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1、第八章 组合变形,基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合的强度计算。 重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。 难点： 扭转与弯曲的组合。 课时： 3学时,8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 斜弯曲 8.4 扭转与弯曲的组合,第八章组合变形,8.1 组合变形和叠加原理,前面研究杆的简单变形问题，实际上，大多数的杆件在载荷作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。这种情况，称为组合变形。,杆在组合变形的情况下，如果其中只有一种基本变形是主要的，可以略去其它的次要变形，在计算杆的强度时，通过适当地降低许用应力，从而把各种次要变形的
2、影响考虑进去；如果杆在受力后所产生的几种基本变形都是比较重要的，那么就必须考虑变形的组合影响。,一、组合变形,弯曲和扭转组合,弯曲和拉压的组合,两个平面弯曲组合 (称斜弯曲),手绞车的转轴,车刀或钻床的立柱,梁在斜吊重物,计算组合变形的强度问题，在小变形的前提下，一般采用叠加原理。就是先将复杂变形分解为简单变形，分别计算各简单变形的应力和变形，然后叠加。,讨论常见的几种组合变形：弯曲与拉仲(或压缩)的组合、斜弯曲及弯曲与扭转的组合。,二、叠加原理,分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。这样，可分别计算每一基本变形各自
3、引起的应力、内力、应变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。这一原理前面曾多次使用，对弯曲变形的叠加还作过简单的证明，书中P263作了更广泛的阐述和证明。,8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合,2.弯曲变形时，横截面上的应力：忽略切应力，则只有正应力”：,3. 根据叠加原理,拉应力取正号， 压应力取负号。,1. 在拉伸(或压缩)变形时，横截面上只产生正应力：,=+”,旋臂式起重机横梁AB：在横向力(W、FRAy、Fy)作用下发生弯曲，同时在轴向力(FRAx = Fx)作用下发生轴向压缩。,例8.1 最大吊重W=8 kN的起重机如图a所示。若AB杆为
4、工字钢，材料为Q235，=100MPa，试选择工字钢型号。,解：(1) 外力分析、确定变形类型压弯组合,MA=0 ,(2) 作弯矩图和轴力图。 在C左侧截面为危险截面。,查型钢表，选取l 6号工字钢，,（4）按弯曲与压缩组合校核。 在危险截面C的下边缘有最大压应力,结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选择截面的型号。,(3)初选。不考虑轴力的影响，只根据弯曲强度选取工字钢型号。,M产生弯曲的正应力：,拉弯组合：,(4)校核强度：,所以立柱CD的强度是足够的。,(3)应力计算，确定危险点、b点；,解 (1)外力分析，确定变形类型拉弯组合；,（2）内力分析，确定危险截面整个轴； M=
5、600(kNcm) FN=15(kN),P产生拉伸正应力：,例8.2 钻床在零件钻孔时，钻床主轴AB受到P=15kN的外力作用，已知铸铁立柱CD的直径d=150mm，铸铁的许用拉伸应力t=30MPa，许用压缩应力c =100MPa，试校核立柱CD的强度。,8.3 斜弯曲(弯弯组合),在前面，我们研究梁的弯曲,是对与横截面具有对称轴的梁,即平面弯曲。这时,梁上受横向力(即力的作用线在梁的纵向对称面内), 则弯曲后梁的轴线在外力所在的平面内。而当外力作用线虽然通过截面形心，但并不在梁的任一纵向对称面内，则弯曲后梁的轴线就不在外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。,Py产生以z轴为中性轴的平面弯曲，
6、 Pz产生以y轴为中性轴的平面弯曲。 斜弯曲可看成两个平面弯曲的组合。,如图(a)所示的矩形截面悬臂梁。当在yz平面内的外力P不与形心主轴y、z重合，而与y轴成一倾斜角时，就是斜弯曲情况。,距自由端为x的截面上，绕z、y轴的弯矩分别是：,式中的总弯矩为：,3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，与弯矩Mz、My对应的正应力分别为和”，故,根据叠加原理，该点正应力=+”,1.将力P沿主轴分解为：,2.分别画出弯矩图。弯矩图画在受压一侧。,MzP产生的,MyP产生的,一般计算斜弯曲的正应力时不用该公式，而是根据y、z方向的力计算截面上任一点产生的正应力，然后叠加。应力的符号
7、由观察梁的变形来确定。,画出横截面上两个平面弯曲引起的应力分布图，由此图可看出，尖角1点处的拉应力最大，2点处的压应力最大。,注意：,下面求危险截面上的最大正应力：,斜弯曲时梁的强度条件仍然是危险截面上的最大正应力不超过许用应力。,说明：,当Iz=Iy时(例如圆截面), 说明中性轴与横向外力作用平面垂直，即过形心的任意横向力只在力的作用平面内引起弯曲，为平面弯曲。,补例8.1 已知：P=2kN,L=1m,Iz=628104mm4,Iy=64104mm4,求：max,3画应力分布图，确定危险点A、 B点,yA和zA是A点坐标的绝对值,解:1.分解P力。,2画弯矩图，确定危险截面-固定端截面。,A
