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1、北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名 题号一二三五六七总分得分(12分)Rx3农示山次数小于3的多项式纟fl成的线性空问。作Rx3 屮収两 个芘：O =1.0, =X-1.O3 =(x-l)2 : 為=2,戽= x_2,戽=(x_2)2。求到0,03的过度 矩阵，(2)求1 + x+x2在卜'的坐标。(14分)设丁是尺 -1的线性映射，对任意x=(w，xjW满足Tx=(O,Xj,-,xn_1)。(1)证明Tn = 0；(2)求T 的核 N(T)及值域R(T)的-1 02i(12分设八=3 + i 51 + i0、2 i2基和维
2、数。 计則HL，II岐，114, ML。-r20，i = V-1 o2-1-113)的满秩分解。63fi -i -1 o网.(10分)求矩阵A=J 'o i r五. (12分)求矩阼A= 1 1 0的lE交三角分解A=UR,其屮U、1 0 1,是酉矩阵，R是正线上三角矩阵。六. (16分，1、2小题各5分，3小题6分)证明题：1. 设A是n阶正规矩阵，且满足A3-3A+2E = 0。证明A是 Hennite矩阵，并写出A的Jordan标准形的形式。2. 设A是正定Hermite矩阵，且A是酉矩阵，证明A=E3. 证明:若A是Hermite矩阵，则是酉矩阵。"1 0 (T七.
3、(24分设人=01 -1。(1)求AE-A的Smith标准形:10 1,(2) 写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；(3) 求相似变换矩阵P使?JP-,AP = J ； (4)求卩1矩阵函数f(A),并计算W。北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名 题号一二三F 1五六七总分得分(12 分)设R3两个：= (L0,1,0. = (-1,0,0)T,= (0,1,1)T ；召=(0.-l.l)T，=(l.-1.0)T，=(l,0.1)T。(1)求 aa 到A，A，A的过度矩阵，(2)求子空间V，其中v中的向量在两 个基下
4、的坐标相同。（14分）设线性映射T:R4->R3满足：对任怠（w，&，x4）TeR4,T(x, <x2x 3x. x (/ +巧 +$ x t -x 2x +, x -yS 丁 求的核N(T)及值域R(T)的基和维数。'1 -1 0、三. (12 分)A= 023。计算 |哨，|4, |4,。U -1 0 ' 010。（1）求2E-A的 Smith 标准-2 -2 -1,/形：（2）写出A的扱小多项忒，A的初等因子和Jordan标准形;（3）求相似变换矩阵P使泔piAP=J; （4）求P_：矩阵函数 °,网.五.0的iK交三角分解A=UR,其屮U&
5、#39;1 3(10分)求矩阵A= 2 6 3 9 1 0(12分)求矩阵A= 1 1 J 21 0 7的满秩分解。 3 1 11?是酉矩阵，R是lE线上三角矩阵。六.（16分，1、2小题各5分，3小题6分）证明题:（24分设人=七.1. 设A是n阶正规矩阵，且满足A2十2E = 0。证明A是反Hermite 矩陴，并111 A的Jordan标准形的形式。2. 证明正定与私正定矩阵之和是正定矩阵。3. 证明：矜A是反对称矩阵，则6"是正交矩阵。f（A），并计算题号二三五七总分得分北京交通大学2005-2006学年第二学期硕士研究生矩阵分析考试试卷（A）任课教师:老师专业学号姓名（共2
6、4分，每小题8分）设R5空间屮的向量 1102,0 = 酶麵012，="1、20，«4 =酶132，a5 =_n20，= OB 2341213142 13_3J久Y =V2 = Span(a3,a6),(1) 求矩A=(,a2,<z3,a4,as,a6)的满秩分解;（2）求y+v.的维数及基(3)求的维数及难.（14分）求矩阵A=202000400242的lE交三角分解.三.（14分）没人=1-2-JeC 计算|冬 |4, |<, K.证明题（共24分，毎小题各8分）:<2 2<2 3)1.证明：两矩阵2 2和2 3相似.2>< 2>
7、;62. 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，证明A+B是可逆 矩阵.3. 设xeC%证明向量的无匁范数公式为：llxHmaxlx, -2 0 （P五. （24 分）设 A= 101 ,-5-12,（1）求AE-A的Smith标准形（写出主要步骤）：（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准J;（3）求相似变换矩阵p使wp-1ap = j :（4）求P"1及函数f，并计算e'北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷（A）专业 班级 学号 姓名 题号二三F 1五六七总分（12分）设三维线性空间V的两个基为和II： A
8、W， 己知由I到II的过度矩阵为A= 0o r -1 0 0 ljV屮的线性映射T满足T(«! + 2«2 +)= A + yT(2+ %+ 2%)=厚+ ,， T(aj+ 3%+ 4% > 為+ y（1）求T在丛II下的矩阵衣尔：（2）求T/J；在Ml下的坐标。（14分设R（x4是山次数小于等于3的所有丈系数多项式飢成的线性空间，R(x4'|«的线性映射T满足：对任意f(x) = a0 + atx+ ax2 + a/ e RJxh，Tf(x) = (a0 - aj + (a, - a2)x+(a2 - iQx2 + (a3 - ajx3， 求T的核
