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1、第一章习题解答 1几何光学基本定律 1如图所示为一种液面激光控制仪，当液面升降时，反射光斑移动，为不同部位的光电转换元件所接收，变成电讯号输入控制系统，试计算液面升高h时反射光斑移动的距离s。 解：按光的反射定律作光路于附图，则由图可得反射光线的位移量为 又 于是得 5试证明：当一条光线通过平行平面玻璃板时，出射光线方向不变，但产生侧向平移，当入射角 很小时，位移为 式中n为玻璃板的折射率 ，t为其厚度。 解：对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到平板上下是同一介质，便可证明最后出射光线与当初入射光线的方向一致，入附图所示， 根据几何关系课的侧向位移量为,折射定律有 所以 在 1的条
2、件下，取小角近似 于是有 12如图所示，在水中有两条平行线1和2，光线2射到水和平行平板玻璃的分界面上。 （1）两光线射到空气中是否还平行？ （2）如果光线1发生全反射，光线2能否进入空气？ 解: 我们先推到一下光线经过几个平行界面的多层媒质时出射光线的方向。 因为界面都是平行的，所以光线在同一媒质中上界面的的折射角与下界面的入射角相等，如下图所示：,由折射定律有 以此类推得 由此可见，最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关。 (1)由上面结论可知本题光线1和2射到空气中仍保持平行。 (2)如图所示，当 时，也有 ，所以光线1发生全反射时，光线2也不能进入空气，光线2在玻璃与
3、空气的界面上发生全反射。 2惠更斯原理 5拖着棒的一端在水中以速度 移动， 比水波的速度 为大，用惠更斯作图法证明：在水中出现一圆锥形波前，其半顶角 由下式给出， 船后的弓形波，超管速飞机在空气中产生的冲击波，都是这样产生的。 证明： 由于棒对水的撞击（压缩），使棒端沿途各点先后成为水波源。如附图所示，设棒端在水中依次经过 点， 则当棒端到达 点时， 发出的水波面分别是半径为 ， ， 的球面。作这些球面的包络面，即 为宏观波面(总扰动的水波面)。设总扰动的水波面与次波面分别相切与 各点，则 即宏观波面是以端点 为顶点的锥面，成为“马赫锥”，锥角大小由 确定。,3费马原理,2证明图2-3中光线
4、， ， ， . 的光程相等。 分析：本题就是证明折射光束是等光程的。我们任取其中两条，即证下面图中的 证明：如图，由次波源 向光线 作垂线，垂足标为 显然 再比较 ， 两段的光程，在直角三角形 和 中，有 由折射定律可知 于是 所以光程 是相等的 。同理可证其他的折射光束都是等光程的 。,4成像 1以一节例题2所用的光线追迹法证明图4-6中 和 是一对共轭点。 证明：如图，设球面半径为R，物像方折射率分别为 ， ，按我们的符号法则， 由顶点A算其起的距离 ， ， 由球心算起的距离 ， ，于是 在 和 中分别应用正弦定理，则有 解得 又根据折射定律 以及角度关系 进一步得到 由此可见，只在 的特
5、殊情况下有 此时 位置与出射角u无关，使 ， 成为宽光束严格成像的一对共轭点。,5共轴球面组傍轴成像,3凹面镜的半径为40cm，物体放在何处成放大两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？ 解：实物形成两倍实像时，球面反射镜的横向放大率 ，实物形成两倍虚像时 。联立反射镜物像距公式及横向放大率公式 解得 按题意， ， ， ，代入，分别算出 即物体影分别置于凹面镜前30cm和10cm 处。 6按以约定的正负号法则（）（）（）（）（）等，标示出下列各图中的物距 ， ，曲率半径 ，光线倾角 ， 的绝对值。比较各图中折射率 ， 的大小，指明各图中物，像的虚实。 解：结果示于图（b）（c）（d）（e）中。,
6、（b） ，实物，实像 （c） ，虚物，实像 （d） ，实物，虚像 （e） ，虚物，虚像 8若空气中一均匀球形透明体能讲平行光束会聚于其背面的顶点上，此透明体的折射率应等于多少？ 解：由球面折射成像的焦距公式 得 按题意 ， ，代入上式得 即此透明体的折射率二倍于周围介质的折射率。,9如图，一平行平面玻璃板的折射率为 ，厚度为 ，点光源 发出的傍轴光束（即接近于正入射的光束）经上表面反射，成像于 ；穿过上表面后在下表面反射，再从上表面折射的光束成像于 。证明 与 间的距离为 。 证明： 是由 经上表面A反射成像所得。 是 经A面折射三次成像所得（如图）。先计算 的位置，设 离A面的距离为 ， 第
7、一次经A面折射成像有 解得： 即像 在A面上方距A面 处，距离B面 。第二次经B面反射成像 ，按镜像对称知道像 在B面下方距B面 处，距A面 。第三次再经A面折射成像 解得： 即像 在A面下方距A面 处。 经A面反射成像 在A面下方 处，所以 ， 间的距离为 11根据费马原理推导傍轴条件下球面反射成像公式（5.19） 证明：任选一点M，则 根据几何关系，用s, s和r表示(L1)。,利用展开式 近似处理，简化计算。 根据费马原理，知物像之间具有等光程性，其数学表达式为： 从而可得 6薄透镜 1某透镜用n=1.50的玻璃制成，它在空气中的焦距为10.0cm，它在水中的焦距为多少?(水的折射率为4
