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1、第六章 线性空间,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,主要内容,子空间的交,第六节 子空间的交与和,子空间的和,子空间的交与和的性质,例题,子空间的交与和的维数,一、子空间的交,1. 定义,定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间, 称,V1 V2 = | V1 且 V2 ,为 V1 , V2 的交.,2. 性质,定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间, 那么它们的交V1 V2 也是 V 的子空间.,证明,首先，由 0 V1 ， 0
2、 V2 ，可知 0 ,V1 V2 ，因而 V1 V2 是非空的.,其次，如果, , V1 V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ，, + V1 ， + V2 ，,对数量乘积可以同样地证明.,所以V1 V2 是 V 的,子空间.,证毕,那么,因此 + V1 V2 .,3. 子空间的交的运算规律,1) 交换律 V1 V2 = V2 V1 ；,2) 结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .,为线性空间V的子空间，则集合,也为V的子空间，称为 的交空间.,二、子空间的和,1. 定义,定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由
3、所有能表示成1 +,2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记,作 V1 + V2 ，即,V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,2. 性质,定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间.,证明,首先， V1 + V2 显然是非空的.,其次,如果 , V1 + V2 , 即, = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么, + = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .,又因为 V1 , V2 是子空间，故有,1 + 1 V1 ，2
4、 + 2 V2 .,因此, + V1 + V2 .,同样，,k = k1 + k2 V1 + V2 .,所以， V1 + V2 是 V 的子空间.,证毕,3. 子空间的和的运算规律,1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；,2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .,为线性空间V的子空间，则集合,也为V的子空间，称为 的和空间.,1) V的两子空间的并集,注 意：,有,证明：,2）V的两子空间的并集未必为V的子空间.,皆为R3的子空间，但是它们的并集,并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如,但是,例如,三、子空间的交与和的性质,性
5、质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由,W V1 与 W V2 可推出W V1 V2 ；,而由,W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .,性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是,等价的：,1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .,性质 3 设 V1 , V2 , W 都是子空间，,W V1 = W V2 ，,若,W +V1 = W +V2，,V1 =V2 .,则,V1 V2 ，,四、例题,例 1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3,两个不同的 2 维子空间，求 V
6、1 V2 和 V1 + V2 ，,并指它们的几何意义.,解,因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以,1 , 2 , 3 线性无关，,从而 V1 = V2 与题设矛盾.,于是由子空间的交与和,的定义可得,V1 V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,3 ) = R3 .,否则 3 可由 1 , 2 线性表示,其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所,确定的平面，,的平面，,是整个 3 维空间.,如图 6-6 所示.,V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定,V1 V2 是这两个平面的交线，,V1 + V2,例 2 设 V1 ,
7、 V2 分别是 R3 过原点的直线和平,面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，,求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.,解,由定义容易求得,V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .,其几何意义如图 6-7 所示,例 3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组,的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组,的解空间.,1）L(1 , 2 , , s ) + L(1 , 2 , , t ),=L(1 , , s , 1 , , t )；,五、子空间的交与和的维数（维数公式）,2）L(1 , 2 , , s ) L(1 ,
8、 2 , , t ),其中 是 与 中的公共元素， .,定理 3,为线性空间V中,两组向量，则,例4、在 中，设,1） 求 的维数的与一组基；,2） 求 的维数的与一组基.,解：1) 任取,设,则有,为一维的.,2),对以 为列向量的矩阵A作初等行变换,为3维的，,由B知， 为 的一个极大无关组.,为其一组基.,关于子空间的交与和的维数，有以下定理.,定理 4 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空,间 V 的两个子空间，那么,维(V1) + 维(V2) = 维(V1 + V2 ) + 维(V1 V2 ) .,证明,设 V1 , V2 的维数分别是 s , t , V1V2,的维数是 m
