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1、量纲分析与无量纲化,一. 量纲齐次原理,许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量纲是基本的,有些物理量的量纲则可以依定义或物理定律推导出来.量x量纲记号x如:,动力学:长度l,质量m,时间t的量纲为基本量纲,分别记做L,M,T.即,其他量纲,有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如,类似地在我们前面讲过的Malthus人口模型中,这里的r也是有量纲的r=T-1.而离散的指数增长模型中的r是无量纲的.另外,即使t的时间单位为年,二者的值也是稍有不同.,常用的基本量纲:,另外,无量纲量c的量纲记做c=1.如3.14=1,后面常用.,量纲齐次原理 用数学式子表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲一致
2、. Dimensional Homogeneity,例1 单摆运动 质量为m的小球系在长为l线的一端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球在重力mg作用下做往复运动.求周期t.,我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物理量有m,g,t,l.我们设,下面我们将此方法一般化.,定理,下面我们通过一个例子来说明这个定理的应用.,例2 航船阻力问题,长l,吃水深h的船以速度v航行.不考虑风的影响,则航船所受的阻力f除了与l,h,v相关外,还与水的参数-密度,粘性系数及重力加速度g有关.试确定f与它们的关系.,解:下面我们按照定理的过程来做.,于是我们得到4个相互独立的无量纲量:,进一步,由此式我们
3、可解得,二 应用于物理模拟中的比例模型,回到航船阻力的例子.,虽然的具体表达式我们不知道,但是这并不能妨碍我们应用这个结果.思想是:,问题是这些条件能否满足呢?,这样,我们就可以由实验测量得到的阻力f来估计原型中所受到的阻力.,三 无量纲化简介,关于无量纲化,就是我们将一个变量去除以一个该变量的某一个常数值(带单位).如,这里在分母的这个量成为特征尺度.在不同的问题中,我们要选择适当的特征尺度,以便比较方便“丈量”,即我们得到的数据不会太大,也不会太小.这种思想在建立模型、数值计算中是常用的.,下面我们举例说明.,抛射问题,在星球表面以初速度v竖直向上发射火箭,计星球半径为r,星球表面的重力加
4、速度为g,忽略阻力,讨论火箭高度x随时间t的变化规律.,设火箭和星球的质量分别为m1和m2,则由牛顿第二定律和万有引力定律得,在星球表面应用此式,得,结合初值得到抛射问题模型为,这个方程为可降阶的高阶微分方程,可理论求解,较复杂.总之,可解得,下面我们讨论用无量纲化方法来简化它. 这里是力学问题,采用长度和时间为基本量纲,则,无量纲化,本方法的思想是:特征尺度由参数r,v,g构成,并与x,t有相同的量纲.方法多多.略述如下:,v是常数,因此（11）1化为,上式即为,故抛射问题（11）化为,此问题的解可记为,它只含有一个参数，是无量纲量.问题得到简化.,为什么用来记这个参数?在地球上,目前远不可能有这么大的抛射速度.因此火箭不是抛射的.,既然1,能否在上式中令=0?不能!,下面我们换一种方法.,（11）1化为,故抛射问题（11）化为,此问题的解仍可记为,1,在上式中令=0得近似问题:,其解为,近似问题及此解代回原变量为,以及,可以看出,它就是抛射问题在抛射过程中g近似不变时的解.,作业:P55-57:2,7,15.,自愿探索：已经讲过的例子中的参数估计的实现？,