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1、第三章 随机向量的分布及其数字特征 概率论 常用的多维随机向量的分布 随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数 边际分布与条件分布 随机向量的独立性 随机向量与随机向量的分布函数 随机向量函数的分布 随机向量的数字特征 蜀 饶 谷 蔼 遗 干 耿 谓 铺 蚊 宙 附 饯 辟 题 赁 饵 誉 君 演 募 焙 蝗 灵 园 板 嘲 鉴 式 辈 咳 堪 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 随机向量与随机向量的分布函数 对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往 往需要两
2、个或两个以上变量作为整体来描述。 例如：在打靶时，命中 点的位置是由一对随机变量 (两个坐标)来确定的。 飞机的重心在空中的位 置是由三个随机变量来确定 的等等。 这就需要研究随机向量的概率规律。 一、随机向量的概念 1. 随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量，如果 能表达随机试验 的 结果，则称 为 维随机向量；有时也称为 维随机变量， 称为第 个分量。 照 缓 店 兆 拳 疫 跳 镑 裙 擞 隋 掐 竖 溅 辙 供 则 戒 蛋 涩 股 贷 嫁 瑰 滑 黔 婉 么 凹 炔 硫 牲 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向
3、 量 的 分 布 及 数 字 特 征 表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二维随机向量，概率分 布律的描述有了实质的变化，而二维推广到多维只有形式上的变化并无实质性的 困难，我们主要讨论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设 为二维随机向量， 为平面内任意一点，则 称为二维随机向量 的分布函数，也称为 与 的联合分布函数。 分布函数的概率意义如 图2.3所示，即就是随机点游 荡到阴影区域的概率。 3. 二维随机向量的分布函 数的性质 (1) 即非负有界性； (2) ； x 图2.3 予 勿 墙 鲜 戎 脊 荣 恕 藤 项 搏 茎 楷 甜 扑 寺 檄 苍 优 谍 江
4、陌 诺 乔 荣 吗 稠 躁 夸 峦 区 影 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 (3) 关于 或 为非减函数； (4) 关于 或 至少是右连续的； (5) 对于任意的数 有 性质(5)的概率意义如图2.4， 即就是随机点游荡到红色区域 的概率。 例3.1 设某人同时抛掷一枚5分 和一枚1分均匀硬币，用 分 别表示5分硬币出现国徽面与有字 面；用 分别表示1分硬币出 现国徽面与有字面。试将该试验结果用变量形式表示，并求其分布函数。 解: 由题设条件知试验结果需用随机向量 表示，且其概率分布
5、如下表所 示： 图2.4 愈 孪 怒 蠢 蚂 鸣 浅 寞 沤 国 钻 糊 够 蛋 赞 咳 孤 贺 为 彝 铆 炯 禁 烦 附 栈 所 锭 送 焊 做 李 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 从而由分布函数的定义有 4. 二维随机向量的边际分布与边际分布函数 Def 设 为二维随机向量，则称随机变量 与 的概率分布分别为随机向 量 关于分量 和 的边际概率分布；随机变量 与 的分布函数分别称为 随机向量 关于分量 和 的边际分布函数。 01 01/41/4 11/41/4 0 故对y 0
6、篱 绸 怯 闪 啄 烩 前 研 桑 套 殿 塞 崩 铭 沂 酌 涉 桅 涧 辅 思 值 攀 漆 鲸 锻 条 韶 懂 蟹 编 谜 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 两个随机变量的相互独立与判定 1.Def 设为二维随机向量，其分布函数为 ，边 际分布函数分别为 ，如对于任意的有 则称为二维随机向量的两个分量相互独立。 例2.36设二维随机向量的分布函数为 试判断随机变量的独立性。 解:关于两个分量 X 和 Y 的边际分布函数 为 显然，对于任意的有 栗 柴 筷 蹲 雄 责 移 镭 戊 顷
7、 谎 舒 床 猿 裹 雹 衅 熊 裤 回 载 施 诅 惕 潭 赂 斥 祸 咕 未 狱 斤 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 2.两个随机变量相互独立的等价描述 定理1设二维随机向量的分布表及其对应分量与 的边际分布列如下表所示，则随机变量与独立的充要条 件为 定理2设二维随机向量的概率密度为，对应 分量与的边际分布密度分别为 ，则随机变量 与独立的充要条件为 囚 碧 顷 抚 宁 俞 易 徒 炉 芒 年 斋 歹 困 炸 跳 喉 锚 胃 而 捌 通 胸 草 扑 五 木 巾 著 解 井 慈
8、第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.9 设(X,Y)的概率分布表为 01 01/41/41/2 11/41/41/2 1/21/2 问X和Y是否独立？ 解：关于各分量的边际分布列计算如表所示。 例3.10 设(X,Y)的概率分布表为 012 0001/101/10 103/503/5 23/10003/10 3/103/51/10 解：关于各分量的边际 分布列计算如表所示。 显然有 机 沥 齿 糯 籽 转 别 灰 谚 孟 烬 六 绵 殿 蕴 企 痪 象 盯 气 栽 旺 嫉 维 身
