第二章流体静力学流体力学.ppt

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1、第二章流体静力学,第一节、静止流体中应力的特性 第二节、流体平衡微分方程 第三节、重力场中流体静压强的分布规律 第四节、流体的相对平衡 第五节、液体作用在平面上的总压力 第六节、液体作用在曲面上的总压力 第七节、潜体和浮体的平衡与稳定,本章学习要点：作用在流体上的力、静止流体中应力的特性、 流体平衡微分方程、等压面、静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水总压力、压力中心。,第一节、 静止流体中应力的特性,一、基本概念 （一）静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。 （二）静压强 受压面单位面积上所受的静压力。 静止流体表面应力只能是压强（压应力），流

2、体不能承受拉力，且具有易流动性。 二、静止流体中应力的特性 （一）压强的基本特性: 静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向沿着受压面的内法线方向。 为了论证这一特性，在静止流体中任取截面NN将其分为、两部分，取为隔离体，对的作用由NN外面上连续分布的应力代替(图21)。,（二）静压强的特性 静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等。即有： （2-1）,证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标轴（如图22）。 由于液体处于平衡状态，则有 ，即各向分力投影之和亦为零，则： （22） x方向受力分析:表面力： （23）

3、,当四面体无限地趋于O点时，则dxO，因此， 类似地有： 而 是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。 说明:（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点各个方向的静压强大小相等。,n为斜面ABC的法线方向质量力： （2-4） （2-5）,（3）.理想流体运动流体时，由于=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静压强分布特性。,（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值， 即 （2-6）,第二节、 流体平衡微分方程,一、流体平衡微分方程欧拉方程 1.欧拉方

4、程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx, dy, dz, 设中心点的压强为p(x, y, z)=p，对其进行受力分析（如图23）： y向受力: 表面力： 质量力：,根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：,整理得： (2-8),(2-7),流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧拉欧拉方程）：,(2-9),2.物理意义 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（ ）等于该方向上单位体积内的质量力的分量 （ 、 、 ）。,二、平衡微分方程的全微分式,为对式(29)进行积分，将各分式分别乘以 、 、,然后相加，得（2-10）,压强 是坐标

5、的连续函数，由全微分定理，上式等号左边是压强力的全微分。,（2-11） 上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的，将其代入式(211)进行积分，便可求得流体静压强的分布规律。,三、等压面 1.等压面 压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面， 例如静止液体的自由表面。 2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。,（2-12）,运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要性质,即等压面与质量力正交。 证明：如图24，设等压面如图，因面上各点的压强相等（pC), 即 ，代入式(211)，得： 式中 ，则等压面方程为

6、,以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力 在坐标x、 y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段 在坐标x、y、z方向的投影，于是： 即 和 正交。这里 在等压面上有任意方向，由此证明，等压面与质量力正交。 由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等 压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的交界面等。,第三节 重力场中流体静压强的分布规律,一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体

7、中， 任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点 重力作用下静止流体质量力： 代入流体平衡微分方程的综合式：,（2-14）,1、在重力作用下的静止流体，选直角坐标系为Oxyz，自由液面的位置高度为z0，压强为p0， 液体中任意一点的压强为 质量力只有重力，X0，Y0，Zg 代入公式： 得到,由边界条件z=z0，p=p0可得：,在自由液面上有： ， ， 由此可得水静力学基本方程： 或 2. 连通器原理 帕斯卡连通器原理简单称为连通器原理：在仅受重力 作用下的均质、连通、静止的液体中，水平面就是等压面。 仅受重力作用下，静止流

8、体中某一点的静压强随深度 按线性规律变化。 仅受重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表 面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。,自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重 力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另 外一点的压强值。 （215） 二、重力作用下静流体力学基本方程 1.重力作用下静流体力学基本方程 因为 所以，静流体力学基本方程又可写为： 或 （216）,2.静流体力学基本方程的意义： .位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比 位能，或单位位能或位置水头。

