圆锥曲线二级结论深度易记讲义.pdf

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1、加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 圆锥曲线二级结论深度易记讲义 作者：作者：逻辑逻辑小组小组徐伟徐伟 Q QQ Q 群：群：4 43988356039883560 一直以来，提起圆锥曲线二级结论，总让人感觉很鸡肋；一者，考试时这些结论确实好用，二者呢这些结 论也实在不好记忆尤其是各大 QQ 群内动辄几百条的二级结论更是让人望而却步，基于此种情况，“逻 辑小组”决定出一份全新的系统的便于记忆的圆锥曲线二级结论讲义，供老师上课使用，

2、供学生复习使用， 共计 8 篇，分别是：第二定义与焦点弦、第三定义与斜率乘积定值模型、六大相切模型、椭 圆焦点三角形、双曲线焦点三角形、抛物线焦点三角形、仿射变换、渐近线相关。 8 篇涵盖最全高中圆锥曲线专题应试必备结论技巧。先共性后特性，前三讲追根溯源，从通性的角度结合圆 锥曲线的第二、第三定义，系统讲授圆锥曲线三大共性结论；后五讲结合历年高考压轴题，全面讲授圆锥 曲线各类结论技巧。 这 8 篇预计每天在公众号更新一篇，都是逻辑小组一个字一个字敲出来的，Word 和 PDF 电子版均已经发送 至QQQQ 群：群：4 43988356039883560，在群内可自行下载，群内优质数学资料持续更

3、新中. 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 第一篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦 作者：逻辑作者：逻辑小组小组徐伟徐伟 Q QQ Q 群：群：4 43988356039883560 一、焦半径倾斜角式 设曲线上点A坐标为 00 (,)A xy，曲线焦点为F, 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,) 2 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2 cos b AF ac = （弦的长短决定加减） 2.2.在抛物线中在抛物线中

4、1cos p AF = （弦的长短决定加减） 证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义： 圆锥曲线第二定义： 平面内的动点( , )P x y到一个定点F的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数 (0),e e 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当 01e时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e 时，轨迹为双曲线。 在标准方程下第二定义中的各要素对应表 注：1.和坐标轴平行的虚直线为准线;2.教材中抛物线的准线与焦点就对应第二定义中的准线与焦点. 标准方程 图像 焦点坐标 准线方程 22 22 1 (0) xy ab

5、 ab += (,0)c 2 a x c = x y O F1F2 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 22 22 1 (0) yx ab ab += (0,)c 2 a y c = 22 22 1 (0,0) xy ab ab = (,0)c 2 a x c = 22 22 1 (0,0) yx ab ab = (0,)c 2 a y c = 结论证明： 如图以椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=为例，对结论 2

6、cos b AF ac = （弦的长短决定加减）进行证明： 如图，过椭圆上任意一点A作准线 2 a x c = 的垂线，设垂足为M,连接AF并延长交椭圆于另一点B,设 AFx=，过F作AM的垂线，垂足设为N x y O F1 F2 x y OF1F2 x y F1 F2 x y 准线：x= a2 c 准线：x=- a2 c NM B O F A 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 设AF=,则 222 cos ,() F aab

7、ANMNxc ccc = = += 因此 2 cos b AMANNM c =+=+ 由第二定义知： 2 cos c ee bAMa c = + 化简得： 2 2 cos 1cos b b a AF c ac a = ,证毕. 到这里很多读者朋友会问： 2 cos b ac+ 这个结论对应哪个焦半径？ 答案是: 2 cos b BF ac = + 如何记忆？ 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,) 2 一个对应两个焦半径AFBF、 怎么区分？ 弦的长短决定加减 怎么证明 2 cos b BF ac = + ？ 仿照证明 2 cos b AF ac = 自行证明. 二、推论 1.弦长

8、公式 在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中： 2 222 2 cos ab AB ac = 在抛物线中：在抛物线中： 2 2 sin p AB = 记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口 算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2 2. .焦半径混合运算焦半径混合运算 在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中： 2 112a AFBFb += 在抛物线中：在抛物线中： 2 2 112 , sin p AF BF AFBFp += 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：4398

