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1、17.4 一元二次方程根与系数的关系（第1课时）-教案 六安皋城中学 张克玉一、教学背景（一）教材分析前面学生已学习一元二次方程的解法，根的判别式的有关内容，通过求根公式的学习，学生对根与系数关系有了初步的感悟，即一元二次方程的根都可以由其系数来表示。本节课是在此基础上进一步探究两根和，两根积与系数的关系。通过本节课的学习，有助于丰富学生对一元二次方程的根与系数关系的认识，并为今后学习二次函数（抛物线与轴交点问题）有关内容作必要的铺垫，但本节内容在初中阶段属于选修内容，因此，对相关内容不作深入探究，也不作过高要求。（二）学情分析本节课是八年级下册内容，八年级学生已具备了一定的从事数学活动的经验
2、，形成了一定的探究意识，具备了初步的观察，归纳，猜想能力。因此，他们对根与系数关系的产生并不感到十分困难。但八年级学生对事物的认识还较片面，而一元二次方程根与系数是建立在方程有根的这个前提，易被学生忽略，还需要教师在教学给予必要的提醒。二、教学目标1. 了解一元二次方程根与系数的关系，并能初步运用根与系数的关系解决简单的问题。2. 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，进步体会通过观察、归纳、猜想、验证证明是探究新问题的基本方法。3. 通过证明猜想的正确性，形成严谨求实的态度。三、教学重点与难点重点：一元二次方程根与系数关系的探究与运用难点：一元二次方程根与系数关系的探究四、教学方法分析及学
3、法指导有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，引导者与合作者。同时，教师应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。本节课的教学将采用以引导为主的方法归纳发现法。即在教师的引导下，让学生通过观察、归纳、猜想得出结论，并进一步给予证明。同时本节课将遵循从特殊到一般的认知规律，即先得到的根与系数关系，再通过修正，进一步得到的根与系数关系。学生对本节课结论的掌握与理解并不困难，但在具体运用时，因常涉及到代数式的恒等变形，因而对基础薄弱的学生有时会感到困难，尤其容易忽视这一前提条件。但限于本节课的教学要求，在教学过程中要注意回避并控制难度，避免加重学生负担。五、教学
4、过程（一）复习回顾，引出课题1. 回顾一元二次方程求根公式2. 引导学生观察并指出一元二次方程的根都可以由系数通过运算得到的，并追问：一元二次方程的根与系数还有怎样的运算关系？从而引出课题。（二）合作交流，探究新知【活动一】 观察下列方程及其括号内的两根：（1） （2） （3） （4） 由此猜想：若方程的两根为、，则、与系数有怎样的运算关系？学生观察后回答，教师视情况略作引导：运算关系可以先从简单的加、减、乘、除开始。所给方程二次项系数均为1，方程的根均为整数，其中（1），（2），（3）的根均为正整数，便于学生观察，这样设计符合八年级学生的认知水平。同时，此处没有明确告诉学生寻找，与系数的关系
5、，目的通过让学生去观察，发现，有利于培养学生的观察、归纳、猜想的能力。【活动二】 观察下列方程及其两根：（1） （2） （3） （4） 活动一中的结论是否仍然成立？如果不成立，能否通过适当修正，从而对活动一中的结论进行推广？即若一元二次方程的两根为、，则、与系数有怎样的运算关系？本活动中所给方程二次项系数不再为1，根也不再是整数，但仍为有理数，且（1）、（2）、（3）中的方程的根均为正有理数。有了活动一的铺垫，学生独立解决并不显得十分困难，以此把问题从特殊引向一般。从特殊到一般的思想也符合对事物认识的一般规律。【活动三】环节1. 已知方程的两根为，验证活动二中的结论是否仍然成立？通过活动一、二
6、进行观察，归纳，猜想初步得出结论。通过本活动验证活动二中的结论的普遍性。环节2. 请对以上的猜想进行证明。证明过程由学生独立完成，教师检查，对有困难的学生给予引导。通过对猜想结论的证明，帮助学生形成严谨的数学态度。（三）课堂练习，巩固新知说出下列方程的两根和，两根积：（1） （2） （3） （4）由学生稍作思考后回答，其中方程（3），（4）部分学生容易出错，教师作必要的提醒。（四）合作交流，运用新知例1. 已知关于的方程的一个根为4，求它的另一根及的值。先让学生在草稿纸上做，教师注意寻找不同的解法。并让不同解法的学生上黑板板演后分析讲解，并指出两种方法的合理性，提醒学生注意方法的简便性。（五）课堂小结，梳理新知引导学生回顾本节课的内容以及学习过程（六）课外作业，巩固新知 必做题1. 已知关于的方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。2. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根及的值。