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1、高一年级 数学 复数的几何意义 主讲人吴照洋 北京市昌平区第二中学 复数 i虚数单位 i ( ,) aba bz+=R a 实部 相等00ab=()纯且虚数 实部和虚部对应相等 分类 0b ()虚数 0b =()实数 实数 b 虚部 定义 方程思想 类比方法 纯虚数集 虚数集实数集 复数集 C N Z Q R 复习回顾 . 我们知道，实数与坐标轴上的点一一对应，也就是说，数轴 可以看成实数的一个几 何模型 1【问题 】类比实数，我们能否为复数找一个几何模型呢？ 怎样建立起复数与几何模型中的点的一一对应关系？ aOx A 新知引入 i ( ,)ba bza=+R复数 ( , )a b有序实数对
2、( , )Z a b平面直角坐标系内点 新知引入 Z: a+bi b a O (a,b) x y 一 一 对 应 一一对应 一 一 对 应 i 3 1+2i 2 C B A O1x y 复数 12i+ (1,2) 有序实数对 平面直角坐标系中对应的点 (1,2)A点 3 (3,0)B点 (3,0) (0, 1) (0, 1)C点 i 比如 新知引入 1.复数的几何意义 i ( ,)ba bza=+R复数( , )Z a b点复平面内 .建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面 Z: a+bi b a O (a,b) x y 新知讲授 一一对应 实轴 虚轴 实数 纯虚数 复平面 x x 在在复复
3、平平面面内内， 轴轴上上的的点点对对应应的的都都实实数数 轴轴 是是， 因因此此称称为为实实轴轴； y y 轴为虚轴. ，轴轴上上的的点点除除原原点点外外 对对应应的的都都，称称纯纯虚虚数数是是 1.复数的几何意义 ( , )OZa b=平面向量 ( , )Z a b复平面内点 新知讲授 i ( ,)ba bza=+R复数 一一对应 一 一 对 应 一 一 对 应 Z: a+bi b a O (a,b) x y 1685年，英国数学家沃利斯（J. Wallis）意识到在直线 上不能找到虚数的几何表示. 1797年，挪威测量学家维塞尔（. Wessel）首先提出 把复数用坐标平面上的点来表示，形
4、成了复平面概念， 但在当时没有受到人们的重视. 1806年，德国数学家阿甘得（R. Argand）公布了复数 的图象表示法，即复数能用一个平面上的点来表示. 复 平面又称“阿甘得平面”. 1.复数的几何意义 新知讲授 Z: a+bi b a O (a,b) x y 1796年，伟大的德国数学家高斯（C.F. Gauss）已经 知道复数的几何表示. 1831年，高斯在著作中不仅把复数看作是平面上的点， 而且还看作是一种向量，建立起了复数的代数运算， 系统建立了复数的理论.后来复平面也被称为“高斯 平面”. 1.复数的几何意义 新知讲授 Z: a+bi b a O (a,b) x y 1.复数的几
5、何意义 ( , )OZa b=平面向量i ( ,)ba bza=+R复数 i | | z OZzab=+ 一般地，向量的称为复数长度的 用 模， 表示， 22 | |.zOZab=+ 因此， 2 0| |=|.bzaa=特别地，当时， i.| |( , )zOabazZb=+模的几何意义点到原点复的是的距离数 Z: a+bi b a O (a,b) x y 新知讲授 一一对应 1.复数的几何意义 22 1 3 +1 = 10z = 2 3iz = Z2 3 i 3+i Z1 -1 3 1 O x y z复数 1 3iz =+ OZ对应向量 1 (3,1)OZ = z复数的模OZ距离 10 2