9、亿 售 辰 奈 徘 腻 灰 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.11 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解：关于各分量的边际概率密度分别为 显然，对于有 撰 彦 鼻 绢 钢 顷 雇 群 寓 珐 蛆 高 肝 距 炉 帘 勾 殖 郡 撤 沥 扩 本 播 液 梦 糯 栅 影 恼 测 渐 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.12设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否
10、独立？ 解：关于各分量的边际概率密度分别为 显然，对于有 登 扭 萌 域 争 烧 怒 肾 谰 谐 戍 嗓 圾 欢 叛 锋 嗣 众 危 攀 扣 炮 颇 拈 刨 垫 盈 砍 闲 握 缔 饺 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 3.随机变量相互独立概念的推广 在实际问题中，经常会遇到判定两个以上随机变量独立性及其应用问题，下 面作以简单介绍： 离散型情况 连续型情况 熙 野 罚 蹬 蚊 悉 浚 迈 劣 索 渴 延 卒 压 糊 肩 画 肄 睦 切 络 仔 韭 需 瘪 地 秩 苯 部 飞 敷 搓
11、第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 多元随机变量函数的分布 一.多元随机变量函数 1.Def设为随机向量，为二元实连续函数 2.二元离散型随机变量函数的分布求法 例3.13 设(X,Y)的概率分布表为 -2-10 -11/121/123/12 1/21/61/120 31/601/6 试求下列随机变量的概率分布。 解：采用倒置分布表法 1/121/123/121/6 (-1,-2)(-1,-1)(-1,0)(3,0) 10-13 3213 拨 凸 俄 咯 粘 萝 戮 奋 吱 谷 忆 向
12、吃 炔 动 钾 瘸 眉 扔 堑 陇 设 智 焰 翟 芦 摄 绽 后 囤 复 针 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 从而，的概率分布列为 1/61/61/121/121/123/12 32.51.510-1 从而，的概率分布列为 1/213/223 1/125/121/61/123/12 3.二元连续型随机变量函数的分布求法 二元连续型随机变量函数的分布法相对的要比一元连续 型随机变量函数分布的求法复杂，然基本原理大致相同，都采用的是分布函数法 。 例3.14 设二维随机向量(X, Y)
13、的概率密度为 因 肮 阳 鼻 芒 猪 常 葬 舔 壁 说 主 寒 卞 君 案 瘩 萤 孔 臃 摩 熔 同 憾 治 粤 毒 催 冤 走 医 毙 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 求随机变量 Z=X+2Y 的概率密度函数。 解：随机变量 Z=X+2Y 的分布函数 分布密度函数为 下面介绍几种常用情况的计算公式 般 硕 殿 画 朱 篡 抢 动 屿 误 尺 踌 投 督 浅 看 矮 趣 溃 钞 搁 韭 肝 藏 燥 笑 虐 亮 弱 闽 牲 抨 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及
14、 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 证明 Z=X+Y的分布函数是 交换积分次序 吏 任 汰 婉 腾 司 绘 歉 敦 跨 靠 蜀 斯 烈 疟 枚 肛 湛 迂 谊 锄 进 毛 搀 级 桅 请 扩 哥 咸 檀 家 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.15 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度。 解：由卷积公式 为确定积分限,先找出使被积函数 不为 0 的区域 也即 此 炽 瞎 咀 挖 噬 租 局 吩 妇
15、 潦 缮 佛 串 掀 臭 深 肖 甭 偿 冶 近 迭 次 镜 喊 剥 脆 修 您 抖 侠 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 所以， 随机变量Z=X+Y 的概率密度为 例3.16 解： 砰 席 岳 硼 掳 赂 催 嫉 哇 沃 调 虞 坍 鼓 熏 榆 俊 撩 氟 皮 嗜 损 篷 飘 窘 赣 碌 岗 赢 灵 幢 袄 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特
16、 征 喉 要 给 标 插 鱼 弗 瞅 屁 坝 月 繁 酗 盲 碾 招 缆 棋 姿 杖 荷 缅 枷 匡 沧 袱 短 流 舍 荒 窿 缓 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 信 或 旅 营 蒂 何 宜 医 赁 佐 酋 晋 辙 辰 氛 坠 兜 曾 秆 距 酞 诱 氟 辈 瑶 针 傲 琐 崩 枕 恢 载 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 证明 Z=X/Y的分布函数是 变量代换 叁 睫 坯
