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1、线性代数经管类综合试题一 课程代码 4184 一、单项选择题本大题共 10小题，每题 2分，共 20 分 在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1. 设 D=M工0 , 那么D1=(B )A.2MB.2MC.6MD.6M2. 设A、B、C为同阶方阵，假设由AB = AC必能推出B = C,那么( D )0 D. | H M0( A )A+B) 2=A2+2AB+B2B) -1 =B-1 A-1A 应满足A. A工0B. A = O C.| A| =3设A, B均为n阶方阵，那么A.| A+AB=0，那么冏=0 或|E+B
2、|=0B.(C.当 AE=O时，有 A=O或 B=O D.( A4.二阶矩阵 A,|A|=1 ,那么 A1二( B )A.B.C.D.，那么以下说法正确的选项是 ( B )A.假设两向量组等价，那么s = t .r(r(B. 假设 两组 等 价 ， 那么)=C.假设s = t，那么两向量组等价D. 假设 r()=r(，那么两向量组等价6. 向量组要条件是线性相关的充分必A.量中至少有一个零向中至少有两个向量B.对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示，那么以下成立的是 ( C )C. r = sD.8.对方程组 Ax = b 与其导出组 Ax = o ，以下命题正
3、确的选项是 ( D )A. Ax =o有解时，Ax = b必有解.B. Ax =o 有无穷多解时， Ax = b 有无穷多解 .C. Ax =b 无解时， Ax = o 也无解 .D. Ax =b 有惟一解时， Ax = o 只有零解 .9. 设方程组 有非零解，那么 k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D ).A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=CtCC .负惯性指标为零 D. 各阶顺序主子式均为正数 二、填空题(本大题共 1 0小题，每题 2分，共 20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.
4、 四阶行列式D中第3列元素依次为-1, 2, 0, 1，它们的余-15子式的值依次为5, 3,-7, 4,那么D =12. 假设方阵A满足A2 = A，且A吒,13. 假设A为3阶方阵，且那么 |2冲=_4.14.设矩阵的秩为2,那么t =(4 ,435)=.16.设n元齐次线性方程组Ax = o, r(A)= r < n,那么根底解系含有解向量的个数为 n-r个.=(0 , 1 , 1)=0 ， 0， 1 是 R3 的 基 ， 那么(1,1,2).18.设A为三阶方阵，其特征值为1,-1, 2,那么A2的特征值为 .19.二次型的矩阵A2 2 02310 1 1的特征值为123 .三、
5、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分21.求行列式1x 111 解11 x 11111 y 11111 y的值.1x111x x 00111 y 100 y y1 x 100x 0 0 0110 0110 0xy00 1 y 10 0 y 00 0 110 0 11xy2 2=x2y2.22解矩阵方程：11 12解：令A= 21 1,B= 311 161 11 100因为(AE)二 2 110101 1100111110 00 312100 0 2 1 0 1111000一33010111，所以A236001101220121231303161由 AX = B，得：X=A-1B=11331
6、1360101212236223.求向量组=(1,1, 2, 3 ),=(1, 3, 3, 5 ) ，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线 性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 .解：将向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：11141114( T ) 11320026( 1 2 3 4 )1 2 3 4 2135031331560426111411141007002601130100011300130013 .002600000000所以，r(1 , 2 ,3,4 )=3,极大无关组为1 , 2 1I 3 ；471324. a取何值时，方程组有解？并求其通解(要求用它的一个特解和导
7、出组的根底解系表示).解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：21 11112142A 12 1420537317411a0537 a 2假设方程组有解，那么r(A)r(A)，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得:6 一 5 7 一 5 O .1-5 3-5 O O 1 O1 o O-A6-57-5X3X34X1X2一个特解5 53 35 5453x3,X4为自由未知量，令X3=X4=0,得原方程组的Xi与导出组同解的方程组为:5X3,x3,x4为自由未知量，令X3分别取1 0,，得到导出组的根底解系:X40 1165535 175，所以，方程组的全部解为：1001X25X37x44533
8、 ，原方程组的同解方程组为:50416555353Cl 5c25，其中，5Ci , C2为任意常数.010001v25. ，求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，假设能，求可逆矩阵 P,使P -AP = A 对角形矩阵.解：矩阵A的特征多项式为：200I E A|121(2)2(1),101所以，A的特征值为:122, 31对于i2 2 ,求齐次线性方程组(2EA)xo的根底解系，0 001 010 12E A1 010 00 ,得根底解糸.1 , 0，从而1 010 000 101c1 1c2 0c1,c2不全为零.01对于3 1 ，求齐次线性方程组(EA)x o的根底解系，10 0