9、83560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 记忆提示：这两组公式也无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式取倒数，同分母相加即可，总 之以上推论花里胡哨，都不要背诵，大家只需记住： 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2 cos b AF ac = （弦的长短决定加减） 2.在抛物线中在抛物线中 1cos p AF = （弦的长短决定加减） 这两个核心公式即可，是不是大大降低了记忆难度，反观市面上的参考资料都是直接让我们背推论，殊不 知，没有这两组核心公式的铺垫，各个推论是孤立存在的，而且不易推导，记忆起来当然难度很大. 三、焦半径超级结论 如

10、果大家赶紧上面倾斜角式两个公式还是过于繁琐，非得想要用一个公式，表示所有圆锥曲线的焦半径， 那么下面这个公式将会很适合你. 1.焦半径公式： 1cos ep e = （弦的长短决定加减） 2.焦点弦长公式： 22 2 1cos ep AB e = （弦的长短决定加减） 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，所以 2 2 sin p AB = p焦准距（焦点到准线的距离），椭圆与双曲线的准线方程为 2 a c ，所以 22 |, ab pc cc =抛物线中p即 为公式中的p 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,) 2 特别说明：倾斜角相关所有公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛

11、物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB 时 2 222 2 cos ab AB ca = 或 22 2 cos1 ep AB e = 关于四这部分也不建议大家记忆，花里胡哨的 四、一个重要推论（考点） 由本文三、四可知，圆锥曲线焦点弦长公式与离心率有关，下面探究离心率、倾斜角及点分线段的比例关 系： 1 cos 1 e = + 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =， 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角， (0,) 2 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神

12、；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 焦点把弦分成两部分，1= 长 短 特别说明： 此公式适用于椭圆、 双曲线内分弦、 抛物线， 在双曲线中， 如果焦点F外分弦AB时 1 cos 1 e + = 由此结论，我们可以知道，对于离心率e、倾斜角、焦半径比，知道其中任意两个量，都可以求其他一 个量，出题人也常以此原理出题. 证明： 以椭圆和双曲线为例，如图，由三知： 22 11 , coscos bb AFBF acac = + , 则 1 1 cos1cos cos1cos AFace BFace + = 化简得： 1 cos 1 e = + 五、焦半径坐标式 设曲线上点A坐标为 00 (,)A

13、xy，曲线焦点为F 1 1. .在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中： 0 |AFaex=（焦点在x轴上） 0 |AFaey=（焦点在y轴上） 注：绝对值内具体是加还是减，要结合焦半径的长短及坐标正负来判断 结论证明: x y B O F1F2 A 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 如图以椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=为例，对结论 0 |AFaex=（焦点在x轴上）进行证明： 设曲线上点A坐标为 00 (,)A

14、 xy，曲线焦点为F 则由第二定义得 2 100 | a AFe xaex c =+=+ ， 2 200 | a AFexaex c = 2 2. .在抛物线中在抛物线中 0 | 2 p AFx=+（焦点在x轴上） 0 | 2 p AFy=+（焦点在y轴上） 证明提示：定义 配套练习 例 1.(2019 年全国 I 卷理 10/全国 I 卷文 12) 已知椭圆C的左右焦点为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，过点 2 F的直线与C交于,A B两点，若 22 2AFF B=， 1 ABFB=，则C的方程为（ ） 2 2 .1 2 x Ay+= 22 .1 32 xy B+= 22 .1

15、43 xy C+= 22 .1 54 xy D+= 解析： x y 准线：x= a2 c 准线：x=- a2 c M O F1F2 A 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 如图，设 22 22AFF Bx=，则 1 3ABFBx=，由定义知： 1212 4BFBFAFAFx+=+= 解得 1 2AFx=，所以 12 2AFAFx=,点A与短轴端点重合，于是 21 cos c AF Fe a = 由五结论知： 2 11 cos 13

16、 ee = + 所以 22222 1,3,2cabac= 所以选B 例 2.(2017 全国卷) 已知F为抛物线 2 :4C yx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线 12 , ,l l直线 1 l与C交于AB、两点，直线 2 l与 C交于DE、两点，则|ABDE+的最小值为（ ） .16A .14B .12C .10D 解法一：常规解法 设AB倾斜角为作 1 AK垂直准线， 2 AK垂直x轴， 易知 1 1 cos 22 += = = = AFGFAK AKAF PP GPP （几何关系） （抛物线特性） ， cosAFPAF+= ， 同理 1cos P AF = ， 1cos P BF =

