品酒问题的模型.doc

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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 专科组（18） 所属学校（请填写完整的全名）： 商丘师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 丁风雷 2. 白雪 3. 贾文格 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011年 7月 18日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011年商丘师范学院建模模拟练习编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：品酒问题摘要“品酒问题”模型的建立在于找出最精确的标准分计算方法，量化评分优劣，并进行直观比较。首先利用spss软件中的线性插值法对数据进行缺失

3、替换后得到的相对精确的完整数据，并依据此数据以品酒师打分的均值作为基点，将品酒师打的分数进行整体平移至同一水平线，建立标准分模型，求出每一种酒应得的相对合理的标准分数，从而能够对其产品质量进行好次排序；再将每一种酒的合理分数和品酒师所给出的分数进行相关性分析，根据相关系数来判定品酒师打分的合理性。问题一：对于某位品酒师对于80种酒中的某一品种评分的缺失，利用spss软件通过对缺失值进行分析，从而依据数据的线性相关性，能够找到合理数据来替换缺失值。问题二：此问要求对80种酒进行由好到次的排列，题中分别给出5位品酒师对80种酒的评分，从而对精确度要求很高，为确保每一种酒能得到一个合理的分数。为此我

4、们建立标准分模型，以品酒师打分的均值作为基点对品酒师打的分数进行平移，通过调节离散度，依据标准分公式ij*0+，即可求出精确的标准分ij，根据求得后的标准分对80种酒进行较为精准的排序。问题三：此问，我们首先假设品酒师水平不同，但每一位品酒师的个人水准是恒定的常数，可以在第二问已经求出的每一种酒应得的标准分和5位品酒师所给出的评分的基础上，利用spss软件进行相关性检验，得出相关系数。根据相关系数的大小，就可以直观的对5位品酒师打分的合理性进行优劣排序。在模型建立与求解后，对模型的科学性和可靠性进行评述，讨论了模型的优缺点，并提出所建模型的应用与推广思路。关键词： 线性插值法 标准分模型 离散

5、度 相关性检验一问题重述 酒厂要求5名品酒师对其生产的80种酒进行综合性评价并打分，附录是品酒师的评分结果，其中1-80代表所有的80种酒产品，星号“*”表示该品酒师没有给相应的产品进行打分。通过附录里（Table 1）的数据建立数学模型，解决下面的问题：（1）补齐表中“*”部分所缺的数据，同时说明所用的方法及理由。（2）对80种酒产品进行由好到次的排序。（3）对五位品酒师进行评价，按照其打分的合理性，由好到次排序，同时说明排序的理由。二问题分析本题要解决三个问题，每个问题之间具有很强的相关系，我们依次对问题进行建模求解。对本题附录中的数据进行分析可知，表中“*”部分所缺的数据表示此酒未受到该

6、品酒师的评价，同时又为了保证数据的稳定性和合理性。问题一，我们利用spss软件中的对缺失值数据估计推算的功能，假设每一位品酒师个人水平的基准波动性不大，从而可以对每一位品酒师的品酒水准量化，并对每一位品酒师对80种酒的评价分值进行线性分析。通过替换缺失值中的线性插值法来分析数据，可以得到准确度相对精确的替换值。问题二，由于同一种酒在不同品酒师心中的优劣程度不同，所给出的分数也会不同，因此每位品酒师所给的一分的贡献值也会不同。为了不影响各种酒在品酒师心目中的评价地位，可以将品酒师打的分数进行整体平移，调节至一个基点，本题就把这个基点选择为品酒师打分的均值（记为，i=1、5）。为了调节每一位品酒师

