培养学生良好的情感 与态度，长此以往，学生必将乐学、好学。课例2探究函数t=4
8、TX + KX的值域学生1:(方法1)我采用平方的方法得t2=2+2W,因为0三百二7工1,所以2Et2M4,即t的取值范围是SU福21教师：结果对吗？(短暂停顿)学生1:我忽视了 t0,结果应为 谓21教师：正确！ t之0是由t的结构特点决定的，由此入手，能想到什么方法呢？学生2:(方法2)注意到(JX)2+(3X)2=2 ,可用三角换元法。令1 +x = V2 COS , Ji -x = V2sin ct,ot w ,10,1得:一 2t =拒85二十/2sina =2sin（a 十）,由于“+ 444所以t的取值范围是/2教师：很好！三角换元法为我们提供了新颖的解法，请问学生2,若从函数
9、的定义域-1 Ex1出发，能否采用三角换元？学 生 2:可 令x = cos6, 则 有,00t = 1 cosi1-cosu - .2cos2 . 2sin2 1=、2(| cos | |sin |)22教师：这里的绝对值符号怎么去掉？学生 3:可令日q0, n,使得 xw cosH w -1,1, KW t = V2(cos- +sin -),以下 22同学2的解法教师：对，讲得好！若令x=sin中，邛；，结果也是一致的，大家想一想， 除了三角换元，能否用其他换元法？学生4:(方法3)我想令j1+x =u, J1 -x=v ,消去x可得u2 7=2,这样一来，问题转化为方程组I u+v=t
10、_在 ? u2+v2=2 0WuwV2,0 EvwV2条件下有解时，求t的取值范围，也既动直线u+v=t与圆弧u2 +v2 =2(0 u 5/2,0 vV2)有公共点时，求t的取值范围，以下用数形结合的方法求解 教师：太好了！数形结合的方法是重要的数学方法，它开阔我们的思路，大家想一想还有其他方法吗？比如数列方法、向量方法？学生5:（方法四）变t的表达式为 TX + gX = 2 J ,可知X, - , x 22t t一t2c cc成等差数歹 I。设 /TX = -d,/X+d ,消去 x 得 2=L+2d2,t2 =4 4d2 ,222以下就好解了教师：学生5,根据你的表达式，你能得出t的取
11、值范围点,2吗？ 学生5:由d2 之0知t2 =44d2 W4,得t W2 ,但t之J2我无法得至IJ教师：这仍然决定于d的取值范围，谁能得出d的取值范围？是否能从 斤子与-.1 -X的取值范围考虑？学生6：老师，我想好了，由于71与五的最大值、最小值分别为 泥，0,可知一J2 芸2d W22.既一Ed E,所以 2 =十2d2 M 十2M ,t?22 从而有222212 t 2学生7：（方法五）：我用向量的方法解，设向量P=（i,i）,q=（1口7E）,两 向量的夹角为B,则t = pq =为十1十x）十（1 一x） cosB = 2cosB ,可知t的最大 值为2,但我无法求其最小值教师：
12、谁能帮帮他？学生8:我觉得还应该从两向量的坐标非负入手，它们对应的点都在第一象限，用数形结合的方法可知，当点（Ji + X, Ji - x）位于坐标轴上时,cosP取最小值，从而t值取最小值。故令Ji - x = 0 ,既x=1,得t=V2,令，1 +x = 0 ,即x = -1,也得t =、, 2教师：你们讲得很好。上述五种方法有一个共同特点，都是从函数式的结构特征 出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化的应 用。但对比五种方法，不难看出，方法一最为简洁，究其原因，仍是平方后的结 构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。评注：本节课注意引导对数学思想方法
13、的应用，如：数形结合、等价转换、换 元等数学思想方法。在例题的深化中，充分发挥这些数学思想对解题途径的定向、 联想和转化功能，体现了数学思想方法对解题的指导作用引导学生从不同角度 来观察问题、分析问题，培养学生思维的变通性、灵活性、发散性和创新能力，老师为学生搭建了一个自主学习的平台， 学生通过交流， 根据已有的知识， 相互研究，共同提高。以上两例是纯数学问题的探究，当然，还可选择高中生实际生活密切相关的 数学探究课题。比如：探究酒杯中的解析几何课例 3：问题 1：张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽 4cm,杯深8