17、+ ， 22 22 1cossin PP AB = ， 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为 2 +， 2 2 22 cos sin 2 PP DE = + ，而 2 4yx=，即2P = x y 2x x 2x 3x B A OF1F2 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 22 11 2 sincos ABDEP +=+ 22 22 sincos 4 sincos + = 22 4 sincos = 2 4 1 sin 2 4 =

18、 2 16 16 sin 2 =，当且仅当 4 =取等号，即ABDE+最小值为16，故选A； 解法二：结论解法 依题意知： 2 2 sin P AB =， 2 2 22 cos sin 2 PP DE = + ， 由柯西不等式知： 2 2222 11(1 1) 22816 sincossincos ABDEPPP + +=+= + ，当且仅当 4 =取等号，故选A； 例 3. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 , 2 过右焦点F且斜率为(0)k k 的直线与C相交于 ,A B两点，若3AFFB=，则_.k = 解析：将数据代入结论 1 cos 1 e =

19、 + 得： 33 11 cos 23 12 = + ，解得 3 cos 3 = 进而 2 2 sin 3 =，所以 sin2 6 cos3 k = 例 4.已知点( 23)A ，,设点F为椭圆 22 1 1612 xy +=的右焦点，点 M 为椭圆上一动点，求| 2|MAMF+的最小 值，并求此时点M的坐标。 解析：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M. 椭圆的离心率 1 2 e = x y 准线：x= a2 c N O F M A 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资

20、料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 由第二定义得2| |MFMN= | 2|AMMF+的最小值为|AN的长，且| 2810AN =+= | 2|AMMF+的最小值为 10，此时点M的坐标为(2 3, 3) 例 5.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=， 12 FF、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使 12 90FPF =,求椭 圆的离心率e的取值范围. 解析：设点 00 ()P xy，则由第二定义得 2 100 | a PFe xaex c =+=+ ， 2 200 | a PFexaex c = 。 因为 12 PF F为直角三角形，所以 222

21、1212 |PFPFFF+= 即 2222 00 ()()(2 )4aexaexcc+= 解得 22 2 0 2 2ca x e =，由椭圆方程中 x 的范围知 22 0 0 xa。 22 2 2 2 0 ca a e ，解得 2 1 2 e. 例 6.（2020辽宁实验中学高三期末（理） 设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的左、右焦点分别为 12 ,F F，过 2 F的直线与双曲线的右支交于两点,A B， 若 1 :3:4AFAB =，且 2 F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ） 5 . 2 A 10 . 2 B 5 . 2 C .5D 答案：B 解析

22、: 若 1 :3:4AFAB =，则可设 1 3 ,4AFm ABm=，因为 2 F是AB的一个四等分点； 若 2 1 4 BFAB=,则 22 ,3BFm AFm=,但此时 12 330AFAFmm=，再由双曲线的定义，得 12 2AFAFa=，得到0a =，这与0a 矛盾； 加入教研 QQ 群：439883560，获取 Word 版讲义 逻辑小组出品逻辑小组出品 教研 QQ 群：439883560，内有海量优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 若 2 1 4 AFAB=,则 22 ,3AFm BFm=，由双曲线的定义，得 2 1 1 121 22 32 | 5

23、 AFAFma BFBFBFma BFa ma = = = = ， 则此时满足 222 11 AFABBF+=, 所以 1 ABF 是直角三角形，且 1 90BAF= , 所以由勾股定理，得 222 222 1212 (3 )(2 )AFAFF Faac+=+=，得 10 2 e =,故选B. 例 7.过抛物线 2 4yx=的焦点F作直线交抛物线于 11 ()A xy，、 22 ()B xy，若 12 6xx+=，求|AB的长. 解析：设AB的中点为E，点AEB、 、在抛物线准线:1l x = 上的射影分别为GHM、 、.由第二定义知： | |ABAFBF=+ 12 | 2| 2( 1)8 2 xx AGBMEH + =+= = x y 5m 3m m 3m B OF1F2 A