7、所打的一分贡献值在同一水平线上，我们通过对每位品酒师的给分进行方差压缩，调节其离散度（即方差，记为I,i=1、5）,而这个水平线我们选取所有品酒师方差的均值（记为0），然后对所有品酒师的分数进行调节。记ij为第i位品酒师对第j种酒的原始打分，那么调整后的分数ij为：ij*0+这里的为所有品酒师评分均值的均值。经过这样的调整，所有品酒师的均值相等，方差也会相同，从而不同品酒师品酒产生的干扰就会被最大限度地消除。因为需要对80组数据进行处理，为省去输入数据的麻烦，利用Excel软件对同行数据进行公式计算，得到相应的结果。问题三，需要对5位品酒师的80组数据和80种酒在第二问中得出的相对精确地数据进

8、行相关性比较，通过对品酒师给分的正态性检验（附录Table 2）可知，部分品酒师的分值分布并不完全符合正态性分布，所以在不影响计算结果的情况下，处理数据时对于像第15种酒有四位品酒师给出了94,92，81,80，只有第四位品酒师给了66分，显然，第四位品酒师给了一个不合理的分数，数据是异常的，需要删除。依此原则对数据进行合理化剔除。利用spss软件可以满足数据所要求的精确度，并且数据无偏差估计的优点对相对合理的数据进行相关性分析，对于运行后得到的相关系数进行大小比较，相关系数越大的，对应的品酒师所打分数的合理性就越优。三.模型的假设（1）问题中给出的统计数据可靠。（2）品酒师品酒时所处的外界环

9、境无影响，不会因例外情况而导致品酒师的评价水准。（3）每位品酒师的鉴赏水平波动不大，可视为恒定的，记为常数Ki(i=1、5)。（4）每位品酒师在品同一类酒的时候除个人品酒水平外，其他条件相同。四.符号说明Si 品酒师（i=1、5）。Ki 品酒师恒定的个人鉴赏水平（i=1、5）。 所有品酒师评分均值的均值。 品酒师打分的均值（i=1、5）。ij 第i位品酒师对第j种酒的原始打分通过调整后的分数。0 所有品酒师方差的均值。I 每位品酒师给分的离散度(i=1、5）。五模型建立与求解模型一：将缺失值所在的一列数据运用spss和excel软件中根据软件中的线性插值法对数据进行处理，得到运行结果如图;结果

10、变量结果变量被替换的缺失值数非缺失值的个案数有效个案数创建函数第一个最后一个1x_1118080sMEAN(x)2y_1118080sMEAN(y)3z_1118080sMEAN(z) 为了令缺失值更加明确,我们利用差值分析进一步分析可以得出：N均值标准差缺失极值数目a计数百分比低高VAR000017975.974713.6080411.300VAR000027981.063311.1232511.300VAR000037979.936711.1140311.300a. 超出范围（Q1 - 1.5*IQR，Q3 + 1.5*IQR）的案例数。上表中的均值就是要替换的缺失值，对数据求整后的情况如

11、下：品酒师1品酒师2品酒师3品酒师4品酒师5酒976就2581酒5880模型二：我们通过查找资源可知，要想对80种的合理分数进行推算，精确度要求很高，分值之间的差值会小于0.1，所以采用标准分模型，在利用Excl软件得出品酒师给分的均值及方差后，利用调整基点的方法来规整品酒师的评分分值。品酒师1品酒师2品酒师3品酒师4品酒师5均值平均值75.97581.062579.937579.27579.637579.1775方差182.8348122.1606121.9581135.569125.4492137.5943 因此该表的数据经过调整后，每一位品酒师的均值都是78.98，所有品酒师的方差都是1

12、41.88。这样调整后的分数是每位品酒师在一个基准上给的分数，从而减小了因品酒师的不同而带来的差异和干扰。利用Excl软件通过公式ij*0+对数据进行处理得出标准分，再将处理后的数据在word里进行排序即可得出要求的结果：调整后的标准分及排名酒的种类品酒师1品酒师2品酒师3品酒师4 品酒师5均值酒3991.0655799.3606677.8688586.1029490.0488.8876酒1992.5737794.8360760.9016496.2595.5688.0243酒584.2786976.737795.9672183.0588298.87287.78289酒4788.0491886.