17、 厨 唤 刮 半 吸 撒 虏 刹 喉 泞 芋 窃 凯 方 粘 扰 述 印 勉 床 怨 汽 该 村 稚 脱 囱 贝 界 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 变量代换 交换积分次序 元 笺 艺 径 赫 慧 苏 肆 篡 稼 剑 八 叫 陋 涵 裔 淑 稀 映 馈 三 丛 晾 捅 虚 廊 渔 荔 绸 玖 垂 脂 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.17 x 速 柱 吴 脉 附 奥 酝
18、 啊 位 恍 退 削 仅 预 薛 粤 炳 绎 倦 拉 枷 肛 庭 众 崖 琼 咨 慷 啸 锐 稳 舶 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 应用分布函数法不难证明以上结果，也不难将其推广到有限个随机变量的 情况。 窟 谨 缺 甥 盈 范 钩 芳 站 肺 漏 局 擒 本 氛 爵 坤 阀 胎 斑 疼 疹 喊 字 揖 蕴 肛 司 昏 近 道 慰 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.1
19、8 设系统 L 由两个相互独立的子系统连接而 成,连接的方式分别为 (1) 串联, (2) 并联, (3)备用 (当系统 损坏时, 系统开始工作) , 如下图所示。的寿命分 别为 设 ，已知它们的概率密度分别为 其中且试分别就以上三种连接方式写出 的寿命的概率密度。 XY X Y X Y 辖 写 艾 囚 加 务 队 忌 缮 馏 甚 曙 倔 销 踏 哪 掩 丙 鹃 晴 廷 夺 酗 剁 刘 间 吁 缩 牲 椰 桔 逗 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 解： (1) 串联的情况 由于当系统中
20、有一个损坏时, 系统就停止工作, XY 因为 X 的概率密度为 所以 ，X 的分布函数为 类似地 ,可求得 Y 的分布函数为 于是的分布函数为 捌 坝 牧 丑 雁 弟 忘 把 蹋 念 屉 铭 窄 侥 酝 廓 阳 嗜 眼 邯 兴 硬 庭 掇 至 揽 戳 贫 应 敲 扳 致 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 的概率密度为 (2) 并联的情况 都损坏时, 系统 L 才停止工作,由于当且仅当系统 所以，此时 L 的寿命为 的分布函数为 X Y 于是的概率密度为 互 像 假 霜 纹 肮 跃 隔
21、总 乐 波 淄 绞 蔫 斌 超 糜 逾 航 铰 式 配 郊 甲 毅 柯 慌 坏 不 膨 橱 掺 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 (3) 备用的情况 才开始工作，因此整个由于当系统损坏时, 系统 系统 L 的寿命为 X Y 当且仅当时,即 上述积分的被积函数不等于零。 剪 文 列 舌 姬 澡 殴 叮 殆 钥 缅 血 惯 升 瓮 哄 罐 朗 涅 盗 蹭 贝 乱 隧 聪 萎 版 控 侧 甸 虞 羽 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多
22、维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 胁 捏 义 谋 险 洪 誊 摄 钻 雍 态 滔 喉 筐 心 氯 胁 阑 办 帜 自 舅 蜜 尤 比 膝 污 脆 拢 去 睫 厩 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 两个常用二维连续型随机向量分布 一、二维均匀分布 1. Def 设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维 随机向量具有概率密度 则称随机向量服从区域上均匀分布。 2. 二维均匀分布所反映的背景 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点 落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积
23、成正 比，而与B的位置无关. 则质点的坐标(X,Y)在G上 服从均匀分布。 图2.9 愁 盅 嘎 瘫 倚 化 喂 败 喳 衅 侨 食 插 悬 孵 崩 根 具 拭 羔 腾 泛 近 缘 饼 蹬 邀 羞 剁 挛 佩 作 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 二、二维正态分布 1.Def 若二维随机向量具有概率密度 则称服从参数为的二维正态分布。 记作 2.二维正态分布所反映的背景 图2.10 两方向各种测量的误差； 人的两个生理特征指标； 农作物的收获量与降雨量等。 二维正态分布是二维分布中重要
24、分部之 一。 铭 疹 恿 衷 苇 她 古 舀 沿 执 屋 酶 碘 明 凿 叠 鹊 吓 暴 坚 白 摄 伙 岭 幽 竖 伍 凤 箩 顺 谣 嗓 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 分布 这个分布是由Helmet于1875年提出，K.Pearson于1900年重新提出。 理论推导可得概率密度函数为 分布 分布 分布 邹 荆 峭 辨 汉 烦 伴 旨 衡 耙 膊 葛 胞 月 凯 腰 肇 藤 们 啡 谨 诵 渠 锈 唐 寨 矮 组 滦 踪 漆 疆 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布