6、(3, 1)OZ = 22 2 3 +( 1) = 10z= 10 比如 新知讲授 2iiabab+【问题 】给定复数与. 它们的实部和虚部在数量上有什么关系？ 它们在复平面内对应的点和向量在位置上 有什么关系？ 实部相等，虚部互为相反数； 新知讲授 a bi a+bi a -b b O x y 对应的点和向量关于实轴对称. 2. 共轭复数 .zz 一般地，如果两个复数的， 而， 实部相等 虚部互为相反数 共轭 则称这两个复数互 为 复数的共轭复数用数表示复 i ( ,)i.aba bazzb=+=R当时，有 新知讲授 a bi a+bi a -b b O x y 2. 共轭复数 共轭复数 新
7、知讲授 .zz = 对应的点和向量关于实轴对称. ，即模相等 形 i ( ,)i.abazbazb =+= R 实部相等虚部互.， ， 为相反数 数 a bi a+bi a -b b O x y 例题讲解 111 222 12212 34i . zZOZ zZOZ ZZzOZOZ =+，； ， ， 例1 设复数在复平面内对应的点为对应的向量为 复数在复平面内对应的点为对应的向量为 已知与关于虚轴对称求并判断与的大小关系. Z1 3+4i Z2 O x y 分析： 2 34iz= +复数 1 34iz =+复数1 (3,4)OZ =向量 2 ( 3,4)OZ = 向量 2 OZ 12 ZZ与关于
8、虚轴对称 1 (3,4)Z点 2 ( 3,4)Z点 1 OZ 解： 122( 3,4) ZZZ又因为与关于虚轴对称，所以， 22 11 22 22 345 ( 3)45 OZz OZz =+= =+= 又因为， ， 1(3,4) . Z由题意可知 2 34i .z = +从而有 12 OZOZ=所以. 12 (3,4)( 3,4)OZOZ= 所以向量，向量 Z1 3+4i Z2 O x y 例题讲解 =213 zZz Z zz 例2 设复数在复平面内对应的点为，说明当分别满足下列条件时， 点组成的集合是什么图形，并作图表示. （ 1）； （2）. 解： 例题讲解 =2z例2 （ 1）； =22
9、 2 . zOZ ZO =(1) 由可知， 即点到原点的距离 始终等于 2. Z因此点组成的集合是圆心 在原点 、半径为的圆 分析：zOZ zOZ = 因为 ， 所以是的模， 2Ox y zZ即的几何意义是点 到原点的距离. =2 2 zZ 、 满足的点在圆心在 原点半径为的圆上. 例题讲解 13z 例2 （ 2） . 分析： =3 3 zZ满足的点在 圆心在原点、半径 为的圆上. 解： 3, 213 1. z z z （ ）不等式等价于不等式组 3 3 zZ因为满足的点的集合，是 圆心在原点、半径为的圆及其 内部， 1 1 zZ而满足的点的集合， 是圆心在原点、半径为的 圆的 外部， . Z
10、所以满足条件的点组成的 集合是一个圆环（包括外边界但不 包括内 边界） 3 3 zZ满足的点在 圆心在原点、半径为 的圆内. 1 1 zZ满足的点在 圆心在原点、半径为 的圆外. 3O1x y ii -azbazb=+=，定义： | | |zOZ=：模的定义 复数的模 i abz =+复数 ( , )Z a b复平面内点 ( , )OZa b=平面向量 共轭复数 复数 ( , )Z a bO：点到原几何意义点的距离. 22 | | zab=+：计算公式 Z: a+bi b a O (a,b) x y 实部相等 虚部互为 数， 相反数. .zz = 关于实轴对称.对应的点和向量 相 形 模，即等 a bi a+bi a -b b O x y 几何意义 对应观点 数形结合 思想方法 课堂小结 课后作业 25i32i32i2i+4 33i4i2. 1 i| | =11112. zzz zZz Z zzzz + + = （1）；（2）；（3）；（4）； （5） ；（6）；（7） ；（8） （1）；（2）；（3）；（4） 1.分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标. 2.已知，求与. 3.设复数 在复平面内的点为，说明当分别满足下列条件时， 点组成的集合是什么图形，并作图表示. 【】问题3本节课我们学习了哪些数学知识和用到了哪些思想方法？ 课堂小结