《数学归纳法复习课.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法复习课.ppt（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学归纳法,数学归纳法,思考题： （1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？,数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的 时命题成立。,注：,（1）证明当 取第一个值 或 时结论正确,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。,（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。,（1）,（2）,数学归纳法的应用,题型一 用数学归纳法证明等式问题,题型二 用数学归纳法证明不等式
2、问题,题型三 用数学归纳法证明整除问题,题型四 用数学归纳法证明几何问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,题型一 用数学归纳法证明等式问题,第二步的证明要用上归纳假设!,例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时, =1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,第二步的证明要用上归纳假设!,(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效.,证明
3、中的几个注意问题：,(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.,1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可
4、少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,例2、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式 成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例3、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正
5、整数都 成立.,例4、求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例5、已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等
6、式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1时不等式成立,例6、已知 求证 : .,证:(1)当n=2时, , 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即,则当n=k+1时, 有:,即当n=k+1时,不等式成立.,由(1),(2)所证不等式对一切 都成立.,题型三 用数学归纳法证明整除问题,例2、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成
7、立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例3、用数学归纳法证明: 能被8 整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例4、求证:x3
8、n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.
9、,题型四 用数学归纳法证明几何问题,例2、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),题型四 用数学归纳法证明几何问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,例2、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,题型五 用数学归纳法解决探究性问题,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,