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1、调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘 要：本文给出了调和级数发散性的 18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者 进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。关键词：调和级数发散性部分和收敛Proofs of the diverge ncy of harm onicseriesName: Fan Lucha nDirector: Wang Yin gqia nAbstract : Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are prese nted in th
2、is paper.Some are known and some are n ew.Key words:harm onic series; diverge ncy; partial sum; con verge ncy引言1调和级数 -的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(1323 1382) n 1 n在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：1111111,1L23456781111 1111一一 (一一)(一 一 一 一)L22448888注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面11级数的括号中的数值和都为 丄，这样的丄有无穷多个，所以后一个级
3、数是趋向无22穷大的，进而调和级数也是发散的。后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收1 1 1 1敛级数丄丄丄L 丄 L1为基础的。以下是他的证明。2612 n(n 1)1证明：11丄，111122 62312111 11所以Sn1-L223 34则Slim snnlim(1n按着设A 1 1L2 31234则A -L2612 201 11 1 1 ,L ，L3 4n(n 1) n n 11111nn 1n 11)1.n 11 ,-LnnL ；n(n1)1111L -1261220n(n111L161220n(n1)111L1122030n(n1)111L1203
4、042n(n1)111L1304256n(n1)C1)LDLEFLGL1220L L1 2 _3 j42 6 12 20 30即A A 1.没有一个有限数会大于等于自己，即 A是无穷大，所以调和级数发散由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和 级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。 伯努利作出这一论证之后的150 年，才有真正的级数理论出现。他用简明的 A A 1来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级 数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列 敛
5、散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性 的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和 研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料， 笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔 者用有关定理或方法导出的。1证法一：利用反证法.假设调和级数 1收敛，记其和为S,即S=n 1 n由于正项级数若收敛,加括号后仍收敛,且和不变,可知:S=1=1+ 1n 1 n12n 1丄L2n从而 0=(1+1)(1+1)1212(1(31l4)L1
6、)L1n(-2n 1(丄2n 2n2n) L1)LL)11矛盾，所以调和级数必发散.2证法二:1证明调和级数 -的部分和可任意大.n 1 n依次将 1九项，九十项，九百项，L括在一起得n 1 n1 1 1L 1 L23n“ 1 ,1“ 11 , 1、“ 1（1 二 L-)（二L)(291011991001101诗44410）需4盒盘）99011000 44L4 41000)9009 9090010 100 1000_9 _9 _9_10 10 10从上式中可以看出1-的和可任意大，故级数n 1 n1发散.n 1 n3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列 Sn发散.'1扌1事实上，存在
7、01，对任意自然数3L 2，总能找到两个自然数m。,n° 2m0，当然也有2 m。，使得1|S2m0 沁1 mr1m°L丄2m°据柯西收敛准则的否定叙述,12m°12m02m°4证法四：证明部分和数列S2m11 (1 丄)(1 12 3 45 6Sn发散,从而1发散.n 1 nSn的子列1 1) L (7 8S2m发散.L2皿1 1 1 211 11124 -L2m 12482'11111(-L_)2222m=12于是lim Sj“ lim(1m)m2m2即lim s,mm2故数列Sn发散，从而调和级数 1发散.n 1 n5证法五：利用
8、欧拉常数证明1 11an 1Lln n，n2 3n1 1即1 1 1 L1一 lnn=C+ n,其中 n0(当n2 3n1因为1 ln(1 -)nn所以ln(n 1) lnn-n从而有ln2 ln11证明数列an存在极限C （欧拉常数），这里时）1In 3 In 2 -，2L L1 ln(n 1) Innn上述n个不等式两边相加得于是an 11即an有下界.其次anan 1ln(n 1)应用不等式1 _2 ；1 1ln(1ln(n1)1厂 ln(n 1)ln n1ln(1 -)n故an有是一个单调下降的数列，因此liman存在，用C表示，即 n1 1 1lim(1L In n) C.n 23
9、n111也就是1L In n C n (lim n 0).23nn 'nn '显然lim snlim(ln n C n).1故调和级数-发散.n 1 n6证法六：应用级数an (其中31n 1有相同的收敛性.1取3n -(n 1,2,L)，nn 1,11 ,1小1 -L-0.23na2 Lan L 0)与级数2na2n而级数2na2n2ng1n1 发散.n 1n 12 n 11故调和级数 发散.n 1 n7证法七：利用广义积分法对于部分和数列Sn :11 ,1n 1 11 -Ldx23n1 xSn12 3Lnn 1 1dx ln(n 1)， limln( n 1)1 xn因此l
