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1、在FDTD模拟实际结构时，常常遇到一些特殊的结构和形状，如导体曲面、介质交界面曲面、槽、细导线、介质薄层等，对于这些特殊的结构和形状，传统的Yee网格已不再能有效处理，这时采用围线路径模型最为简单、方便。围线路径模型的基础是积分形式的Maxwell旋度方程，本章也将由此展开讨论一些共形网格的方法及其应用。,7.1从Maxwell方程的积分形式推导FDTD方程,【引理一】设f(x)在x0,x1中为连续函数，a,b,cx0,x1，则,(7-1),对于连续函数f(x)在c点进行Taylor展开， 式中， ， 。于是，,【推论1】如果取 ，则,(7-2),同理，可以证明. 【引理二】设f(x,y)在x
2、1,x2，y1,y2中为连续函数， ， ， , ; , , , ，则,(7-3),【推论2】如果取 ， ，则,(7-4),设媒质均匀，各向同性，则Maxwell方程的积分形式为 (7-5) (7-6),图7-1 Yee网格中的链接正交围线,考虑图7-1所示的Yee网格，在矩形围线 中包围了电场 ，其围线上分布磁场分量 ，在矩形围线 中包围了磁场 分量，其围线上分布电场分量 分量。 将Maxwell-Ampere定律(7-5)用于 围线所包围的面积 , 可以得到,取围线 和面积 上中心处的场分量，应用推论1和推论2，同时时间导数采用中心差分近似，则可以得到二阶精度的FDTD方程：,(7-7),以
3、相同的方式，将矩形围线 用于Maxwell-Faraday定理 (7-6)，围线上场分布作类似的假设，可以得到,(7-8),(7-7)-(7-8)式与从Maxwell方程的微分形式采用时间和空间的中心差分得到的FDTD公式完全相同。同理，可以得到其他场分量的二阶中心差分FDTD公式。,7.2理想导体曲面的共形模型,图7-2 共形网格的围线积分路径,如图7-2所示导体曲面，对于电场分量采用标准的FDTD公式。对于 分量，利用积分形式的Faraday定理可得 由于导体表面上 ，则,因为场分量不是取的围线和面积上的中心值，所以（7-9）是一阶精度的。下面我们讨论一种比较适合于波导宽边上缝隙特性分析的
4、导体曲面共形网格FDTD方法。为方便起见，如果围线积分路径沿着变形网格的边缘进,(7-9),行(图7-3，图7-4, 图7-5所示)，而且对某些场量采用最近邻居场借代近似，我们称之为A-CPFDTD。,图7-4 围线积分路径示意1,图7-3 共形网格示意,现有的A-CPFDTD方法的算法稳定性和计算精度强烈地依赖于变形网格的形状和大小。研究实例表明，当变形网格的大小仅为全网格尺寸的5%时，或出现细长畸形时，常规的局部网格共形技术将导致不稳定。针对这种不稳定性，Mittra等人假定变形网格内部的电场和磁场位于同传统FDTD网格相同的地方，法拉第定理应用于整个FDTD网格(如图7-6所示)而不仅仅
5、是变形部分，这意味着围线积分沿着整个网格进行（为了方便起见，我们称之为B-CPFDTD）。这种算法可以消除不稳定性。在A-CPFDTD以及B-CPFDTD方法中，尽管磁场的计算被修改了，但是电场迭代公式保留不变，仍用原来的FDTD方案。,图7-6 围线积分路径示意3,图7-5 围线积分路径示意2,我们在波导缝隙的分析研究中发现，A-CPFDTD很容易导致发散，而Mittra提出的全围线方案，无论是采用最近邻居场借代近似，还是对围线较小的边上的电场不作特殊处理，所得的结果的精度相对于相同网格分辩率的梯形近似来说，都没有较大改善。因此，我们提出上述两种方案混合使用的共形FDTD方案，为了简单方便，
6、我们称之为C-CPFDTD。本方案对于围线边较小的情况，在该边上围线的中心处虚拟出一个电场，其值由与该场量同方向的前一个电场值或者后一个电场值（由是否在媒质中决定）通过插值的方法求出，将该虚拟电场代替围线边上的场值代入围线积分的磁场迭代公式进行计算。为此目的，我们把共形网格分为两大类，一类为“良态“的共形网格，此类网格围线积分一般不会导致发散，采用A-CPFDTD。另外一类为“病态”的共形网格，此类,网格如果采用A-CPFDTD方案，则比较容易发散，因此 采用Mittra等人提出的B-CPFDTD。,(a) 良态的网格 (b) 病态的网格 图7-7 局部网格示意,对于图7-7(a)所示的良态的
7、共形网格，根据法拉第定理： 。将围线积分应用于介质区域，我们可得到共形FDTD的算法（以 为例）如下： (7-10) 式中， 是指围线积分路径上相应的四个边长。需要共形的其他磁场分量按照类似方式进行求解。 对于图7-7(b)所示的病态共形网格，我们将法拉第定理应用在整个FDTD网格，而不是仅在变形部分，即围线路径是整个网格边缘。此时 的迭代方程变为：,(7-11),需要共形的其他磁场分量按照相似公式进行求解。如果某个网格，其围线边上的电场处于PEC中，则用插值方法求解出一个虚拟的电场（如图7-7b所示）来进行磁场的迭代。对于缝隙情况，其线性插值公式为：,上式中， 为该变形网格对应的Yee网格边
