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1、武汉纺织大学测控技术与仪器16 级高等数学上册期中试卷一. 填空题（每个空格4分，本题满分 36分）111. 就奇偶性而言，函数f ( x)x2x2x12是函数；其导函数是函数；2. 函数 f ( x)x (x1)(x1)的全部间断点及其类型分别为；sin 3xx2 cos 13. limx；x0ln( x1)24. 已知 limx1axb0 ，则 a， b；xx12 x25. esin 31x2dxd； ( 函数的微分）6. 已知曲线 yx2axb 和 y2x2 y4 在点 (1, 1) 处相切，则 a， b；7. 函数yf ( x) 在点 x 处可导，且 f (x )2 ,则当 x0 时，
2、无穷小 dy 与 x 的比较结果是；（函数的微分）8. 下面四个论述中正确的是；(1) 若 xn0(n1,2,) ， 且 数列 xn单调递减， 则数列 xn收敛， 且其极限 a0(2) 若 xn0(n1,2,) ，且数列 xn收敛，则其极限 a0( 3) 若 lim xn na0 ，则 xn0(n1, 2,)( 4) 若 lim xa0 ，则存在正整数N ，当 nN 时，都有 xa .nnn29. 函数 f ( x)xln x 在 x01处的带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式为.（涉及到 Taylor公式）二. 计算题（本题满分36分）x10（ 6 分）lim1x111.（
3、6 分） limn22 n 1x01exnn1xtarctant12（ 6 分） 设 yt 36t，求d y2t 1 .dx213.（ 6 分） 设 yx2e3x ， 求 y(10) (x) .214.（6 分）设函数 f ( x) 在点 x0 处有定义， f (0)1，且lim ln(1x)sin xf ( x)0 ，x0ex1求 f (0) .15. （ 6 分） 设uf (x)y 2 , 其中 x, y 满足方程 yeyx, 函数 f , 均二阶可导，求2du d u2,.dx dx三(16). (10分) 讨论函数 f (x)k arctan xx 的单调性，并求方程f (x)0 的不
4、同实根的个数，其中 k 为参数 .四(17) (8分)（ 1） 设0t1,0 ，证明： 1 ln(1t )1 ln(1t ) ；11（ 2）设 x0, y0,0, ，证明： (xy )(xy ).五( 18) (10分)（ 1） 设函数 f (x) 在区间 a,b 上可导，证明：存在(a, b) ，使得af (b)bf (a)f ( )f ( ) ；ba（ 2） 设 f (x) 在区间 0,1 上连续，在 (0， 1)内可导，且 f (0)0, f (1)1 ，证明： .存在不111同的 ,(0,1) ，使得f ()f ( )f ( )3 .2011 级高等数学（上册）期中试卷答案一. 填空题
5、（每个空格4分，本题满分 36分）x0(第一类（跳跃）间断点 ) ; x1( 第一类（可去）间断点 )1 奇；偶2x-（1 第二类（无穷）间断点） .3 34 a1,b15 - 1 exsin2arctan xC 2x6. a8 ,b223557. dy是与 x同阶但非等价的无穷小2x19x1,012 1x 16三. 计算题（本题满分38分）8 ( 4)310（ 7 分）211.（ 6 分 ） edy212（ 6 分）3(t1),d y6t (t 21)，d 2 y42dxdx 22t 2dx2t 113.（ 6 分） y(10) ( x)393x220x30 e3 xlim ln(1x)si
6、n x f ( x)1sin x0,x0ex 21(14).（ 7 分）lim f (x)1lim ln(1x)sin x1 ,x0xx0x 221即:f (0).2du dx(15).（ 7 分） d2 u2dxf (x)y (x)2 yy 2f (x)y 2 (x)2 y ;1eyf (x)y 2 (x)2 y 21e yf (x)y222 yey(x)(1ey )2(1ey )2 三(16). (10分)令 f (x)k arctanxx ， 则 f (x) 是(,) 上的奇函数，且f '(x)k1x2.1x2当 k1 0 即 k 1 时， f '(x)0(x0), f
7、( x) 在(,) 内单调减少 ;当 k1 0 即 k 1 时，在 (0,k1) 内， f '(x)0, f ( x) 单调增加；在 (k1,)内 ， f '(x)0, f (x)单调减少。又f (0)0,从而（ 1）当 k 1 时，f ( x) 在 (,) 内单调减少，方程 f ( x)0 只有一个实根 x0.（ 2） 当 k 1 时，由于 f (k1) 是 f (x) 在(0,) 内的最大值，且f (0)0 ，所以f ( k1)0.k arctan x又因为 limf ( x)lim x(1)， 所以存在(k1,) ， 使 得xxxf ( )0.由 f (x) 是奇函数及其
8、单调性可知：当k1 时，方程 f (x)0 有且仅有三个不同实根x, x0, x.四(17) (10分)（ 1） 利用单调性证明。令f (t)1 ln(1t )1 ln(1t ) ，f (t )t 1t 1(1t )(1t )0 ， 从 而 f (t)f (0)0（2）当 xy 时，显然成立；当 xy0 时，取 0tyx1，利用（ 1）可得： ( xy )11(xy ) ；x11当 yx0 时，取 0t1，利用（ 1）可得： (xy )(xy ) 。y五(18) (10分) （ 1）法 I: 令 F (x)法 2:令 F (x)法 3:令 F (x)f (x)af (b)bf (a) 1 ，
9、F ( a)F (b) xbaxf (x) ， G(x)1 ，用柯西中值定理证。xxxf ( )1 ，用拉格朗日中值定理证。xf (b)f (a)，用罗尔定理得证。ba（2）由于 f ( x) 在区间 0,1 上连续， f (0)0, f (1)1 ，由介值定理，存在 x1 , x2(0,1) ，且 xx ，使得 f (x )1 , f (x )2 ，在 0, x , x , x , x ,1 上分别用拉格朗日定理得：1213231122存在不同的,(0,1) ，使得f ( )f (x1) x11 ,3x1f ( )f (x2 )f (x1)x2x1f ( )1f (x2 )1,3(x2x1 )1;1x23(1x2 )1113x3(xx )3(1x )31212f ( )f ( )f ( )111故3f ( )f ( )f ( )践行克难屡艰之习坎精神