9、 .,取 V1V2 的一组基,1 , 2 , , m .,如果 m = 0 ，这个基是空集，下面的讨论中,1 , 2 , , m 不出现，但讨论同样能进行.,由,它可以扩充成 V1 的一组基,1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,也可以扩充成 V2 的一组基,1 , 2 , , m , 1 , , t - m .,我们来证明，向量组,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,是 V1 + V2 的一组基.,这样， V1 + V2 的维数就等于,s + t - m , 因而维数公式成立.,因为,V1 = L(1 , 2 , , m , 1 ,
10、 , s - m ) , V2 = L(1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .,所以,V1+V2 = L(1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ).,现在来证明向量组,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,是线性无关的.,假设有等式,k11 + k22 + + kmm,+ p11 + p22 + + ps - m s - m,+ q11 + q22 + + qt - m t - m = 0 .,令, = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m,= - q11 - q22
11、 - - qt - m t - m ., = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m,由 = - q11 - q22 - - qt - m t - m,由,可知， V1 ；,可知， V2 .,于是 V1V2 ，即 可以被,1 , 2 , , m 线性表示.,令 = l11 + + lmm ,则,l11 + + lmm + q11 + + qt - m t - m = 0 .,由于 1 , , m , 1 , , t - m 线性无关，所以,l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而 = 0.,从而有,k11 + + kmm + p11 + +
12、 ps - m s - m = 0 .,由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又得,k1 = = km = p1 = = ps - m =0 .,这就证明了,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,线性无关，,式成立.,证毕,因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数公,注 意：,从维数公式可知,（ 为Vn(P)的两个子空间）,子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.,例如，在R3中，设子空间,其中，,但，,则，,由此还可得到，,是一直线.,从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数,的和来得小.,例如，在三维几何空间中，两张通,
13、过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其,维数之和却等于 4 .,由此说明这两张平面的交是,一维的直线.,推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公,共向量.,证明,由假设,维(V1 + V2 ) + 维(V1V2 ) = 维(V1) + 维(V2) n.,但因 V1 + V2 是 V 的子空间而有,维(V1 + V2 ) n ,所以,维(V1V2 ) 0 .,这就是说， V1V2 中含有非零向量.,证毕,小 结,1.子空间的交,2.子空间的和,3.子空间的交与和的性质,4.子空间的交与和的维数,1.在中，令,求及,
14、易知，皆为 的子空间.,练 习,解：任取,由有,由有,故，,从而，,再求,因为，,所以，,2. 设 V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )，,V2 = L(1 , 2)，其中,求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的维数与基.,解,因为,V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) + L(1 , 2),= L(1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就,是 V1 + V2 的一组基.,把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2,中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对A,进行初等行变换，化成行最
15、简形：,行变换,由 A 的行最简形矩阵,1 , 2 , 1 线性无关，且 2 = 1 - 32 + 41 .,于是,1 , 2 , 1 是 V1 + V2 的一组基，维( V1 + V2 ) = 3；,1 , 2 是 V1 的一组基，维(V1) = 2；,1 , 2 是V2 的,一组基，维(V2) = 2 .,由 2 = 1 - 32 + 41 得,1 - 32 = - 41 + 2 = (-4, -5, 7, 6) V1V2 .,因为,维(V1V2 ) = 维(V1) + 维(V2) - 维(V1 + V2 ),= 2 + 2 - 3 = 1 .,于是 (-4, -5, 7, 6) 是 V1V2 的一组基.,设向量组,1 , 2 , 3 , 1 , 2中每个向量表示 3 维空间中的一,个平面，则V1 , V2分别表示如图6-8中所示的直线,V1+V2为整个空间, V1V2为两直线所确定的平面.,x,o,y,z,1,2,3,1,2,V1=L(1,2,3 ),V2 = L(1,2),图 6 - 8,与,的解空间，则就是齐次线性方程组,在 中，用分别表示齐次线性方程组,思考题,的解空间.,证：设方程组,分别为,即,设W为的解空间，任取 ，有,从而,反之，任 取，则有,从而,故,作 业,P270 18.(3),