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1、第四部分线性方程组 本章讨论线性方程组，对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件，基础解系的概念，解的性质，以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解？何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何求通解。 4.1齐次线性方程组 4.1.1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组的一般形式是 用矩阵也可简写成Ax=0其中 。我们要讨论的问题是：该齐次方程组有非零解的充分必要条件。 令为矩阵A的列向量，则该齐次方程组又可以写成，其中 则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组线性相关，用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵的秩r（A）<n，其中n是
2、未知数的个数。于是有下面的定理定理4.1.1齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）<n，其中n是未知数的个数（也是矩阵A的列数）。等价的说法是齐次线性方程组AX=0只有零解，没有非零解的充分必要条件是r（A）=n。推论1n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 。下面讨论当齐次方程组有非零解时，方程组通解的结构。为此，先讨论齐次方程组解的性质。4.1.2齐次线性方程组解的性质我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。下面要讨论它的所有解组成的集合是什么样的集合。因为齐次方程组AX=0必有零解，所以0V，故V非空。性质1若都是齐次方程组AX=0的
3、解，则也是齐次方程组AX=0的解。证。性质2若是齐次方程组AX=0的解，k是一个数，则也是齐次方程组AX=0的解。证以上两条性质说明是的一个子空间，所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。如果齐次方程组AX=0只有零解，V=0，否则，我们希望求出它的所有解的一般表达式，即通解。即写出中所有元素的一般表达式。4.1.3齐次线性方程组AX=0的基础解系 定义4.1.1设是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足：（1）线性无关；（2）齐次线性方程组AX=0的的任意一个解，都能由它线性表示。则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。进一步，要问，对于给定的齐次方程组，满足什么条件时，它
4、有基础解系？基础解系含几个解向量？如何求一个齐次线性方程组的基础解系？如何求出该齐次方程组的通解？看例题例1求齐次线性方程组的所有解。【答疑编号12040101】 定理4.1.2 设A是m×n阶矩阵，r（A）=r，则（1）当r（A）=r <n时齐次方程组AX=0必有基础解系。（2）AX=0的基础解系含n-r（A）个解向量，且AX=0的任意n-r（A）个线性无关的解都是它的基础解系（因为齐次方程组含n-r（A）个自由未知数）。（3）如果 是AX=0的一个基础解系，则为任意数）为AX=0的通解。例2设 是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明：也是AX=0的一个基础解系。【答疑编号
5、12040201】 例3 求 的基础解系和通解。【答疑编号12040202】 例4求齐次方程组的通解。 【答疑编号12040203】 例5 证明：同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。【答疑编号12040204】 证 设齐次方程组AX=0与BX=0同解。则两个方程组所含未知数的个数必相等。，设为n，且两个方程组的解空间必相同，其维数必相同，n-r（A）=n-r（B）故r（A）=r（B）。命题得证。例6 设A是m×n阶的实矩阵，证明: 【答疑编号12040205】 例7 设矩阵 和 满足AB=0，证明:r（A）+r（B）n【答疑编号12040206】 小结：1.齐次方程组AX=0
6、有非零解的充分必要条件是r（A）<n （其中n是未知数的个数）。2.齐次方程组基础解系的概念，所含解向量的个数，判断向量组是某个齐次方程组基础解系的方法。3.求齐次方程组基础解系和通解的方法。作业 p116 1,2,3（1）（4）（5）,4,54.2非齐次线性方程组4.2.1非齐次线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组的一般形式是用矩阵也可简写成Ax=b其中。我们要讨论的问题是：该非齐次方程组何时有解，有解时，何时解惟一？何时有无穷多解，当有无穷多解时，如何表示其通解？如果令则方程组Ax=b有解的充分必要条件就是向量b能由向量组 线性表出。为方程组Ax=b的增广矩阵，则用矩阵的秩来描述
7、，有下面的定理。定理4.2.1线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是。 4.2.2非齐次线性方程组解的结构一、 非齐次线性方程组解的性质（1）如果 都是非齐次方程组Ax=b的解，则 是它的导出组Ax=0的解；（2）如果是非齐次方程组Ax=b的一个解，是它的导出组Ax=0的解，则 是Ax=b的解。 二、非齐次线性方程组通解的结构定理4.2.2 （1）如果 ，则线性方程组Ax=b有惟一的解；（2）如果，方程组Ax=b有无穷多解。设是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，是它的导出组Ax=0的基础解系。则是Ax=b的通解。（3）当1时，方程组无解。 推论 对于n个未知数，n个方程的线性方程组Ax=b。
8、有（1）如果 ，则方程组Ax=b有惟一的解 ；（2）如果 ，当时，方程组有无穷多解。4.2.3求非齐次线性方程组通解的方法步骤: （1）写出方程组的增广矩阵；（2）对增广矩阵作初等行变换，将其化为阶梯形；（3）确定约束未知数和自由未知数；（4）令所有自由未知数都取零，得非齐次方程组的一个特解；（5）求出对应齐次方程组（导出组）的基础解系，进而写出原非齐次方程组的通解。例1求的通解【答疑编号12040401】 例2当参数a为何值时，非齐次方程组有解？当它有解时，求出它的通解。【答疑编号12040402】 例3证明:线性方程组有解当且仅当【答疑编号12040403】 例4 下列向量 能否表示成 的
9、线性组合？（1）【答疑编号12040404】 （2）【答疑编号12040405】 例5设Ax=b中未知数的个数n=4，r（A）=3。设为Ax=b的三个解。已知。 求Ax=b的通解。【答疑编号12040501】 例6 当参数为何值时，非齐次方程组无解？有惟一解？有无穷多解？并求出它的通解。【答疑编号12040502】 小结1.线性方程组Ax=b何时有解？有解时，何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何表示其通解；2.线性方程组Ax=b是否有解，解是否惟一与向量b能否由向量组 线性表示的关系；3.线性方程组Ax=b的解的性质；4.非齐次方程组Ax=b的通解的公式，求非齐次方程组通解的方法。P86 习题3.1 3（1）（3）,4,5,p125 习题4.2 1（1）（3）（4）（6）3（1）,4,6,本章总结1.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件；2.齐次方程组Ax=0的基础解系的概念，基础解系所含解向量的个数，判断向量组是否为齐次方程组基础解系的方法；3.求齐次方程组的基础解系和通解的方法。4.线性方程组Ax=b何时无解？何时有解？有解时，何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何求其通解。