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1、山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案（非数学类， 2010）考试形式： 闭卷考试时间： 120分钟 满分： 100分.：业题号专满分得分一二三四五六七2051015101015八总分15100注意：1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边， 写在其它纸上一律无效 .2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.：级年线得分一、填空（每小题 5 分，共 20 分） .5评阅人(1)计算lim1cos x=.封x0x(1cosx )：(2)设f ( x ) 在 x2 连续，且limf ( x)3存在，则f (2)=.校院在密(3)若f ( t )limt (1x21) 2 tx ，
2、则 fx2( t ).所(4)已知f ( x )xx的一个原函数为2lnx ，则xf( x ) dx =.1（ 1）2：.(2) 3 .(3) ( 2 t2 t1) e.(4) 2 ln x2lnxC .号证得分份二、（5 分）计算yDx 2 dxdy，其中身评阅人D ：0x1，0y1 .解：yDxdxdy2=2( xy )dxdy+( y2x)dxdy- 2 分2D 1 : y x2D 2 : y x21x11=22dx( x00y) dy +dx02 ( yxx) dy-4 分：11名=姓30-5 分.得分三、（ 10 分）设 ysin2f ( x)，其中 f具有二阶评阅人2.2导数，求
3、dydxdy解：2 xfdx( x 2) cos2f ( x),-3分2dy22 f2( x) cos2f ( x)24 xf2( x) cos2f ( x)24 x f22( x)sin2f ( x)-7 分dx= 2 f2( x) cos2f ( x)24 x f2( x)cos2f ( x)22 f( x)sin2f ( x)-10 分.得分评阅人四、（ 15 分）已知ln axe0x32 edx1 ，求 a 的值.3ln axx1ln axx解：e032edx32 e20d ( 32 e)-3 分令 3ln a2e xxt ，所以x13 2 ae32 edxt dt-6 分0213=1
4、2 t 2233 2 a1-7 分13=( 3 32 a )1 ，-9 分ln axx1131由e302edx，故( 3 332 a )1 =3，-12 分即( 332 a )=0-13 分亦即 32 a30 -14 分所以 a-15 分.2得分x评阅人五、（10 分）求微分方程 x yye0满足条件y x 1e的特解.解：原方程可化为：1业yx y专xe-2分x这是一阶线性非齐次方程，代入公式得1dxyexx1 dxeexdxxC-4分=ln xexeln xedxC-5分：级= 1年线x1xxe dxxC-6分=( e xC ) .-7分1x封所以原方程的通解是 y( exC ) .-8
5、分：再由条件校院y x 1e ，有 ee C ，即Cx0 ，-9 分在密因此，所求的特解是 y所e.-10 分.x得分六（ 10 分）、若函数f ( x )在( a , b ) 内具有二阶导：评阅人号证数 ， 且 f (1x )f ( 2 x )f3 (，x 其)中份a1x2x身3x ，证b明：在( x1 , x3 ) 内至少有一点，使 f()0 。证：由于f ( x ) 在 ( a , b ) 内具有二阶导数，所以f ( x)在 x1 , x 2 上连续，在 ( x 1 , x 2 ) 内可导，再根据题意f ( x 1 )f ( x 2 ) ，由罗尔定理知至少存在一点1( x1 , x 2
6、) ，使 f( 1 )=0； -3 分：同理，在 x2 , x 3 名上对函数f ( x)使用罗尔定理得至少存在一点2( x 2 , x 3 ) ，姓使 f(2 )=0；-6 分对于函数f( x )，由已知条件知f( x)在 1 ， 2 上连续，在（ 1 ， 2 ）内可导，且f (1 ) = f(2 )=0，由罗尔定理知至少存在一点（ 1 ， 2 ），使 f()0 ， 而 1 ， 2 ）( x1 , x 3 ) ，故结论得证 -10 分.：业得分专七、（ 15 分）已知曲线 yxe ，ysinx 和直线评阅人x0， x1 围成平面图形 D .（1） 求平面图形 D 的面积 A ；（2） ）求
7、D 绕 x 轴旋转所成立体的体积 .1解：（1） Ax(esin0x )dx -2 分：x级( ecos x )-4 分10年线ecos12 -5 分b（2）因为 V x2f( x ) dxa， -6 分封所以V x：1( e 2 x0sin2 x ) dx1-9 分=e校12 x11xsin 2 x-11 分院2240在密所=121( e1)221sin 24-13 分12=( e：2号证份身1sin 2 )12.-15 分.八、（15 分）设 uf ( x , y , z)有连续的一阶得分评阅人xyxx z sin偏导数，又函数 y下列两式确定：tduy ( x ) 及 zz( x)分别由exy2 和edt ，求.0tdx名：解： dudx姓ffdyxydxfdzzdx，（1）-4 分由e xyxy2 两边对 x 求导，得xydye( yx)( ydxdyydyx) =0，-7 分dx即dx又由 e xxx z sin tdt0t-9分两边对 x 求导，得xsin( xz )e(1xzdz) ， -11 分dx即dzxe( xz)1-13 分dxs i n x(z)将其代入（ 1）式，得xdufyfe 1( xz)f.-15 分.dxxxysin(xz)z