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1、-WORDB式一可编辑-2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一弁交回。注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12
2、小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2，则 A n B二1 .已知集合 A= x | x1 >,- B x | XA. (- 1 , +8)B.(-巴 2)C. (- 1 , 2)D. O2 .设 z=i(2+i)，贝U z =A. 1+2iB.- 1+2iC. 1 - 2iD.-1-2i3 .已知向量 a =(2, 3), b=(3, 2),则 | a - b| =A. V 2B. 2C. 5 V 2D. 504 .生物实验室有 5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这 5只兔子中随机取出只，则恰有 2只测量过该指标的概率为2 3A.B
3、. 一3 54 1C.D.一555 .在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6 .设f(x)为奇函数，且当 x>0时，f(x尸ex -1,则当x<0时，f(x尸A.B. e"* 17.a, B为两个平面，则0C/ B的充要条件是8.9.A.B.C.D.a内有无数条直线与B平行a内有两条相交直线与若 x1=-4A. 2C. 1若抛物线B平行于同一条直线B垂
4、直于同一平面x2=-是函数f(x)= sin x (« >0)两个相邻的极值点，则4B.D.。,小xLyL -y =2px ( p>0)的焦点是椭圆T 1的一个焦点，则3 PPP=B.D.A. x 个一”B.2x y 2 1 0D.x y1 一0一 一A. 2C. 4 10 .曲线y=2sinx+cosx 在点(兀，-1)处的切线方程为兀11 .已知 a （ 0, 二），2sin2 民=cos2 a +1 ,则 sin a 二-WORDB式一可编辑-A.-5B.D._552 512 .设F为双曲线2XC： 2a1 （a>0, b>0）的右焦点，O为坐标原点，以
5、 OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若| PQ|=| OF| ,则C的离心率为B7 3C. 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.* > ，2x 3y6- 013.若变量x, y满足约束条件 x + y- 3% 0,则z=3x-y的最大值是 .1 _ <，y 2014 .我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20 个车次的正点率为0.98 ,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.15 . ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知bs
6、inA+acosB=0 ,则B=.16 .中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .（本题第一空2分，第二空 3分.）IA图i圈选.第22、23题为选考题，考生根据要求作答三、解答题： 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必
7、须作答（一）必考题：共 60分。17. (12 分)如图，长方体 ABCD A 的底面 ABCD是正方形，点E在棱AA上，BEX EC1B1C1D111 .iko1M，"jFp "gptIf/lIII o ° I J O' I(1)证明：BE，平面 EB1C1；(2)若AE=A1E, AB=3 ,求四棱锥 E -BB1C1C的体积.18. ( 12 分)已知 an 是各项均为正数的等比数列，a1 = 2, a3=2a2人16 .(1)求 an的通项公式；(2)设bn =log 2 an ,求数列 bn的前n项和.19. ( 12 分)某行业主管部门为了解本
8、行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组- 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01 )附:74 8.602 .20. ( 12 分)已知F1, F2是椭圆X 22P为C上一点，O为坐标原C : -2 += 1四七0)的两个焦点,点.(1)若 POF 2为
9、等边三角形，求 C的离心率；(2)如果存在点 P,使得PFi a PF2 ,且 Fl PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.21. (12 分)已知函数 f ( x)二(x _1)ln x _x_1 .证明：1 1) f(x)存在唯一的极值点；2 2) f (x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数(二)选考题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分.22 .选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中，O为极点，点 M (部0 ,80 )( Po > 0)在曲线C : P = 4sin旧上，直线i过点A(4,0)且与 OM