9、 .测压管水头p/：表示单位重量流体从压强为大气压 算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。 .测压管水头（ ）：单位重量流体的比势 能，或单位势能或测压管水头。 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基 准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增 高，压头减低。在均质（=常数）、连通的液体中，水平面 （z1 = z2=常数）必然是等压面（ p1 = p2 =常数）。,二、气体静压强的计算 在不考虑压缩性时，式(214)也适用于气体。但由于气体的密度很小，在高差不很大时，气柱所产生的压强很小可以忽略。式(214)，简化为 。例如储气罐内各点的压强都相等。 三、压

10、强的表示方法及单位 1.压强的表示方法 .绝对压强： 是以绝对真空状态下的压强 （绝对零压强）为基准计量 的压强，用 表示， 0 。 .相对压强： 又称“表压强”，是以当地工程大气压 为基准计量的压强。用p表示，p= ， p 可正可负，也可为零（图26）。,图28压强的测量,录像,.真空度：是指Pabc小于一个大气压的受压状态， 相对压强的负值时，如（图210）。 真空值 （220） 真空高度 （218）,图210真空高度,（219） （二）压强的单位及其换算 1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。 2.工程单位制

11、：工程单位制中压强的单位主要有kgf/m2、 m（H2O）、mmHg和at等。 3.单位换算：1pa =0.1013 MPa =101.3 Kpa =1.103105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m（H2O）=760 mm（Hg） 1at=1 kgf/m2=10 m（H2O）=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa 说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。,例21 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强 （认为自由表面的绝对压强为1at） 解：绝对压强 相对压强：,例22 密闭容器(图28)， 测壁上方装有

12、U形管水银测压 计，该值hp20cm。试求安装在 水面下3.5m处的压力表读值。 解: U形管测压计的左支管 开口通大气，液面相对压强加 pN=0，容器内水面压强 压力表读值,图28测压计算,第四节、流体的相对平衡,前面导出了惯性坐标系中，液体的平衡微分方程及其综 合式(29)、式(211)。在工程实践中，还会遇到液体相对 于地球运动，而液体和容器之间，以及液体各部分质点之间 没有相对运动的情况，这种情况称为相对平衡。根据达兰贝 尔（DAlembert, Jean le Rond法国数学家，1717.11.16 1783.10）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问 题，简化为静力平衡问题

13、，可直接用式(29)计算。例如水 车沿直线等加速行驶，水箱内的水相对地球来说，随水车一 起运动，水和水箱，以及各部分水质点之间没有相对运动， 相对平衡的液体质点之间无相对运动，也无切应力，只有压 强。 相对平衡指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相 对运动的相对静止或相对平衡状。因为质点间无相对运动， 所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。相对平衡 流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。,一、等角速度旋转容器内液体的相对平衡 盛有液体的圆柱形容器，静止时液体深度为H，该容器 绕垂直轴以角速度旋转。由于液体的粘滞作用，经过一段 时间后容器内液体质点以同样角速度旋转，液体均容器， 以

14、及液体质点之间无相对运动，液面形成抛物面。 压强分布规律 ， （220） 等压面：p=p0+（2r2/2g-z） （221）,录像,例23：求如图29所示等角速度旋转器皿中液体的相 对平衡的压强分布规律。 解： 则 （222） （223） 在原点（x=0，y=0，z=0）： 因为,图29等角速旋转,等角速度旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布 规律的一般表达式： （224） 等压面簇（包括自由表面，即 p=常数的曲面）方程 （225） 等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面。 具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程： 在自由液面上： 用相对压强表示自由表面方程： （226） 任一点压强：

15、,二、等角速度旋转球体内液体的相对平衡 压强分布规律 （227） 设球心处： 则 球壁上：； （228） 由得， 故最大压强作用点在，的圆周线上。,图210等角旋转球体,三、匀速直线运动容器内液体的相对平衡 压强分布规律 ; 质量力除重力外，计入惯性力，惯性力的方向与加速度的 方向相反， 即： （229） 令，得自由面方程： （230） 使水不溢出：，,录像,例24 如图211所示， 一洒水车等加速度a=0.98m/s2 向前平驶，求水车内自由表面 与水平面间的夹角；若B点在 运动前位于水面下深为h=1.0m， 距z轴为xB= -.5m，求洒水车 加速运动后该点的静压强。 解：考虑惯性力与重力