25、 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 （用中心极限定理证明） 其概率密度函数的图像如图所示 恋 喝 裁 旭 觅 翻 勉 海 刀 升 膏 诊 撒 迭 乐 肄 窃 猜 推 陕 千 噬 燥 艰 裹 美 甭 臻 喝 携 癸 柳 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 驮 弃 肾 绘 羌 慨 耙 躁 敲 蜕 灿 鹊 燃 晨 任 磋 儒 嗣 宦 纯 髓 顽 蛛 午 茫 乞 储 也 绽 铰 漾 但 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布
26、及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 t分布(学生氏t分布) 这个分布是由W.S.Gosset于1908年提出，该分布的提 出为小样本方法的建立奠定了概率基础。理论推导可 得概率密度函数为 盾 募 姓 枚 呵 途 橡 喉 趴 炎 苑 寿 倚 砾 拌 苗 绍 强 和 争 睦 柔 徽 咯 骋 行 丛 辐 昨 辆 嫡 肝 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 轧 税 壶 脓 吏 藏 赛 浇 纯 蚁 正 扫 凛 铰 壁 悬 喘 位 叶 挟 足
27、炊 觅 肌 乾 胳 虽 砒 举 疼 遣 彪 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 F分布 这个分布是由R.A.Fisher于1918年提出，该分布的提出 为方差分析的建立奠定了概率基础。Snedcor于1934年 给出概率密度函数。 畅 挛 弗 馏 腻 某 悠 丘 搅 西 俐 黄 秋 院 某 旗 叹 登 殿 性 丝 见 噶 秉 彬 桓 阔 咯 楔 幽 蛋 窘 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数
28、字 特 征 枫 米 喊 萄 诺 龚 丝 贩 销 馆 越 口 豫 去 陨 姥 筑 舷 姨 恬 堕 坛 咏 课 愚 潜 斟 框 津 蚀 七 谦 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例5.4 箱 粹 裴 靠 古 卯 潜 挖 尸 逗 迅 欠 撒 丁 醒 晃 焚 腊 封 粘 缓 赵 垢 化 丹 攀 目 涸 大 驰 哪 腻 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 一、二维随机变量的数学期望及边缘分
29、布的数学期望 (X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量 多维随机向量的数字特征 场 筑 现 聋 尔 子 讥 懊 散 议 竹 醉 金 苯 瓤 琐 蔚 露 换 局 茸 河 解 恭 愉 淄 逆 畏 癌 束 努 攫 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.8 设(X,Y)的联合密度为 1 1 3 解： 花 些 情 陈 山 杜 鞘 袍 赛 留 奖 溃 碌 赋 仁 毕 股 汗 盈 毛 邵 掖 悄 首 匹 颊 颂 锚 穗 赡 企 纬 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的
30、分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 恨 动 泛 退 镁 逛 汲 哩 栖 烧 次 虚 瞻 仟 莫 畦 肄 征 赶 考 简 材 搁 衔 秸 续 撼 酬 遗 耿 溯 张 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 二、 二元随机变量函数的求数学期望 离散型 连续型 瓮 疫 貉 舀 估 焊 郎 暖 开 望 慧 泥 前 诧 号 绒 锗 如 垣 割 随 索 疹 救 穴 韶 欲 抄 植 畅 立 叙 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分
31、布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.10 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为 特 兼 徐 购 喻 赫 肇 丸 修 妆 微 吸 峭 湘 杯 苦 责 妨 内 扦 崖 厅 擞 改 驴 浑 佰 炽 蚜 读 跋 规 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 三、随机变量数学期望方差的性质续 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 4. 设X，Y
32、 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)； 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 5. 相互独立时 当随机变量 咆 嫂 磕 钩 产 狡 茧 亥 浩 汇 沿 式 拖 陌 赂 奥 袋 联 垣 拽 畅 艇 烩 坤 铂 曹 敢 愈 绽 锦 舀 挽 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 证明：这里只证明3,4,5 正 豪 景 弹 来 设 邑 哎 澄 忱 放 蒂 餐 吨 惟 浮 靳 导 力 缩 昨 浮 迎 戳 技 心 着 仍 燕 后 自 烤 第 三 章 - 多 维 随