10、 垂直，垂足为 P.(1)当00 = ?时，求p0及i的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23 .选修4-5:不等式选讲(10分)已知 f ( x) ,| x a | x | x 2 | (x a).(1)当a =1时，求不等式f ( x) < 0的解集；(2)若x2(8,1)时，f (x) Y0 ,求a的取值范围.1 . C7. B13. 917.解:2. D3. A4. B5. A8. A9. D10. C6. D12. A14. 0.983兀15. .416. b 21)由已知得BC平面 ABB1A1, bA 平面 ABB1A1 ,故 B1
11、C1 BE又 BE，EC1,所以 BE,平面 EB1C1.-WORDB式一可编辑-(2)由(1)知/ BEBi=90.由题设知RtAABERtAAiBi E,所超QAEBAiEBi= 45 ,故 AE=AB=3 , AAi = 2 AE-6 .作EF BBi ,垂足为F,则 EF，平面 BBiCiC ,且 EF AB 3.1所以，四棱锥 E _BBiCiC的体积V=_x3 6 3- 18-.3i8.解：（i）设%n）的公比为q,由题设得2q2 =4q +i6 ,即 q2 - 2q - 8=0 .解得q二一 2 （舍去）或q=4.因此&n ,的通项公式为an24n彳=22n彳.（2 ）由
12、（i ）得b = （ 2n_ i ） l o g =2 n 2 因i此数歹U 的前n项和为 n2tni 3 小 2n i = n .i9.解：（i）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 i00个企业中产值增长率不低于40%的 i4企业频率为7 0.2i .i002 _广值负增长的企业频率为0.02 .i00用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为 2i% ,产值负增长的企业比例为2%.i（2）y（-0.i0 苏 2 0.i0 取24 + 0.30父 53 0.50* i4+0.70 / 7） =0.30 ,i00s2 i 5 yi y-2i00 i 丁-i （-
13、 0.40） 2 2 - （ -0.20） 2 24 02 53 0.20 2 i4 0.402 71i00=0.0296 ,s = J 0.0296 = 0.0214之 0.17 ,所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%, 17%.20.解：(1)连结PFi ,由 POF2为等边三角形可知在F1PF2中，&iPF2=90 'PF2 =c ,PF1 =3c ,于是 2a =| PF1 寸 PF2 =(返 1)c ,故C的离心率是e =二二而-1 .a(2 ) 由题意可知，x2 + y2 =c2,由及y2 =4记，故 b . 4 c21湎足条件的点P( x,
14、 y)存在当且仅当_ | y L 2c= 1 , 62y一y = 1 ,区+-y2 = 1,即 二 ，_ 22x c x ca bc|y| 16a2 = b2 +c2得y2 ;上，又由知c22由得 x2 O2( c2- b2 ),所以 c2 > b2 ,从而 a2 = b2 4 c2 2b2 =32,故 a之 4 2 . c当b胃，a 42时，存在满足条件的点P.所以b =4 , a的取值范围为4 J2, 0 ).如解：(1) f ( x)的定义域为(0, +* ).x =11f ( x)-In x 1= ln-x.因为y =ln x单调递增，y=单调递减，所以f( x)单调递增，又f
15、(1) =1 一 < 0 ,xf ' (2)=ln 2 -1 = ln 41 >0 ,故存在唯一 x0 三(1,2)，使得 f(x。产 0 .22又当xx。时，f(x)<0 , f (x)单调递减； 当x3x。时，f ( x)言0, f (x)单调递增.因此，f ( x)存在唯一的极值点(2)由(1)知 f x0 f (1) 2 (又If： e2 毛230(所庆 f ( x) 0在 x0 ,内存在唯一根X. .='/由 0tA X0> 1 得 1弋1 < X0.(X；J=仁一)_ _ =_口前=在 )又f卜1 1ln a 1 M 1谏)0 ,故我是
16、f ( x) 00,xo的唯一根综上，f ( x) =0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22.解：(1)因为 M 弋,时 2'1=时，0=4-3=' .由已知得 | OP | |OA | cos - - 2.3设Q( 7代为l上除P的任意一点.在RtA OPQ中P cosa一三J=| OP12 ,TT7T 1经检验，点P(2,上)在曲线IRcosjl©- 二2上. 33 r所以，l的极坐标方程为 ©cos阪i =2 .1 -13(2)设 P( PH)，在 RtZXOAP 中，| OP 尸 |OA | cos 劭=4cos",即巳=4cos 机t
17、 L Aft 皿心一E 快引因为P在线段OM上，且 AP±OM ,故阳的取值范围是 5 -1 .所以，P点轨迹的极坐标方程为4 4cos 8 , B er ,一© .-4 223.解：(1)当 a=1 时，f ( x)=| x I x+|x 2|(x 一 1).当 x 彳时，f (x) =-2( x 7)2 <0 ;当 x 耳时,f ( x) 0.所以，不等式 f (x) 0 的解集为 无,1).(2)因为f (a)=0，所以a之1 .当 a 1 , x (一 1)时，f ( x)=( a - x) x+(2 x)(x一 a)=2( a- x)(x- 1)<0 .所以，a的取值范围是 1,+m).