《特征函数在概率中的应用数学论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特征函数在概率中的应用数学论文.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、特征函数在概率中的应用摘要特征函数是一个非常重要的概念及其工具，在概率研究中起到非常重要的作用，本文将总结特征函数的定义，性质及其在概率中的应用。关键词特征函数；极限；随机变量；随机分布1引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发，介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布 ，并在随机变量的基本性质引导下 ，讨论并阐述特征函数的各种应用.特征函数也是概率论中研究极限定理的强有力的工具。在
2、概率论和数理统计中，求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.2特征函数2.1 特征函数的定义设X是一个随机变量，称中(t)=E(eitx) ,- 8 Vt +8,为X的特征函数.因为eitx =1 ,所以E(eitx)总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的当离散随机变量X的分布列为，Pk =P(X =Xk) k=1,2,3，则X的特征函数-be .平（t） = eitxk Pk,-00 t + 8.6当连续随机变量X的密度函数为p(x)，则X的特征函数为itx.中(t) = f e k p(x)dx ,-00 t + 00.
3、2.2 特征函数的性质性质1令匕，J的特征函数分别为邛i(t),%(t),且。与J相互独立，那么的特征函数为(t) = l(t) 2(t). itit证明 设彳，3是两个相互独立的随机变量，则0, 3的特征函数中i(t) = Ee，卅2(t) = Ee -2中的e1与ei迷也相互独立.由数学期望的性质可得(t) =Eeit(l 2) =E(eit1 t2) = EeK1 Eet2 = 1(t) 2(t),故性质1得证.性质2令随机变量已存在有n阶矩，那么巴的特征函数中(t)可以微分n次，且若kn,则k(0)-ikE k.证明 卷 ex)* ke因X根据假定 点xkdF(x)一故下式中在积分号下
4、对t求导 n次，于是对0 W k M n ,有:k(t) v _/ikxkeitxp(x)dx = ikE( keit )令 t=0 ,即叫0) =ikEdk).性质3若%)是特征函数，则(1) *(t), (2)b2, (3) .(t)(nW n+)也是特征函数证明(1)若平(t)是随机变量U的特征函数，那么 平(T)可以看作是随机变量(-U)的特征 函数.。-2。(2)若。与G独立同分布，其特征函数为5(t),那么怛(t)| =中邛(t)是随机变量匕J的 特征函数.性质4 (唯一性)随机变量 七的分布函数F(x)仅由特征函数 中(t)决定.证明 设x是任取的F(x)的连续点.令z设在F的连
5、续点趋近 血，则有itzJixF (x) = lim lim AA (t)dt.z； ： ：A - 2；:it根据分布函数左连续，并且 F的连续点在直线上稠密，即对每个xw (-8，+8)有F的连续点xm二 x, xm : x .从而F由其连续点上的值唯一确定1 性质5当且仅当中(t)=e时，函数邛(t)与而都是一个特征函数.1证明 若中(t)与而都是特征函数，设随机变量与J相互独立，且 匕与的特征函数分别1.1.是加和厢.因为F的特征函数为中m=1，所以P(f =0)=1.故有F (x) = P( i ：二 x) = P( i :二 x, 2 -x) = P( i :二 x)P( 2 平。）
6、=口 *（t）=n e Lj-，lj-，j 1j 1nn而这正是 N（ aj,工o：）的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知 j 1j 1n nNaj二j).j I j 43.3 在证明二项分布收敛的应用在n重贝努力实验中，事件 A每次出现的概率为p（0p1）, 人为n次试验中事件A出现的次数，则lim P(n j二二%二np :二 x).21 xe2dt.2二一一要证明上述结论只需要证明下面的结论，因为它是下面结论的一个特例。若雪J,是一列独立同分布的随机变量，且Ek =a,D4 =仃2（仃2 A0）,kAl,2,.,则有/ n工-k -nat2, ，X xlim P产0)k=1
7、,2,| 则有-k nat2证明设又因为所以于是特征函数k 4lim p(一 n-X)= ,2.一二 e2 dt .4 - a的特征函数一 na ni =1=k -ak=i的特征函数为E( k-a)=0,D( k-a)=。2(0) =0, (0)；2中的展开式： (t) = (0)： (0)t;： It 2，(。:(t)+/2, 2从而对任意固定的t有(In)n_11 2nt2t2而e”是N (0,1)分布的特征函数，从而定理得证3.6 在证明函数的随机变量和分布中的应用利用归纳法：我们可以把性质1进行推广到n个独立随机变量的场合，令2,|,。为n个相互独立的随机变量，它们所对应的特征函数为巴
8、W 2(t), 111, Q (t),则nn。的特征函数为中(t)=叼(t).i 1i 42 .例 设。(| =1,2, |,n)为n个相互独立的随机变量，且它们服从N(H,。)分布的正态随机变n量，试求上=E -i的分布. i 4解由。得分布为NW,。2),所以它们对应的特征函数为.一 2J：(t)二厂二.2n我们根据特征函数的性质中(t) = * (t)可知之的特征函数i=1平立 *(t) = Ee4=eH： +(W 52)t2.y22 yn n而它却是N 片，工。；)分布的特征函数.从而根据分布函数与特征函数的一一对应关系即可知巴i 1 i 1n n服从N52)分布. i 1 i 1例
9、设随机变量X1,X2JH,Xn相互独立且分别服从为 鼠(1Mk Em)的普哇松分布，求nY = Xk. K 1解对于任彳s一个k , Xk服从参数为人的普哇松分布，从而我们知道它的特征函数为 nn(1)二)邛(t)= Q(t)=ek士，K 1nn而中(t)是参数为儿的普哇松分布的特征函数，从而可知Y服从参数为 Kk的普哇松分布.K 1K 1参考文献1王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：北京师范大学出版社，1996.2杨振明.概率论M.北京：科学出版社，2004.3魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，1983,10.4周新国.禾1J用ASP访问Web上的数据库J .计算机应用研究，1999 .5王新生，潘浩.ASP在Proxy计费查询系统的应用J .计算机应用研究,2000 .