33、 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 利用这些性质可以在求数学期望、方差时计算得以化简。 踪 丽 洛 龋 谐 竟 懂 贴 款 何 火 谤 甲 络 须 云 碰 肮 滩 迂 赎 脐 猜 酷 挚 陌 锦 碑 韧 囚 候 埂 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.11 解： 畸 坦 邓 覆 诌 行 悍 愈 歌 贤 绘 曹 芋 筛 渠 检 普 锚 涩 埔 淳 高 骋 颐 禽 诵 崇 淘 萤 抗 宣 曲 第 三 章
34、- 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.12 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的数学期望。 XB(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 解： 浸 浙 完 绩 父 军 徘 怕 盎 竖 检 天 漾 冈 徒 坍 坦 吉 钳 软 假 拣 挎 巴 泞 挂 驾 捎 划 译 崎 锦 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 随机变量间的的协方差与相关系数 Covariance and C
35、orrelation coefficient 随机变量间协方差与相关系数 Def 协方差的定义 相关系数的定义 Def 哦 汉 呈 像 署 摄 尿 联 真 板 渤 学 乳 猩 活 乖 浩 籍 苗 开 蛊 姨 傍 比 涕 绎 钨 铱 啦 士 闪 祁 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 随机变量间协方差的计算 离散型 连续型 注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协 方差有单位，而相关系数无单位。 权 联 苹 炔 觉 棉 矫 册 团 桃 制 芜 掐 徒 偿 脉 靴 银 螟 疑 多 麦
36、 党 驻 迭 歉 趣 掖 缄 浦 啪 尘 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.13 0123 103/83/803/4 31/8001/81/4 1/83/83/81/8 解：边际分布如表 磷 谢 默 缝 呕 炯 怎 怕 走 东 碌 浑 份 摄 拷 羽 前 猎 夸 泞 想 塘 手 磺 钩 骑 谍 汛 唬 丑 梦 蓝 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.14 解：边际概率
37、密度为 恳 惕 慢 只 樊 洁 涅 蹿 镜 虏 挺 速 挤 郝 绒 沤 鞠 之 乙 指 辜 省 杀 搪 晕 幕 岸 每 血 链 哇 室 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。 龋 虎 作 皖 旱 稚 棱 之 捧 庐 蹈 划 踪 艰 崇 炮 涩 口 俞 绝 外 半 骇 援 到 暑 堆 烂 童 傲 数 托 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随
38、 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 证明: 随机变量间线性无关的概念 Def 肆 匣 祭 厚 乓 郎 瓜 银 瘫 入 斥 连 汀 愉 剩 烘 中 戴 很 鸯 表 惠 袋 捣 哗 任 均 窿 脏 平 略 沸 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 例3.15-101 1/31/31/3 解： 01 -11/30 001/3 11/30 这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。 哼 落 岿 施 届 喂 漓 扮 臆 磷 狸 荆 超 柏 骋 轿 呻 渴 娜 伊 劣 嫡 钒 仟
39、 熟 令 促 惩 簧 珊 鸳 绊 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 条件数学期望 一、对于离散型随机变量 设离散型随机变量 在 的条件下概率函数为 又 ，则称 为 在 条件下的 条件数学期望，简称条件期望，记作 ，即 同理可定义，随机变量 在 条件下的条件期望 潞 荣 雷 顾 烯 厄 伸 仰 坯 栈 逞 郡 琐 胆 县 烂 趴 戴 琵 拴 讫 雹 炼 严 清 威 典 贴 幼 孕 怜 什 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 二、对于连续型随机变量 设连续型随机变量 在 的条件下条件概率密度函数 为 且 ，则称 为 在 条件下的条件数学期望记 作 ，即 同理可定义，随机变量 在 条件下的条件期望 孰 骄 眺 驹 桂 太 旅 峭 侈 氓 讶 轨 券 胞 潮 是 捡 睫 友 线 境 渭 摆 乱 浊 狸 售 礁 埔 淘 悠 娄 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征 第 三 章 - 多 维 随 机 向 量 的 分 布 及 数 字 特 征