13、9180397.0983680.0147186.72887.76166酒5192.5737783.5245994.8360773.9264793.35287.64258酒6677.491893.7049297.0983689.1470674.58486.40523酒6972.9672192.5737791.4426282.0441291.14486.03434酒482.7704969.9508283.5245998.2794194.45685.79626酒4085.0327980.1311592.5737795.2352974.58485.5114酒7769.1967292.5737798.2

14、295190.1617674.58484.94915酒8091.8196769.9508282.3934490.1617690.0484.87314酒6489.5573858.6393495.9672191.1764786.72884.41368酒1890.3114876.737782.3934485.0882483.41683.58937酒2286.5409895.9672177.8688584.0735373.4883.58612酒7989.5573892.5737769.9508294.2205971.27283.51491酒4585.7868997.0983682.3934484.07

15、35367.9683.46244酒1691.8196762.0327991.4426273.9264797.76883.39791酒5389.5573864.2950888.0491892.1911882.31283.28096酒4372.2131188.0491883.5245974.9411893.35282.41601酒4982.0163992.5737784.6557482.0441270.16882.2916酒861.6557495.9672162.0327995.2352994.45681.86941酒1185.7868994.8360780.1311581.0294166.856

16、81.7279酒1592.57377797965.8088292.24881.72612酒6769.1967271.0819791.4426294.2205982.31281.65078酒1492.5737782.3934467.6885277.9852985.62481.25301酒6382.7704993.7049271.0819762.7647195.5681.17642酒172.9672169.9508288.0491888.1323585.62480.94471酒1071.4590292.573777990.1617671.27280.89331酒7294.8360781.26239

17、8.2295163.7794165.75280.77186酒3870.7049292.5737758.6393499.2941282.31280.70483酒5087.2950882.393447993.2058861.33680.64608酒3670.7049285.7868985.7868963.7794196.66480.54442酒1280.508262.03279100.491890.1617669.06480.45171酒7690.3114869.9508290.311487972.37680.38995酒3166.9344383.5245997.0983666.8235386.7

18、2880.22178酒2986.5409864.2950895.9672170.8823583.41680.22033酒3566.1803397.0983673.3442675.9558887.83280.08217酒7074.4754181.262373.3442696.2574.58479.98319酒3283.5245982.3934498.2295177.9852956.9279.81057酒97997.0983674.4754187.1176561.33679.80548酒5869.1967293.704927982.0441274.58479.70595酒7186.5409869.

19、9508271.0819774.9411894.45679.39419酒3388.0491891.4426263.1639358.7058895.5679.38432酒3069.9508281.262357.508290.1617696.66479.10942酒4192.5737789.1803362.0327965.8088283.41678.60234酒3466.9344390.3114876.737777.9852980.10478.41458酒7380.50827986.9180377.9852966.85678.2535酒4868.4426298.2295172.2131193.20

20、58859.12878.24383酒3785.0327975.6065682.3934460.7352984.5277.65762酒7572.2131180.1311586.9180362.7647185.62477.5302酒2491.0655783.5245981.262365.8088265.75277.48266酒4289.5573876.737784.6557481.0294154.71277.33845酒1769.1967271.0819790.3114862.7647192.24877.12057酒5691.8196749.5901663.1639384.0735396.6647

21、7.06226酒2572.967217962.0327984.0735386.72876.96031酒388.0491873.3442674.4754169.867657976.9473酒7469.1967267.6885292.5737786.1029465.75276.26279酒5595.5901658.639347962.7647183.41675.88204酒2767.6885271.0819774.4754187.1176576.79275.43111酒291.0655765.4262372.2131164.7941282.31275.16221酒5466.1803394.8360

22、766.5573874.9411872.37674.97819酒4686.5409873.3442660.9016487.1176566.85674.95211酒6063.1639368.8196795.9672185.0882461.33674.87501酒2869.1967277.8688566.5573875.9558883.41674.59897酒6260.1475460.9016476.737794.220597974.20149酒6566.9344381.262360.901647982.31274.08207酒5263.1639372.2131193.7049284.073535

