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1、小波变换教案,制作：王代强,绪论,小波变换的历史： 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。,1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码(subband c
2、oding),多采样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波,1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座,J.Morlet，地震信号分析。 S
3、.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化,正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换
4、的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；,1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale
5、 Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。,小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号
6、处理问题。,小波变换如同一台可变焦距的数学显微镜，改变各种焦距便可探测到被处理信号中所隐含的奇异点并识别出它的性质，或分析出非平衡信号所包含的各种成分，从而可有效地探测并诊断出精密复杂设备中的疑难故障，是该领域具有明显应用前景的前沿课题,现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理、模式识别、语音识别、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算。,军
7、事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。,(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理
8、模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。,(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面,参考资料,1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992. 2. S. Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, B
9、oston, 1998. 3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷， 世界图书出版社，1992. 4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。 5. 关肇直,张慕庆,冯德兴, 线性泛函分析入门， 上海科学技术出版社，1979.,第一章准备知识,距离空间,说明,常用的距离空间,函数空间概念,线性空间,线性赋范空间,Banach (巴拿赫)空间,Hilbert （西耳伯特）空间,什么叫张成span？,什么叫基底？,什么叫正交？,什么叫标准正交系？,什么叫完全的标准正交系？,什么叫双正交基？,Hilbert空间,框架及紧框架 Frame & Compact Frame,定义、定理及证明,1. (巴拿赫)Banach空间与Hibert（西耳伯特）空间,由于F(0) = 0,故 =0,2. 线性算子与同构,我们只考虑可分的Hilbert空间。设T : X Y ，它为线性算子，若,对线性算子，连续性与有界性是等价的。设X,Y为Hilbert空间，则它们的对偶 X*=X,Y*=Y 定义线性算子T:X Y 的共轭算子T* : Y X为,3. 有关积分的性质,4. Hilbert空间中的投影算子，框架与Riesz基,投影算子：幂等的有界线性算子. 设P为X上的投影算子，则P可分解为,总结,前面讲的数学知识是学习小波理论的基础，因此，大家必须牢固掌握！,