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1、Chapter 1(2),行列式与克拉默法则,教学要求：,1. 了解行列式的定义和性质;,2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的n阶行列式;,3. 了解排列与对换;,4. 会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.,定义1. 二阶行列式定义为,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,定义2. 三阶行列式定义为,三阶行列式的计算,-对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,考察三阶行列式如下：,定义3. 代数余子式,剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,定义4.,是一个算式，且,注意：,行
2、列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的.,(3) 定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开. 由此可计算一些行列式.,Example1.,Proof.,（数学归纳法）,不是对角行列式，,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元
3、素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,注意与矩阵数乘运算的区别,性质5若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和:,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质7. 行列式按行（列）展开法则,下面证明:,证,同理,性质8. Laplace定理,(2) Laplace定理,为方便起见，引用以下符号：,其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为 三角行列式来计算行列式的值.
4、,Solution.,ex3.已知204,527,255三数都能被17整除， 不计算行列式的值，证明三阶行列式,也能被17整除.,Solution.,Solution.,Solution.,Solution.,其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各 列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.,Solution.,故原方程的解为,思考,其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行 列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义 按该行(列)展开.,Solution.,Solution.,其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数 学归纳法计算或证明行列式的值.,Soluti
5、on.,（数学归纳法）,这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，,可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是,注意,不是Vandermonde行列式,解法1,其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶 同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.,解法2,其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角 行列式来计算.,其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一 行一列. 用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或 各行其余元素成比例)的行列式.,Solution.,Solution.,五. 分块矩阵的行列式,定义1.,如2431是一个4级排列.,定义2.,在
6、一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一 个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,定义3.,逆序数为偶数的排列称为偶排列;,逆序数为奇数的排列称为奇排列.,定义4.,在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不 动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.,将相邻两个数字对换，叫做相邻对换.,结论1.,对换改变排列的奇偶性.,结论2. 关于n阶行列式的另一定义,ex14.已知,Solution.,含 的项
7、有两项,即在,中对应于,1. 线性方程组,当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,2. Gramer法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,其中 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 (2) 有唯一的一个解,也是方程组(1)的解.,3. 重要定理,定理1. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的.,定理2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为0.,Solution.,Solution.,要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零.,The end,