10、im Snn故调和级数1发散.n 1 n8证法八：证明由调和级数中分母末位含有 0的项组成的子级数发199,L10100100Unn 19100调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是Unn 11 110 201 1100 1101 11000 10101 110000 10010100000在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于10100分母从110到1000的项共有90项，其和大于901000分母从1010到10000的项共有900项，其和大于L L90010000分母从10n10到10n 1的项共有9 10n 1项，其和大于9 10n 1n 1109100从而显然Un发
11、散，于是调和级数 -发散.n 1n 1 n9证法九：利用命题“设正项级数an收敛，且an1 an，liman 0，n 1n则有 limn an 0 ” .n以下是这个命题的证明：因正项级数an收敛，则对于任意给定的0，总存在自然数n 1当n时，下式成立1 an 1an 2 La2n 1a2n 丨 an 1an 2La2n 1a2n?由已知an 1 an(n 1,2,3,L )，而an 1an 2 L a2n 1 a2n (n 1,2,3, L )，na2n， 2na2n，故有lim2 na2n 0.na2n 1a2n，故有2n 1(2n 1)a2n 1(2n 1)a2n 2ng2nc 2n 1
12、门2ng 陽 0. 2n0 lim(2 n 1)a2n 1 limnn故有lim(2 n 1)a2n 1n0.ga2n ,所以无论n为奇数或偶数时，下式成立lim nann0.即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。运用该定理可得lim nann1 ngn故调和级数n1发散.1 n10证法十:利用不等式ln(1x).Sn11lln(1 1) ln(13ln2 In L23 4ln(2爲爲Innn n1ln(1 一)n1ln(1 n)(n )，故调和级数发散.取C 1&12,a31丄a”1 n则1 1 12 3nL 1n1 1(1g2g3g-茅，n11L1n11证法十一：利用平
13、均值不等式I1ai a? L-(aiga2ga3L 寺八nV-!1n112证法十二：利用不等式3(- 2,nn）来证明.当n ，左边为m-，右边为nim nn，'故发散.因为首先证明上述不等式成立1 113n 1 nn 1n1 1(d ) n 1 n(1n11(n 1)n(n1)n2n(n 1) n(n 1)所以所以3(nn2,n10 L111111 -23456,11111 1 -234511L-L7n1 1, 1 ,LL6 7n1所以1 2所以调和级数1n发散.2 (-)(-)2 3 45 671 12 1L .2 3i-L是无穷数.n13证法十三：任意给定M 0，总可以找到一有理
14、数 卫 M，而任何正有q理数可写成互异的形如 丄的数有限和（见文献9），其中m为自然数，卫为互异 mq的形如丄的数有限和，假定最大的分母为 N，则有Sn卫 M,当n N时，具 mq1有Sn M，也就是lim s1，所以调和级数-发散nn 1 n以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法14证法十四：利用拉阿伯判别法：若 Un是正项级数，n 1散）n N'，有说1) r1 （ n（出1） 1 ），则级数 Un收敛（发Un 1n 11在调和级数十中，n ,均有-(n 1) n普 1) n(n 1 1) 1， Un 1丄nn 1所以调和级数1发散.n 1 n15证法十五：应用厄耳玛可夫判别法
15、：若f（x）为单调减少的正值函数，且xf，则当1时，级数f( n)收敛；当 1时,n 1级数 f(n)发散.令 f(x)limXexf(ex)f(x)X 1e头lim 1xlim x ，X故级数n 1f(n)发散.证法十六:应用咼斯判别法:在级数an 中，若 an0(n 1,2,3丄)及n 1ananan 1(| n| C, 0),则(1)当1时，级数收敛；1时级数发散；当 1时，若 1则级数收敛，若1则级数发散.1在调和级数 1中，旦L 1 1，n 1 n an 11 n nn 1据高斯判别法知，调和级数 1发散.n 1 n17证法十七：设an 0,Sn a1 a? Lan,级数ann 1,
16、则色发散.n 1 sn以下是这个命题的证明：因为an 0,Sn单调增加，所以因为Sn从而n pakk k n 1k n 1 SkSn pSn pSi1SnSn pSnp充分大时，有SnSn p11 -212，12，故 n ,当p所以岂发散n 1 Sn令an 1, n 1,2,L ，则Sn11 L 1 n，所以an=-发散n 1 片n 1 nn p aakk n 1 Sk18证法十八：利用匸匸 的发散性.记an(1)lnn为研究级数an的敛散性,n 1我们引进集合 A n| Inn k k (1,2丄).那么集合Ak内的元素n具有性质k In n k 1或写成ek n egpk其个数Pk (e
17、1)ek，将Ak内的元素从小到大排列，可记为mm 1L E Pk 1.现考虑Ukann Ak(1)Innn 1 n其中1k1k1Vkkn Ak n v 0 nk V v 0 e£ePk 1Pk 1Pk 1k-g-k k (e 1)e ege ege11/彳、k e 1生(e 1)geege 22eF面证明级数an是发散的，采用反证法，假设an收敛，则由柯西收敛准n 1则，对于任给的 0,存在No，使得当n No时，对于一切自然数p，均有|anan 1 L an p 1今取詈0，对于有此所找到的No，在n No中选一个数nk，此处k是适当大的一个自然数，有nkA，即ke nkkege
18、.又取自然数p pk 1，则此时应有1 ank ank 1LankPk 1 1(1)但另一方面却有| 3nk3nk 1 L 3nPk 1 I I Uk |Vk(1)式与(2)式矛盾，因而级数an发散.利用这个结论我们可以证明调和级数发散。In n由于 4 的部分和大于-的部分和,nn所以由心发散知丄发散.n 1 nn 1 n结束语 的发散性证明精彩纷呈。本文在综合已有证明方法的同时，再给出了笔者自己用 有关定理或方法导出的另外几种证明，具有一定的创新意义。调和级数作为去判别另外一个级数的发散的一把“尺子”起到了重要作用，它参考文献1朱永生，龚晓欧拉常数的性质及在解题中的应用J.高师理科学刊，2
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