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1、 本章教学目标： l了解回归分析在经济与管理中的广泛应用； l掌握回归分析的基本概念、基本原理及其分析应 用的基本步骤； l熟练掌握使用软件求解回归方程及其运行输出结 果的分析与使用； l能应用回归分析方法解决实际问题（分析各种变 量间的关系，进行预测和控制） 第12章 多元线性回归 1 本章主要内容： 12.1 多元线性回归的数学模型 12.2 参数的最小二乘估计 12.3 多元回归模型的显著性检验 12.4 预测与控制 本章内容重点： 回归方程和回归系数的显著性检验；多元线性回 归及其预测和控制；软件的求解分析。 2 在许多实际问题中，对某一变量 Y 有重 要影响的解释变量不止一个，此时就
2、需要研 究一个随机变量 Y 与多个普通变量 X1, X2, , XP 之间的回归关系，这就是多元回归问题。 多元线性回归分析的原理与一元线性回 归是类似的。 12.1 多元线性回归的数学模型 3 设被解释变量 Y 与 P 个解释变量 X1, X2, , XP 之间 存在线性相关关系。 则 Y 与 X1, X2, , XP 之间的多元 线性回归模型为： Y= 0 + 1 X1 + 2 X2 + + P XP + (12.4-1) 设第 i 次试验数据为 (xi1, xi2 , xip, yi )， 则多元线性 回归有如下数据结构： yi = 0 + 1 xi1 + 2 xi2 + + p xip
3、 + i (12.4-2) i N(0, 2 )，且相互独立 i = 1, 2, , N 一. 多元线性回归的数学模型 4 设 在多元线性回归中，同样使用最小二乘法进行参数 估计。 则多元线性回归方程为 为参数 0, 1, , P 的最小二乘估计， 同样称为回归方程的回归系数。 二. 参数 的最小二乘估计 5 如果变量 Y 与 X1, X2, , Xp 之间并无线性关系，则 模型(12.4-1)式中各一次项系数应全为零。 因此要检验 的原假设为 H0：1 = 2 = = p = 0 为构造检验 H0 的统计量，同样需要对总的偏差平 方和 ST 作如下分解： = SE + SR 同样称 SR 为
4、回归平方和，SE 为剩余平方和。 三回归方程的显著性检验 6 检验 H0 的统计量 可以证明，当 H0 为真时，统计量 F( P, N-P-1) 检验过程同样可以列成一张方差分析表。多元回 归方差分析表的格式与一元回归完全相同。 7 在多元回归中，回归方程显著的结论仅表明模型中 各 j 不全为零，但并不说明它们全不为零。也即并不 能保证每个解释变量都对 Y 有重要影响。 如果模型中含有对 Y 无显著影响的变量，就会降低 回归方程的预测精度和稳定性。 因此，需要从回归方程中剔除对 Y 无显著影响的变 量，重新建立更为简单的回归方程。 如果某个变量 Xk 对 Y 的作用不显著，则模型中 k 就可以
5、为零。故要检验的原假设为 H0k：k = 0，k = 1, 2, , P 四. 回归系数的显著性检验 8 记 tk 为检验 H0k 的统计量，则当 H0k为真时， 统计量 tk t (N-P-1)，k = 1, 2, P 因此，在给定水平 下，若 tk t(N-P-1) 就拒绝 H0k，说明 Xk 的作用显著。 反之，则说明 Xk 的作用不显著。 9 2. 存在不显著变量后的处理 若经检验，Xk 的作用不显著，则应从模型中剔除 Xk，并重新求解 Y 对余下的 P-1 个变量的回归方程。 若检验中同时存在多个不显著的变量，则每次只能 剔除一个显著性水平最低的变量，重新求解新的回归 方程。再对新的
6、回归系数进行检验，直至所有变量都 显著为止。 当模型中解释变量很多时，通常会存在较多的不显 著变量，以上步骤就非常繁琐。更为有效的方法是采 用“逐步回归”来求解多元线性回归方程。 10 逐步回归的基本思想是： 采用一定的评价标准，将解释变量一个一个地逐步 引入回归方程。每引进一个新变量后，都对方程中 的所有变量进行显著性检验，并剔除不显著的变量 ，被剔除的变量以后就不再进入回归方程。 采用逐步回归方法最终所得到的回归方程与前述方 法的结果是一样的，但计算量要少得多。 在 SPSS 软件的线性回归功能中就提供了逐步回归 的可选项。 逐步回归方法简介 11 家电商品的需求量 Y 与其价格 X1 及