9、1 000EA11 1 0 11，得根底解系： 1 ，从而矩阵10 0 0 001A 的对应于特征值03 1的全部特征向量为： c 11(c0) .010因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量1，0 ， 1011010200所以， A 相似于对角矩阵，且 P 101,020.011001解： f(x1,x2 ,x3)26. 用配方法将以下二次型化为标准形：=x124x1(x2 x3)4(x2x3)24(x2x3)2 +2x22 x32 4x2x3=(x12x22x3)22x224x2x35x32=(x12x22x3)22(x222x2x3x32)3x32=(x12x22x3)22(x2x3)
10、23x32.y1 x12x22x3x1y12y2y2 x2x3即 x2y2y3 ，y3 x3x3y32x122x222x324x1x24x1x34x2x3令得二次型的标准形为： y12 2y22 3y32 .四、证明题本大题共 6 分是R3空间中的一个基.1 1 00,所以!2, 3线性无关方证：因为 1 1 01 1 1法多样，所以向量组1，2，3是R3空间中的一个基.线性代数经管类综合试题二 课程代码 4184 一、单项选择题本大题共 10小题，每题 2分，共 20 分 在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。=0,
11、那么 k =1. 假设三阶行列式( C ).A1B0C-1D-2成立B|DAB=BA的 伴 随 矩 阵 , 那么2. 设A、B为n阶方阵，那么 的充要条件是 ( D ).AA 可逆 BB 可逆 C| A|=|3. 设 A 是 n 阶 可 逆 矩 阵 , A* 是 A ( A ).BD4. 矩阵(B ).A2B1D的秩为2，贝S入二C05.设3M矩阵A的秩r(A)=1 ,是齐次线性方程组 Ax=o 的三个线性无关的解向量，那么方程组的根底 解系为 ( D ).BD6. 向量线性相关 ,那么( C ).A k =-4Ck =-3Dk = 37. 设 u1, u2 是 非 齐 次 线 性 方 程 组
12、 Ax=b 的 两 个 解 , 假设是其导出组 Ax=o 的解 , 那么有 ( B ).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c2 = 0D c1= 2c28. 设A为n(n?2阶方阵，且A2=E,那么必有(B ).AA 的行列式等于 1 BA 的秩等于 nCA 的逆矩阵等于 E DA 的特征值均为 19. 设三阶矩阵 A 的特征值为 2, 1, 1 ， 那么 A-1 的特征值为( D ).1, 22, 1, 1(A ).A .正定的B .半正定的C.负定的D.不定的二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.12.设A为三阶
13、方阵，且|A|=4,那么|2A|= _32_.1 1 0那么 AB= 1100410,那么 A-1 =14.设 A =15. 向 量表示为向量组k =_-1.17. 设 向正交，那么a = _218. 实对称矩阵 A=,写出矩阵 A 对应的二次型 f (x1,x2,x3) x； 2x； 3x； x1x2 3%319. 矩阵A与对角矩阵A=相似，那么A= E.20. 设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,那么其标准形为y； y y y三、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分的值.xx解：原式二x3y3y3y3y1yy y(x 3y)1xyy1yxy1yyxy yx yy x
14、y yy y y x21. 计算行列式1 yOxy(x 3y)0 00 0y0x y0y00x y(x 3y)(x y)22. 设矩阵A=B=，求矩阵.110100110100解：AE121010011110223001043201110100100431011110010531001641001641431得： A 1531.6414311129所以，A 1B5310231064121413求 k 的值，使 A23. 设矩阵 的秩 r(A) 分别等于 1，2，3.解：对矩阵 A 施行初等变换：123k123kA12k302k23k3k2302k233k21 2 3k123k0 2k 2 3k
15、 30k 1k 1.0 0 6 3k 3k200 (k 2)(k 1)123当 k=1 时， A 0 00，矩阵 A 的秩 r(A)=1 ；000126当 k= -2 时， A 033 ，矩阵 A 的秩 r(A)=2；00012 3k当kzl且k=2时，A011，矩阵 A 的秩 r(A)=3001的秩和一个极24. 求向量组大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示1112( ) 1( 1 2 3 4)12343710141320解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换:1 1 1 20 1 2 20 2 6 80 3 12 18111201220024001211120122
16、001200001 0 0 20 1 0 20 0 1 20 0 0 0所以，向量组的秩 r( 1, 2, 3, 4)3，向量组的一个极大无关组为：的根底解1, 2, 3 ，且有25. 求线性方程组系，并用根底解系表示其通解解：对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)作初等行变换：122312A231201135701104501340000与原方程组同解的方程组为：2 3 1 2 2 33 4 0 1 3 43 4 0 0 0 0x1x24X3 5x4，其中X3, X4为自由未知3x3 4x4量.45x310令 xx34 分别取 10 , 10 得根底解系： v134v201方程组的通解为： c1v1 c2v2c2Cl , C2为任意常数