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1、1,第二节 幂级数,复变函数论多媒体教学课件,2,一、幂级数的敛散性,1 定义,具有,形式的级数,称为幂级数.,其中,3,2 阿贝尔(Abel)定理,(1)定理4.10,证明,从而它的各项必有界,即有正数M,使,4,为收敛的等比级数,这样即有,5,6,(2)推论4.11,(3)(4.3)收敛情况,(1) 对所有的复数除 z=a 外都发散.,此时, 级数在复平面内除点a外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,故级数发散.,7,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,(2) 对所有的复数都收敛,由Abel定理知:,级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛.
2、,8,如图:,幂级数,的收敛范围是以点a为中心的圆域.,.,.,收敛圆,收敛半径,9,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,10,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,11,(4) 收敛半径的定义,注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况,(1)处处收敛;,(2)处处发散;,(3)既有收敛点,也有发散点.,12,二 收敛半径的求法,定理4.12,13,由上节定理,证明,由于,收敛.,14,所以收敛半径为,证毕,即假设不成立 .,据阿贝尔定理,15,(1),(2),或,解,(1
3、),因为,所以收敛半径,16,(2),(3),17,定理4.13,(1) 幂级数,三 幂级数和的解析性,(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;,18,证明,由Abel定理, 幂级数,故由Weierstrass定理,19,注1 (4.5)可沿K内曲线C逐项积分,且收敛 半径与(4.5) 相同.,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,20,解,利用逐项积分,得:,所以,21,解,22,作 业,P178习题(一) 2(2), 3, 4,23,本节未结束 谢谢！,Complex Function Theory,Department of Mathematics,