23、6.9274.0151酒2063.9180363.1639391.4426297.2647152.50473.65866酒77973.3442665.4262363.7794185.62473.43478酒2373.7213189.1803362.0327964.7941274.58472.86251酒2675.2295162.0327957.508274.9411894.45672.83353酒1365.4262384.6557469.9508262.7647180.10472.5803酒7867.6885282.3934473.3442668.8529470.16872.48943酒686

24、5.4262358.6393483.5245984.0735370.16872.36634酒2167.6885277.8688577.8688569.8676566.85672.02998酒5778.245959.7704962.0327994.2205960.23270.90035酒685.0327963.1639385.7868955.6617663.54470.63787酒4469.1967280.1311562.0327968.8529463.54468.75152酒6186.5409849.5901664.2950861.757968.23525酒5975.2295180.13115

25、57.508256.6764758.02465.51386图表说明：根据得分得出酒的排名即为列表的自上到下的排位，我们可以看到酒39最好，酒19次之酒59最差。 问题三；对5位品酒师做出评分合理性的优劣排序，在剔除题目中的明显给分不合理的数据后，所得到的新数据不会影响对品酒师的水平鉴定。我们依据品酒师对于所品的酒给出的分数和第二问中所得出的该种酒的标准分相比较差值分析，在spss软件中将数据输入，利用线性分析的方法，就可以得出每一位品酒师对所给酒的评分和这些酒应得的标准分之间的相关性关系，得出相关系数。相关系数越大相关度越高，评分的合理性也越高。 在结果输出窗口中将看到如下统计数据：变量si、

26、y的例数、均数与标准差，变量si、y的平方与交叉乘积的和与协方差；siy两两对应的相关系数及其双侧检验的显著性，本题p=0.001，其中i=1、2、3、4、5；每一个y对应于每一种酒的均值。品酒师s1对80种酒所打分与这80种酒的均值的相关性：描述性统计量均值标准差Ns175.9713.52280y78.98048194.9985698980相关性s1ys1Pearson 相关性1.399*显著性（双侧）.000平方与叉积的和14443.9492131.579协方差182.83526.982N8080yPearson 相关性.399*1显著性（双侧）.000平方与叉积的和2131.579197

27、3.870协方差26.98224.986N8080*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。品酒师s2：描述性统计量均值标准差Ns281.0611.05380y78.98048194.9985698980相关性s2ys2Pearson 相关性1.401*显著性（双侧）.000平方与叉积的和9650.6841750.783协方差122.16122.162N8080yPearson 相关性.401*1显著性（双侧）.000平方与叉积的和1750.7831973.870协方差22.16224.986N8080*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。品酒师s3：描述性统计量均值标准差Ns379.94

28、11.04380y78.98048194.9985698980相关性s3ys3Pearson 相关性1.443*显著性（双侧）.000平方与叉积的和9634.6841931.934协方差121.95824.455N8080yPearson 相关性.443*1显著性（双侧）.000平方与叉积的和1931.9341973.870协方差24.45524.986N8080*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。品酒师s4描述性统计量均值标准差Ns479.2811.64380y78.98048194.9985698980相关性s4ys4Pearson 相关性1.425*显著性（双侧）.000平方与叉积

29、的和10709.9501954.769协方差135.56924.744N8080yPearson 相关性.425*1显著性（双侧）.000平方与叉积的和1954.7691973.870协方差24.74424.986N8080*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。品酒师s5：描述性统计量均值标准差Ns579.6411.20080y78.98048194.9985698980相关性s5ys5Pearson 相关性1.431*显著性（双侧）.000平方与叉积的和9910.4881907.466协方差125.44924.145N8080yPearson 相关性.431*1显著性（双侧）.000平方

