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1、第十二章 全等三角形丰富的生活情境结构梳理全等图形3 / 6二、知识梳理（一）1 .全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同.例 如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形， 图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形.2 .全等三角形这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等 三角形.完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等.符号“义” 也形象、直观地反映了这一点.“s”表示图形形状相同，表示图形大小相等.（二）性质与判定梳理1 .全等图形性质：全等多边形的对应边、
2、对应角分别相等.全等三角形的对应边、对应角分别相等.2 .全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键,只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所 画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方 法有：(1)三边对应相等的两个三角形全等，筒记为：SSS ;(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，筒记为：ASA;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，筒记为：AAS;(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS.若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理(HL)。由此可以看出，判断三角形全等, 无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等
3、，且其中至少要有一对应边相等.(5)注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形 分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知 边(角)去迅速准确地确定要补充的边(角)，不致盲目地而能有目标地完善三角形全 等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有：找夹角f SAS口 而找另一边-sss边为角的对边一找任一角f AAS找这条边上的另一角fASA口如一边就是角的一条M找这条边上的对角一45找该角的另一边f SAS找两角的夹边fASA已知两角、劣 u找任一边fAAS（6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三
4、角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点， 再确定对应角和对应边，如巳知ABC/EFD,这种记法意味着A与E、B与F、C 与D对应，则三角形的边AB与EF、BC与FD、AC与ED对应，对应边所夹的角 就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对 应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应 边所夹的角是对应角.（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等 图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1 .平移型 如图3,下面几种图形属于平移型： 它们可看成有
5、对应边在一直线上移动所构成的， 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到.图32 .对称型 如图4,下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.3 .旋转型 如图5,下面几种图形属于旋转型：7 / 会 图5-它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中.A三、易混、易错点剖析1 .探索两个三角形全等时，要注意两个特例(1)三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的两个三角形不一定全等；如图6 (1)中的两个三角形的每个角都是60。，但这两个三角
6、形显然不全等；入(2)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6 (2),中的aABC和命中,一cD图 6 (2) 虽然有AB=AB, AC=AD, ZB=ZB,但它们显然不全等.2 .在判定三角形全等时，还要注意的问题在判定三角形全等时，应做到以下几点：(1)根据巳知条件与结论认真分析图形；(2)准确无误的确定每个三角形的六个元素；(3)根据巳知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；(4)对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；(5)想办法找出所需的条件来.四、例题：例1.如图7 (1), E、F分别是四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点,AB/CD, AD/B
7、C,且 AE=CF, EF 交 AD 于 G,交 BC 于 H.(1)图中的全等三角形有 对，它们分别是；(不添加任何辅助线)(2)请在(1)问中选出一对你认为全等的三角形进行证明.我选择的是：.解：（1） 2, AEGgACFH 和BEHDFG.(2)如求证明：AEGgZXCFH.证明：在平行四边形ABCD中，有NBAG=/HCD, A所以 NEAG=180/BAG=180NHCD=NFCH. 囱 7又因BA/DC,所以NE=/F.又因AE=CF,所以4AEG 点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以与证明L 、B 图 7（2） C主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出例2.如图
8、8,在4ABD和aACE中，有下列四个等式： （t）AB=AC AD=AE 1 = Z 2（4）BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论， 写出一个真命题（要求写出巳知，求证与证明过程）.（提示：答案不唯一）.点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学出创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中你得到的一对全等三角形是=A7 / 6D（提示：可选择CE = O石、ZCAB=ZDAB. 8c=8。等条件匚 可得到AAC石三A40碰14C3三AAO8, 证明过程略）. 例 4.如图 10, AB=CD=ED, AD=EB, BE1DE, （1）求证：ABDgzEDB只需添加一个条件，即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.提示：(1)证明略(2)添力口 AB/CD,或添力口 AD=BC 或 BE=BC 或/A=/ADC 或/ADC=90 或NA= N C 或/ C=90 或 Z ABD= Z BDC 或 N A= N ABC 或 Z ADB= Z DBC 或 Z ABC=900等.证明略.