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1、浅谈待定系数法在证明函数不等式的应用浅谈待定系数法在证明函数不等式的应用 辽宁沈阳：王海刚（数学小丸子）辽宁沈阳：王海刚（数学小丸子） 题：题：求证：2ln(1) x exx 证：证：先证 2 3134 5105 x exx 构造函数： 2 3134 5105 ( ) x xx f x e (1)(56 ) ( ) 10 x xx fx e ， 令( )0fx ，解得 12 5 1, 6 xx ，则有 max5 6 23 5 10 ( )( ) 6 f xf e 再证 2 3134 2ln(1) 5105 xxxx 构造函数： 2 3134 ( )2ln(1) 5105 g xxxxx 671
2、 ( ) 5101 g xx x ，易知( )g x单调递增，且(1)0g，则 min 7 ( )(1)ln2 10 g xg 下证： 5 6 23 10 e ， 7 ln2 10 ，易证不等式： 2 2 612 ,0 612 x xx ex xx 因此有： 511 632 127 6123 91 3710 eee， 7 10 1669 2 829 e， 【注【注】 ：或者利用不等式： (5)(1) ln 42 xx x x ，可知 7 ln2 10 分析：分析：下面说明作为过渡函数的二次函数 2 3134 5105 yxx的来源，待证不等式2ln(1) x exx中的 x ye为下凸函数，2
3、ln(1)yxx是上凸函数，可以尝试在 x ye与2ln(1)yxx之间插入一个二 次函数 2 (0)yaxbxc a，也即证： 2 2ln(1) x eaxbxcxx 因为2ln(1) x yexx的极值点约为0.924，则可令：1x ，则有2ln2eabc，其中 ln20.693，因此有2.693eabc，不妨取2.7abc 构造函数 2 ( )2ln(1)f xaxbxcxx ，令(1)0f， （即将1设为( )f x的极值点） ，此时有 22.5ab 由知 5 2 2 1 5 ba ca ，则只需证： 2 51 (2 )() 25 x eaxa xa，下面研究参数a的取值，分离参数为：
4、 2 51 25 (1) (1) x ex ax x ，函数 2 51 25 (1) x ex y x 的最小值约为0.637，不妨取 3 5 a ，下面尝试说明 3 5 a 的 来源，在证明形如： 2x eaxbxc的不等式时，可尝试证明 2 ( )1 x axbxc f x e ，求导得到： 2 (2) ( ) x axab xbc fx e ， 令( )0fx ，有 2 1,2 2(2)4 () 2 ababa bc x a 为了计算方便，需要保证 22 5425 (2)4 ()4, 54 aba bcaaM MR，因此不妨取 3 5 a ， 11 10 M 因此只需要证： 2 3134 2ln(1) 5105 x exxxx，过程如上即可 小结：小结：由上述办法易知有： 2 19 22ln(1) 420 x exxxx， 2 137 2ln(1) 2210 x exxxx