30、与叉积的和1907.4661973.870协方差24.14524.986N8080*. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。在树理统计学中，对任意两个随机变量、，若|=0.30.5，则表示它们的相关程度一般。本题所计算出来的s1s5分别于y的相关性正好在这个范围，即它们的相关性一般，显著性较差，等于零。在数理统计学中，对相关系数通常作如下解释：|=00.3 表示相关程度低|=0.30.5 表示相关程度一般|=0.50.7 表示相关程度显著|=0.70.9 表示相关程度高|=0.91 表示相关程度极高所以依据相关性系数的数值可以得出品酒师打分合理性的好次排序：由好到此是：品酒师s3, 品酒师s5

31、,品酒师s4,品酒师s2品酒师,s1。六、模型的评价与推广模型的优点：1）、模型重点对各个品酒师所给分数的合理性进行了分析，通过建立标准分模型最大限度的消除了品酒师在品酒时会受到的干扰对数据的影响，从而得到了较为准确的对酒的好劣进行排序的方法。2）、充分利用spss软件和Excel软件对数据进行处理，较为准确和简单的得出结果，并使结果更加直观、可靠。3）、模型的求解具有很强的现实意义，对于解决很多现实生活中需要，替换缺值，精确的优劣排序问题，提出了合理、客观、操作性极强的解决方案。4）、将品酒师的评分合理性通过线性分析得到直观可见的相关系数，量化各个品酒师的鉴赏水平，明白可见的解决了问题中的模

32、糊概念。模型的缺点：1）、由于对数据的线性化处理使得该模型就有一定的局限性。2）、品酒师的鉴赏水平在实际中具有一定的波动性，所以模型可以应用到数据较少的问题中。模型评价：本模型解决了在品酒师未给出评分的情况下，得出相应合理的缺失值问题和对多种物品进行精确的优劣排序问题，还有最大限度的排除或缩小鉴赏工作者由于个人主观喜好而带来的不可避免的误差，对于鉴赏人员进行合理、直观、有效的评价方法。模型推广：本模型解决的属于生活中的评价排序问题，对于生活中的同类问题同样具有很强的可操作性。比如可以根据一个人对同类物品的评价分值，利用本题问题1的方法对于一种新物品根据此人的评价水准，较为精确的给出在此人心目中

33、最为可能的分数，生活中对于一些物品需要作出十分精确的排序比如古董，奢侈品，航天用品。就可以利用问题2的解答对于鉴定人员少，鉴定物件多的问题。同时对于鉴定师由于偶尔的主观因素而导致的水准下降，问题3的模型建立就可以客观和准确的解决鉴定师主观因素对个人水平的影响，可以作为对各种鉴定师水平评价的标尺工具。七参考文献1 缪铨生,概率与统计第3版,华东师范大学出版社,2007年6月。2 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型第三版，高等教育出版社，2003年8月。3 崔秋珍 统计研究学生学业成绩评价的标准分模型.吾喜杂志（中国知网旗下电子杂志网站）1997年第06期附录：Table 1: 序号品酒师1品酒师2品

34、酒师3品酒师4品酒师516873858886292697465833887676708048173849894583799583986846786566677676686486853966595949*977687641066938090731185958181691278669990711358867263811494847078861594818066921693669174971763749063921891798385841994956496952056679197562161807970692286967984752369906565762492858266682568*658487

35、267166617594276174768778286380697684298668957184306483619096316085966787328284977860338892665995346091787881355997757688366587866496378478836185386593629983399299798690408482929576419490656684429079858158436789847593446382656966458597838470468676648769478888968087486298749362498093858272508784809364

36、519485947493525575938460539068889283545995697574559863806384569355668496577564659463586394*8276597182615761605572958564618655676280625165789480638194736395649063959187656083647983667494968976676374919483685863848472696893918291707083759676718673737594729783976468737881877869746371928668756782876386769173907974776393979076786184756972799093729473809373839090注：*表示该品酒师没有给相应的产品打分Table 2:14