7、居民家庭平均 收入 X2 有关。 下表给出了某市 10 年中某家电商品需求量与价格 和家庭年平均收入水平间的数据。 求该商品年需求量 Y 关于价格 X1和家庭年平均收 入 X2 的回归方程。 【案例3】需求量与价格及收入间的关系 12 由方差分析表，Significance F = 0.0001，因而回归 方程极高度显著。 对回归系数的显著性检验结果为： X1 的P-value = 0.0268，X2 的 P-value = 0.0262 都是一般显著。 此外还得到回归方程的标准误差： 用 Excel 求解案例 3，可得回归方程如下： 该值在求预测区间和控制范围时要用到。 案例 3 分析 13
8、 预计下一年度该商品的价格水平为1800元， 家庭年平均收入为30000元，希望预测该商品下一年 的需求量。 假定下一年度居民家庭年平均收入估计在30000 -31000元之间。 若要以90%的概率使该商品的年需求量不低于12 万台，则应将价格控制在什么范围内？ 案例3 需要进一步分析的问题 14 1. 预测 在给定解释变量的一组取值 ( x01, x02 , x0P )， 由回归方程可得回归值 它是 Y0 = 0 + 1X01 + 2X02 + + pX0p+ 0 的一个 点估计。 可以证明，Y0 的置信度为 1- 的预测区间为 五. 预测和控制 15 预计下一年度该商品的价格水平为1800
9、元，家庭 年平均收入为30000元，求该商品年需求量的置信度 为90%的预测区间。 解：由所得回归方程，可求得 该商品在该市下一年的年需求量的置信度为90% 的预测区间为 案例3的预测分析 = t0.05(7)0.8618 = 1.63 = (11.20万台，14.46万台) 16 2. 控制 在多元回归情况下， 由于解释变量有多个，若控制 问题的提法是：当要求以 1- 的概率将 Y 控制在某一 给定范围内，问应将各解释变量控制在什么范围内？ 显然此问题可以有无穷多个解。 因此多元回归控制问题的一般提法是：若要将 Y 控 制在某给定范围内，在给定其中 P-1 个解释变量的取 值范围时， 应将另
10、一个解释变量控制在什么范围之内？ 多元回归的控制分析方法与一元回归是完全类似的。 17 假定下一年度居民家庭的年平均收入估计在30000 -31000元之间，若要以90概率使该商品在的年需 求量不低于12万台，问应将价格控制在什么范围内 ？。 解：此问题仍是单测控制问题，即要控制 X1 的取值 范围，使 其中 案例3的控制要求分析 = t0.1(7)0.8618= 1.2194 18 可解得：x1 12 11.167 - 1.903x1 + 0.169531 - 1.2194 12 案例3的控制要求分析(续) 19 根据我国自 1975 年到 1986 年 12 年间上述 各项经济指标数据，建
11、立计划经济时期影响 我国钢材产量最合适的回归模型。 【案例4】宏观经济模型 在计划经济时期， 我国钢材产量 Y 主要与以 下因素有关：原油产量 X1， 生铁产量 X2， 原煤产量 X3，电力产量 X4，固定资产投资 X5， 国民收入消费额 X6，铁路运输能力 X7。 20 即在计划经济时期，我国钢材产量主要受原油产量 X1，生铁产量 X2，电力产量 X4的影响。其中原油产量 与钢材产量之间是负相关的，这主要是因当时资金有 限的原故。 如果使用 SPSS 软件中的“逐步回归”求解，可直接 得到上述结果。 用 Excel 求解本案例的分析步骤 第一次回归的结果是：回归方程极高度显著，但回 归系数的检验结果中除X4(电力产量)外，其他变量都 不显著。 经过4轮逐个剔除t统计量最小的变量后，得到最优 回归方程如下： = -35.1453 - 0.1275 X1 + 0.37914 X2 + 0.87506 X4 21