16、在内的单位质量力为（取原液面 中点为坐标原点） x= -a ； y=0 ；z= -g ，即：dp= （-adx -gdz） 积分得： p= -（ax+gz）+c，在自由液面上： x=z=0 ； p=p0 得： c= p0 =0 ，代入上式得：,图211,录像1,录像2,点的压强为 自由液面方程为（液面上p0=0）： ax+gz 说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深的 变化仍是线性关系。在旋转液体中各点的测压管水头不等于 常数。,第五节、液体作用在平面上的总压力,液体作用在平面上的总压力，计算方法有解析法和图算法。 1.解析法 图218为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成角，面积

17、为A，其形心C的坐标为xc ，yc ，形心C在水面下的深度为hc,图212平面上的总压力,.作用力的大小 微小面积dA的作用力： 静矩 : （229） 结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小 等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。 .总压力作用点（压力中心）,面积惯性矩： 式中：Ix面积A绕ox轴的惯性矩。 由惯性矩的平行移轴 （236） Ic面积A绕其与ox轴平行的形心轴的惯性矩。 结论：.当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角无关； .压心的位置与受压面倾角无关，并且压心总是在形心之下。只有当受压面 位置为水平放置时，压心与形心才重合。 总压力方向、

18、垂直指向受压面。,表2-1,例25 一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，b=1.5m 求总压力及其作用点。解： 例26 有一铅直半圆壁（如图213）直径位于液面 上，求F值大小及其作用点。 解：由式 得总压力,由式 得:,2.图解法 压强分布图：压强分布图是在受压面承压的一侧，以一定比例尺的矢量线段表示压强大小和方向的图形，是液体静压强分布规律的几何图示。 .适用范围：作用在规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。 .原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心（压力中心D）。 (1).大小： （237）,(2).方向：垂直指向

19、受压面； (3).作用点： （238）,图214压强的分布,图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积，乘以受压面的宽度b，即，总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点就是压心。 例27 如图215，矩形平板一侧挡水，与水平面夹角300，平板上边与水面齐平，水深h3m，平板宽b5m。试求作用在平板上的静水总压力。,图215平面总压力计算,解： (1).解析法 总压力的大小 方向受压面内法线方向。作用点由式(235) (2).图算法 绘出压强分布图ABC，由式(231)总压力的大小： 总压力方向为受压面内法线方向。 总压力作用线通过压强分布图的形心,可见两

20、种方法所得计算结果相同 （图216）。 例28：用图解法计算图2 17的静水总压力大小与压心位置。 解：作出矩形闸门上的压强分 布图：底为受压面面积，高度是 各点的压强,图216平面总压力计算,总压力为压强分布图的体积，梯形形心坐标： ， a上底，b下底 作用线通过压强分布图的重心： 例29：如图218已知矩形平面h=1m，H=3m， b=5m，求F的大小及作用点。 解：(1).解析法,(2)图解法 压力图分为二部分（三角形+矩形）,例210 如图219所示，一直径d=2000mm的涵洞， 其圆形闸门AB在顶部A处铰接，如图。若门重3000N，试求： （1）作用于闸门上的静水总压力P；（2）P

21、的作用点 （3）阻止闸门开启的水平力F。 解：（1）圆形闸门受压面形心到水面的距离为 h0=1.5+1.0=2.5m；闸门的直径D为2.83m （D=2/sin45）； 闸门面积为： 作用于圆形闸门上的总压力为： 作用于圆形闸门上的总压力为： P=hcA=98002.5 6.28=153860N （2）圆形闸门中心至ox轴的距离为,圆形闸门面积A对经闸门中心且平行于ox轴之惯性矩Ixc为： 故总压力作用点在闸门中心正下方0.14m处 （3）因铰点在A处，则作用于闸门的所有外力对此点之 力矩总和必为0，即 得阻止闸门的开启力,第六节、液体作用在曲面上的总压力,一、曲面上的静压力 曲面上的静压力有