8、长， 为该边上的围线长度。 为与虚构电场同方向的处于媒质中的电场值。,C-CPFDTD的具体算法可以简单描述如下： (1) 首先自动建模，获得共形网格的标志及其围线边长和A-CPFDTD意义下的围线面积。 (2) 在 时间步: 求解磁场。包括：利用(1)所得围线信息，判断是否要采用CPFDTD，以及采用A-CPFDTD，还是B-CPFDTD。 (a)共形网格区域： 按照共形网格的磁场迭代公式进行计算。如果某个共形网格的某个边围线长度太小，电场处于PEC区域，则应用插值方案求出一个虚构电场。把该虚构电场看作为求解磁场所需要的该边上的电场进行磁场计算。注意，并不是要改变该边上的原有电场值。 (b)
9、 其他网格处的磁场按照一般的迭代公式进行求解。,处理PML区域磁场。 (3) 在 时间步： 进行正常的电场公式迭代。 处理PML区域的电场。 (4) 返回(2)。 对于波导缝隙分析，为了算法简单方便起见，我们对围线面积小于0.1倍全面积的网格采用B-CPFDTD，其余采用A-CPFDTD。 下面用上面所提出的改进方法进行一个波导圆头缝隙实例计算。 宽边辐射组合斜缝也是波导缝隙天线阵中一种常用的辐射单元，但传统矩量法对其进行精确分析仍具有很大的复杂性和难度。对于FDTD共形技术，其分析难度与纵缝却是一致的。辐射组合斜缝的模型及局部,网格划分分别如图7-8和图7-9所示。C-CPFDTD采用的立方
10、体网格尺寸为 ,缝隙长为15.7851 mm，缝宽为2.54 mm，缝倾角为250，缝偏置为6.0 mm。其缝隙等效S参数如图7-10所示。图中还给出了 粗网格阶梯近似的结果和 细网格阶梯近似的结果。从结果比较来看，C-CPFDTD的计算精度已超过2倍细网格的阶梯近似精度，并与HFSS仿真结果取得很好一致。,图7-8 斜辐射圆头缝隙FDTD计算模型图,图7-9 共形网格局部示意图,(a) S11幅度频带特性 (b) S11相位频带特性 图7-10 缝隙等效S参数特性,7.3介质交界面曲面 平均特性模型,考虑图(7-11a)所示的介质交界面曲面及其网格，对于Hz1分量,由Faraday定理，得,
11、所以，有 由于Ey在通过介质交界面的围线上不是连续函数，所以（7-12）也不是二阶精度。,(7-12),Faraday 定律积分路径 Ampere定理积分路径 图7-11 介质交界面曲面及其网格,对于(7-11b)图所示的网格和场分量，由Ampere定理，得 故 可以看出，如果g = 0.5，则网格中的媒质参数为两种媒质参数的平均值。,(7-13),7.4窄槽的围线路径模型,如图7-12所示为二维窄槽的电磁穿透问题。,图7-12 二维窄槽的电磁穿透问题,根据图7-12，可以分三种路径处理围线积分： C1: (7-14) C2: (7-15) C3: (7-16),图7-13(a)和(b)分别给
12、出了利用上述方法计算的垂直入射时典型空气槽的场分布的振幅和相位，可以看出，与频域矩量法（MOM）的结果吻合良好。,(a) 振幅 (b) 相位 图7-13开槽导体屏上电场分布,7.5细线结构的准静态子网格方法,(7-17),其中，a,b 分别为同轴线的内外半径。,细天线半径 ，且 远远小于一个波长，导线沿着 方向置于Yee网格中。根据散射近场的物理特性，可以假定：在细导线附近的环向磁场和径向电场均按 的规律变化，其中 是距离导线中心的垂直距离。基于此假设，对于图7-14(a)所示xoz面内导线内部及含细导线网格表面的环路的场可表示为：,(a) xz面 (b) xy面 图7-14 围线积分示意图,
13、利用Maxwell方程积分形式的第二式（法拉第定律）来计算通过四个电场位置的围线积分：,(7-18),(7-19),对(7-19)式两侧的积分项进行化简，并将(7-19)式右侧的时间导数进行差分处理后，得到： 同理可得其它分量的磁场迭代方程。,(7-20),(7-21),同样可求得yz平面上的场迭代方程为：,(7-22),(7-23),参见图7-14（b），可求得xy平面上的场迭代方程为： (7-24),其余三个临近导线位置处的 修正FDTD公式类似。FDTD模拟时，磁场按与(7-20)式 类似的诸式迭代，而电场的更新按照正常方式进行。 按照上述理论，本节对带有调配螺钉的H-T功分器 (图7-
14、15)的特性进行了模拟分析，试算了一个螺钉到达波,导下波导壁的情况，也就是图7-15所示位置放置销钉 情况。通过与平面电路法对比，获得了比较好的模拟 效果，计算结果如图7-16所示。,图7-15 含有调配螺钉的H-T功率分配器,图7-16 含有销钉的H-T功分器部分S参数幅度和相位分布,7.6介质薄层,如图7-17介质薄层。,图7-17介质薄层,在介质薄层外， 涉及的场量均在空气中，故,(7-25),在介质薄层内，对于 ，Ampere定理的路径完全落在薄层中的 平面上，路径上的磁场分量与(7-25)中相同。因为这些磁场与薄层是切向的，所以，在 和 间的边界上是连续的。所以,(7-26),下面考虑在 处的 和 ，这些分量与薄层相切且位于薄层表面的 之内。使用Ampere定理的围线垂直穿透薄层，因此使用平均特性模型，不过，这里不仅有 ，还有 ，故:,(7-27) (7-28),式中， ， 下面考虑在 处 分量的时间步进关系式，这些分量垂直与薄层并且位于薄层表面 内，Faraday 定理围线路径环成 ，位于 平面，完全处于自由空间，所以， 的表达式与自由空间中的规则表达式相同。 最后考虑位于 处的 和 分量的时间步进式，应用Faraday定理，得,(7-29),（7-30）,