8、点的应力,8.4 扭转与弯曲的组合,2.内力分析、画内力图，确定危险截面-A为危险截面。,3. 应力分析、画出应力分布图，确定危险点、分析其应力-1、2两点为危险点。,扭转时最大切应力,1.外力分析-扭转与弯曲的组合。,弯曲时最大正应力,T图,M图,在距左端为x处的横截面上的扭矩和弯矩：,4.建立强度条件。在1点处取出一单元体如图示，这个单元体的面上有应力和是一个二向应力状态。,(1)计算单元体的主应力。计算单元体的三个主应力为:,（2）一般工程上的传动轴，大都采用塑性材料，故常用第三强度理论或第四强度理论条件。,将和代入,直接进行弯扭组合时圆轴的强度计算,第三强度理论,第四强度理论,2.上面
9、仅是一个简单的扭弯组合情形的强度计算。对于实际问题中较复杂的情形，例如不同截面上扭矩不同或横向外力并不在同一平面内（斜弯曲）。把各横向力分解成铅直和水平面内的分力；计算各截面在铅直平面内的弯矩和在水平平面内的弯矩,分别作出两个平面内的弯矩图；将各截面的和水平，按 计算合成的弯矩；由扭矩图和合成的弯矩图确定危险截面来进行强度计算。,3. 对于拉伸(或压缩) 、弯曲和扭转组合作用的情况，只需求拉伸和弯曲产生的正应力与”的代数相加，得出合成正应力拉（压）弯组合的正应力，然后再将合成正应力和扭矩而产生的切应力代入 和 中进行强度计算。在工程实践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。,1. 和 只能用于扭弯
10、组合的圆轴（实心和空心）。,说明：,4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？,例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， =85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过带轮C带动的，转速为n=966rmin。带轮的直径为D=132 mm，带拉力约为F+F=600 N。齿轮E的节圆直径为d1=50mm，Fn为作用于齿轮上的法向力。试校核轴的强度。,外力偶矩,将Fn， F与F向x轴简化:,F与F简化:,Ft和（Fy+ Fy）,xy面的弯曲,解：1.外力分析-扭转与弯曲组合。,Fn简化:,Me,Me= Me,和,和,Fr和（Fz+ Fz）,x
11、z面的弯曲,Me=Me，扭转变形,2.内力分析、画内力图，确定危险截面。 判定轴的危险截面为截面B。,用同样方法也可求出其他截面上的合成弯矩。(可不画出),考虑到轴在交变应力下工作(见第十一章)，这里规定的许用应力已远低于静载下的数值。上面的计算表明，轴的相当应力仍然偏低，直径偏大，强度储备过高。出现这种情况，有时是出于刚度或结构上的考虑。,3.强度校核。 按第三强度理论进行强度校核,例8.6 图8.15a所示曲轴的尺寸是：r =60mm，L/2=65mm，l/2=32mm，a=22mm。连杆轴颈直径d1=50mm，连杆主轴颈直径d=60mm。曲柄截面3-3的尺寸为：b=22 mm，h=102
12、 mm。作用于曲轴上的力有：作用于连杆轴颈上的力F=32kN和F=17 kN，曲柄惯性力Fd=3kN，平衡重惯性力Fd1=7kN。曲轴材料为碳钢，=120MPa。试校核曲轴的强度。,由曲轴的平衡方程，,解：1.求外力。,2.分别对不同杆件进行强度校核。,连杆轴颈在中央截面11上弯矩最大。现将这一截面上的弯矩及扭矩分别计算：,在xz平面内的弯矩,合成弯矩,扭矩,所以，连杆轴颈满足强度条件。,(1)连杆轴颈的强度计算-弯扭组合,在xy平面内的弯矩,2)主轴颈的强度计算-弯扭组合,对主轴颈，校核它与曲柄联接的截面2-2(图8.15a)。,如仍用第四强度理论校核强度,主轴颈满足强度条件。,因为横截面3
13、-3是矩形截面，所以求截面上一点的弯曲正应力时，不应将Mx和Mz合成，而应该分别求出该点与Mx和Mz对应的正应力，并与FN引起的正应力叠加。同时，计算对扭转切应力，用 或 校核。,(3)曲柄的强度计算-弯曲、扭转和压缩的组合,在切于主轴颈的曲柄横截面3-3上，FN，Mz，T与其他横截面相同，但弯矩Mx比其他截面大，该面上还作用着剪力FSz。,C点：轴力FN，弯矩Mx和Mz对应的皆为压应力，单向压缩。,D点：二向应力状态。正应力D为与FN和Mz对应的正应力的代数和，切应力为与T和FSz对应的切应力1和2的代数和,第四强度理论,故曲柄也满足强度条件。,P97，例3.7,Mz图,T图,My图,补例8
14、.2 已知：轮的直径D=lm，重量P=5kN。=80MPa 试按第三强度理论求所需圆轴直径。,（1）分别作出扭矩图和在铅直平面及水平平面内的弯矩图。,C截面为危险截面。 扭矩 T=1.5kNm,解 1.外力分析-扭转与弯曲的组合。弯曲为铅直平面及水平平面内弯矩的组合。,2.内力分析、画内力图，确定危险截面。,将轴在C截面和B截面的铅直与水平面内的弯矩合成为：,3.强度校核,1处理组合变形问题的方法，是将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后叠加。 2弯曲与拉伸(或压缩)组合时的强度条件为：,小 结,3斜弯曲（弯弯组合)时，斜弯曲时正应力的计算公式为：,但是，在求拉(压)弯组合和斜弯曲的正应力时最好不用上式，而是求危险截面上拉(压)产生的正应力与根据y、z方向的力计算截面上任一点的正应力，然后叠加。,4扭转与弯曲组合时的强度条件有两种：,第三强度理论,第四强度理论,习题: P280： 8.3、8.7、8.16、8.18,