14、cm,称之为抛物线酒杯。 一次， 张华在游戏中注意到一个现象， 若将一些大小不等的玻璃球依次放进直角酒杯中， 则任何玻璃球都不能触及酒杯的杯底， 但若将这些玻璃球放进抛物线酒杯中， 则有些小玻璃球能触及酒杯的杯底， 张华想用所学的数学知识研究一下，当玻璃球的半径r 多大时，玻璃球一定会触及酒杯的杯底，你能帮张华解决一下这个问题吗？问题 2：张华在酒店里又见到了一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯，测量后得知杯口宽4cm,杯深9cm,中间最宽处距杯底 5cm,请你帮张华一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径r 多大时，玻璃球一定触及这种椭圆酒杯的杯底？问题 3：设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一
15、根粗细均匀、长度为 2 的细棒，假设细棒的端点与酒杯之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中的位置如何？，如果细棒的长度为 l ，那么对于不同的 l 值， 细棒的平衡状态有差异吗？问题 4：在直角酒杯中和椭圆酒杯中各放入一根粗细均匀、长度为 l 的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计， 那么当细棒最后达到平衡时， 细棒在酒杯中的位置如何？评注 ： 选择这样的课题接近学生生活实际， 定能激起学生的兴趣， 不仅培养学生对问题深层次的认识， 而且增进学生的反思意识和自控能力， 提高学习效果。2.2课外的数学探究这种探究主要是利用课外的时间对某一数学问题进行探究
16、,个人独立或小组合作地开展探究活动， 用几周或几月完成。 这种探究教师应为学生提供丰富的背景材料，帮助和引导学生提出探究课题，成立课题组，指导学生收集信息、分析材料、探究结果，帮助学生完成探究报告或论文并进行交流课例4涂色问题探究(1)课题背景某城市在中心广场建造花圃，花圃为 6个部份(如图21),现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种， 且相邻部分不能栽种同一种颜色的花，不同的栽种方法 有多少种？图21(2)提出问题请同学生们到阅览室查找资料，或上网查询有关涂色问题(3)收集信息并分类处理查阅资料时教师应指导学生解决涂色问题的数学知识是排列组合，因此可以在目录或索引中查找排列组合的应用。学
17、生用一周时间发现了很多涂色问题，最后归类，提出了以下问题：图22问题1:如图(如图22),某地区共有四个行政区域，画地图时 要给四个行政区域涂上颜色加以区分， 先给定五种颜色，相 邻区域不能涂同种颜色，问有多少种不同的涂色方案。问题2:如图(23):两条对角线把矩形分为四部分，有 5种不同颜色可用来涂色，相邻区域不能涂同种颜色问有多少种不同的涂色方案。图23若区域作如下变化，结果如何?1243问题3:用5种不同颜色给图24中五块区域涂色，相邻区域不能涂同种颜色，共 有多少种不同的涂色方案？ 问题4:如图25,将四棱锥S-ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使同一棱的两 顶点异色，共有五种颜色可供
18、选择，有多少种不同的涂色方案？问题5:如图26,用六种不同的颜色给正方体的六个面涂色，各面颜色不同。但 是，经过适当的翻转，能使上、下、左、右、前、后均同色的两种涂色方法只能 算一种，那么不同的涂色方案有多少种？(4)分组探究问题解决的方案并交流方案一：按区域顺序涂色方案二：按所用颜色种数分类涂色方案三：将问题四、五空间涂色问题转化为平面区域涂色问题，然后用方案 一、方案二解决3、数学探究应注意的问题数学探究课题的选择是完成探究学习的关键， 应有助于学生对数学的理解， 有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现探究问题的意识， 有助于 学生发挥自己的想象力和创造力。数学探究的课题应来源于高中数学课程的主体 内容，可以从教材提供的案例和背景材料中发现和确立，也可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立。应重视学生能否参与，在参与过程中有让学生充分 发挥自主性和能动性的思维空间，突出学生在整个探究过程中的主体地位。 同时 不能忽视教师的指导，教师的指导要循着学生的思路，并提出质疑，提供可深入 思考与探究的思路或方法供学生进行判断和选择。参考文献：1王广余 变中出彩J中学数学教学参考(高中)2007 52韩际清 田明泉 高中数学新课程理念与教学实践M商务印书馆