9、N(T)及位域R(T)的基和维数。三.（12 分设 A+ o 1。计算 114,114, ML，M0 1 -1四. (10分)求矩阵A= 0 -22-i r-2 6的满秩分解。- 2 3J五."0 0（12分）求矩阵A= 341 一 22'1的三角止交分解A=RU ,其2）0 1 -1屮U是酉矩阵，R是正线卜三角圯阵。六. （20分）证明题：1. 没A足n阶正规矩阵，证明A足反Hennite矩阵的允要条件足 A的特征值为纯虛数。2. 设A是Hennite矩阵，证明：（1） f是酉矩阵：（2） |eA|=e'3. 证明：a维欧氏空间V的线性变换T是反对称变换，即对任何x
10、，yeV，（Tx, y>- （x,T的充要条件是T在标准il:交基下的矩阵衣示足反对称拒阵。 r-l-26'七. （20分）没人=-103。（1）求AE-A的Smith标准形：-1-14(2)写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形:(3) 求矩阵函数f(A),并计算e、北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名 题号得分二三F 1五六七总分(12 分)设 R3 的 W 个基力I ：«= (l,0,-l)T, = (l，0，l)T和n :月=d，2，l)T，A = (2,3,4)T, A = (3,4,5
11、)t，(2)求基I到基II的过度矩阵；(2求a = (L1J)t在基I下的 坐标。二.(14分设线性影射T : R4 -> R3满足，对任总(xx.xjTeR4,T(Xi，x2，x3，x4)T = Oq -x2 + & + x4,Xj + 2x: -x4,x, + x2 + 3x3 - x4)T :求T的核N(T)及位域R(T)的基和维数。三.(12分)设人=，0 2 i ' 5 i 0 <2 i -b費(1)计算114和HL; (2)如果x=(1，L1)t，计算K和卜|L。网.(10分)求矩阵A=Q 1 0 0 1 12 3 11 0、1 13 1的满秩分解。ro
12、 4 n五. (12分)求矩阵A= 1 1 1的lE交三角分解A=UR，其屮U、0 3 2)是代矩阵，R是止线上三角矩阵。六. (20分)证明题：1. 设A是反Hennite矩阵，证明E - A是nJ逆的。2. 设A是正规矩阵，如果A满足A2-3A-4E = 0,证明：Hennite 矩阵。3. 证明：n维欧氏空间V的线性变换T是对称变换，即对任何X, ye V,(Tx.y) = (x.Ty)的充嬰条件是T在标准土交基卜的矩阵表示是对称拒阵。1 0、七. (20分设人=0 0 1。(1)求2E-A的Smith标准形；、0 0 b(2)写出A的敁小多项式，A的初等W子和Jordan标准形；(3)
13、 求矩阵函数f(A),并计算北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号' *三 五六七总分得分(12分R(x3表示山次数小于3的多项式组成的线性空间。在Rx3 屮取 W 个基：I:o,= la2 =9= xf!；II : /5=1+X2,/?!=X+X2=l4-X+X2。(1)求基I到基II的过度矩阵；(2)求a = l + 2x+3x2在基I下的 坐标。二.(16分设Rx3是山次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，R(x3屮的线性映射T满足：对任意f( x)= 3 + ? * 2 疋F,Tf (x) =+a2) + (ao +
14、 a2)x+(a0 + a1 + 2a2)x2，(1)求T的核N(T)基和维数;(2)求值域R(T)的基和维数:(3)求RlxL的一个基使得T在该柚下的矩阵表示为对角矩阵。( -1 1 、(12 分设 A= i 2 + i 1 + 12 i l-iy计算IHL, IHL，114, ML。匕1 12-2)R(8分)求矩阵A=21一 1-2的满秩分解。011-2/<122、五.(12分)求矩阵A=330的三角lE交分解A=RU，其屮006U是酉矩阵，R足iK线下三角矩阵。六.(20分)证明题：1. 设A是n阶止:规矩陈，证明A是时矩阼的充要条件是A的特征 值的绝对值等于1。2. 设A半正定H
15、ermite矩阵且A*O,证明:|E+A|> 1。3. 没a足正规矩阵，证明：M|: = max(l' I)，邛屮4处八的第j个 J特征位。fl 2 6七.(20分)设A= 1 0 3。(1)求AE-A的Smith标准形； J 1 2>(2)写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；(3)求矩阵函数f(A),并计兑e' |，|。北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名 题号一二三91五六七总分得分(12 分)R3在 R3屮収 W 个基：I: q = (1，0,0), a. = (1,1,0), Oj
16、 = (1,1，1):II:為=(1,0，1)，爲=(0，1,1)，爲= (U1)。(1)求基I到基II的过度矩阵;(2)求a = (l，2,3)在基I下的坐标。(14分设线性映射T : R3 -> R3满足：对任意(x,x2,)tgRs,T(3T> x(h,x x6 <,42x ?2t+ 2c, t求的核N(T)及位域R(T)的祛和维数。13(12分没六=iJ-i ri 1x = 1，i = a/I o计算ML，IK-114, ML."111网.（8分）求矩阵A=1234的满秩分解。012331五.（12分）求矩阵A=04-2的三角止:交分解A=RU,其12>屮U是叫矩阵，R是iH线卜三角矩阵。六.（20分）证明题：1. 设A足n阶il:规知阵，证明A足Hennite矩阵的充要条件足A 的特征位是实数。2. 设A是正定矩阵Hennite矩阵，B半正定Hermite矩阵，证明：A+B是 正定Hennite矩阵3. 设A是Hennite矩阵，且Ar = A, 证明存在酉矩阵U使得，UH AU=diag ?斗"1 2 -6、七.（20分设人=10-3。（1）求AE-A的Smith标准形：（2）、1 1 -4,写出A的烺小多项式，A的初等W子和Jordan标推形：（3）求炽昨函数f（A）.并计lelo