22、：水平分力、垂直分力、静水总压（图220）。 在曲面上沿母线方向任取条形微元EF，因各条形微元上的压力dP方向不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。为此将dP分解为水平分力 和铅垂分力。,图223曲面上的总压力,1.水平分力Px 结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Px等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。 2.铅直分力Pz 式中：Vp 压力体体积 结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Pz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。,3.静水总压力 作用在曲面

23、上的静水总压力： F与水平面的夹角： (236),作用线：必通过Px ， Pz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，P作用线必通过圆心。P的作用点作用在P作用线与曲面的交点。,二、压力体（图221） 1.压力体体积的组成: .受压曲面本身； .通过曲面周围边缘所作的铅垂面； .自由液面或自由液面的延长线。 2.压力体的种类： 压力体可分为实压力体和虚压力体。,图 221压力体,实压力体：压力体和液体在曲面AB的同侧，如同压力体内实有液体，习惯上称为实压力体，实压力体Pz方向向下。 虚压力体：压力体和液体在曲面AB的异侧，其上底面为自由液的延伸面，压力体内虚空，习惯上称虚压力体，虚压力

24、体 Pz方向向上。 3.曲面壁的压力体图与压力体剖面图的绘制： .压力体图的绘制：大小：pz= V；方向：水在上方向向下，水在下向上。 .压力体图剖面图的绘制：大小：pz= b；方向：水在上方向向下，水在下向上。 注：压力体图剖面图的组成：曲线、过曲线两端点的铅垂线和水面线或水面线的延长线。,例211：图222为一挡水曲面AB的两种放置方 式，该曲面是半径为2.5m的四分之一圆柱面、曲面宽为3m，转轴为O，分别求出作用在该曲面上的总压力的大小和方向。 解：先绘出图中铅直投影面上的压强分布图和压力体图。 依式(239)得水平方向的分力为,图222曲面总压力计算,依式(240)得铅直方向的分力为

25、总压力 P的作用线与水平面的夹角为： 总压力的作用线通过转轴O并指向曲面AB，P的作用线 与曲面的交点D，即为静水总压力的作用点。,基本概念（如图227） .浮力：液体对物体向上的静水总压力。浮力的大小与物体所受的重力之比有以下三种情况： (1)GPz称为沉体。物体下沉，如石块在水中下沉和沉充水下沉； (2) G Pz称为潜体。物体可在水中任何深度维持平衡，如潜水艇； （3)GPz称为浮体。物体部分路出水面，如船舶、浮标、航标等。 2.浮心：浮力的作用点。 3.浮体：液体中自重小于同体积液重的物体。 4.浮轴：过浮心和重心的连线。,二、液体作用在潜体和浮体上的总压力,4.浮轴:过浮心和重心的连

26、线。 5.定倾中心：浮体受力后，浸没在液体部分的形状改变后的浮力，通过新浮心的作用线，与原浮轴的交点。 6.定倾半径：定倾中心到浮心的距离。 7.偏心距：浮心到重心的距离。 8.潜体：液体自重等于同体积液重的物体。,图229,图228浮体,二、阿基米德浮力定律,图227潜体,三、物体的沉浮与稳定： 当GPz时，物体下沉到底；当G=Pz时，物体潜没于液 面以下任意位置保持平衡；当GPz时，物体部分浮出水 面，直至液面以下部分所排开的液重等于自重为止。 四、潜体的平衡与稳定： 浮心在重心以上，稳定平衡；浮心与重心重合，随遇平 衡；浮心在重心以下，不稳定平衡。 五、浮体的平衡与稳定 定倾半径高于重心，稳定平衡；定倾半径与重心重合， 随遇平衡；定倾半径低于重心，不稳定平衡。,