8、/3)。 解：设薄透镜材料的折射率为 ，物像方（同一介质）的折射率为 ，则薄透镜的焦距公式应当为： 如设该透镜在空气中和在水中的焦距分别为 ， ，按上式有 则,3用一曲率半径为20cm的球面玻璃和一平玻璃粘合成空气透镜，将其浸入水中（见图），设玻璃壁厚可忽略，水和空气的折射率分别为4/3和1，求此透镜的焦距f。此透镜是会聚的还是发散的？ 解:以 ， ， ， 代入薄透镜焦距公式 算出该空气薄透镜（置于水中）的焦距为 f= - 80cm ，它是发散透镜。 8屏幕放在距物100cm远，二者之间放一凸透镜。当前后移动透镜时，我们发现透镜有两个位置可以使物成像在屏幕上，测得这两个位置之间的距离为20.0
9、cm，求 （1）这两个位置到幕的距离和透镜的焦距； （2）两个像的横向放大率。 解：在物像距离（大于4倍焦距）一定的条件下，利用光的可逆性原理可以证明，两次成像的物像距满足对易关系，即第一次成像的物距正是第二次成像的像距，第一次成像的像距正是第二次成像的物距。这个结论也可以由高斯公式求得。 令 ，应用高斯公式 得： 解出 即 由此可见，两次物距差为 已知 ， ，于是透镜焦距 两次像距分别为,横向放大率分别为 ， 且有 10如图， 和 分别为凸透镜凹透镜 。前面放一小物，移动屏幕到 后20cm的 处接到像。现将凹透镜 撤去，将屏移前5cm至 处，重新接收到像。求凹透镜 的焦距。 解：按题意无凹透
10、镜时所成的实像正是凹透镜引入后的虚物，此时对凹透镜来说， 物距 ，像距 。 由高斯公式 解得凹透镜焦距 。 11（2班）一光学系统由一焦距为5.0cm的会聚透镜 和一焦距为10.0cm的发散透镜 组成， 在 之右5.0cm。在 之左10.0cm处置一小物，求经此光学系统后所成的像的位置和横向放大率。用作图法验证计算结果。 解：这是两次成像问题，设对 的物距，像距分别为 ， ，对 的物距，像距分别为 ， ，并注意到 ， 是 在 右方的距离。把数据代入高斯公式得 解得 并有 所以经此光学系统像成在 之右10.0cm。横向放大率分别为 总放大率为 作图法验证如附图所示。 7理想光具组理论 3如图所示
11、，已知光具组的主面和焦点，用作图法求各图中 Q 的像（入射线从左到右）。 解：如右图所示：,4附图所示的联合光具组中，已知光具组的主面为 ， ，焦点为 ， ；光具组的主面为 ， ，焦点为 ， 。用作图法求联合光具组的主面和焦点。 解：如下图所示 8求放在空气中玻璃球的焦距和主面，焦点的位置，并作图表示。已知玻璃球的半径2.00cm，折射率为1.500。 解:在傍轴条件下，玻璃球是由两个折射成像球面组成的共轴光具组。如图所示 ， 与 重合； ， 与 重合，且 ， 。先求出单球面的焦距分别为： 而且 因此 即 在 之右2.00cm处， 在 之左2.00cm处。 在 之左1.00cm处， 在 之右1
12、.00cm处，其位置分别标示为附图。由此可见 和 重合，均在球心 C 处。 10（1）如图所示，已知光具组的主面和焦点，用作图法求光线1的共轭线； （2）在图上标出光具组节点 ， 的位置。 解：如下图所示：,11如图所示，已知光具组的主面和节点，11是一对共轭光线，求光线2的共轭光线。（如上图） 8光学仪器 2某照相机可拍摄物体的最近距离为1m，装上2D的近拍镜后，能拍摄的最近距离为多少？（假设近拍镜与照相机镜头是密接） 解 ： ， ， 并且 解得 即为能拍摄的最近距离。 6一架显微镜的物镜和目镜的相距20.0cm，物镜焦距7.0mm，目镜焦距5.0mm。把物镜和目镜都看成是薄透镜，求： （1
13、)被观察物到物镜的距离； (2)物镜的横向放大率； (3)显微镜的总放大率； (4)焦深。 解：（1）显微镜的工作距离应使小物成放大的实像（中间像）于目镜第一焦点附近（靠里一些），故按题意的此显微镜中间像对物镜的距离为,由高斯公式求得小物都物镜的距离为 （2）物镜的横向放大率为 （3）显微镜的总（角）放大率可取物镜横向（线）放大率与目镜（角）放大率之积，而目镜的（角）放大率 等于明视距离除以目镜焦距。 所以 （4）目镜的焦深为 与此相应的物镜焦深可通过牛顿公式微分计算（取绝对值）求得 ， 以 ， ， 代入算出 。 11光度学基本概念 1在离桌面1.0m处有盏100cd的电灯L,设L可看作是各向同性的点光源，求桌面上A,B两点的照度（见附图）。 解： 按点光源照明时的照度公式 将 ， ， ， ， ，代入分别算出A,B的照度为： 。 2若上题中电灯L可以垂直上下移动，问怎样的高度使B点的照度最大。 解：如图，设照明处B与灯泡垂足A的距离l，灯泡位于不同高度将同时改变距离r和倾角 ，选 为变量，则 照度公式改写为 对上式求导得 令 ，解得 则可得 ，将 l=1.0m ， 代入得 h=0.7m 。,