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1、高中数学精品同步习题一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式2会解与一元二次不等式有关的恒成立问题1一元二次不等式的解集：判别式b24ac>0x1<x20<0ax2bxc>0(a>0)x|x< x1或x>x2x|xR且xRax2bxc<0(a>0)x|x1<x<x2 2节分是不等式的同解变形法则：(1)>0f(x)·g(x)>0；(2)0；(3)a0.3处理不等式恒成立问题的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2bxc>0 (a0)恒成立；a
2、x2bxc0 (a0)恒成立.(2)一般地，若函数yf(x)，xD既存在最大值，也存在最小值，则：a>f(x)，xD恒成立a>f(x)max；a<f(x)，xD恒成立a<f(x)min.一、选择题1不等式>0的解集是()A(3,2)B(2，)C(，3)(2，)D(，2)(3，)答案C解析解不等式>0得，x>2或x<3.2不等式(x1)0的解集是()Ax|x>1 Bx|x1Cx|x1或x2 Dx|x2或x1答案C解析当x2时，00成立当x>2时，原不等式变为x10，即x1.不等式的解集为x|x1或x23不等式<2的解集为()Ax|
3、x2 BRC Dx|x<2或x>2答案A解析原不等式x22x2<2x22x2x24x4>0(x2)2>0，x2.不等式的解集为x|x24不等式2的解是()A3， B，3C，1)(1,3 D，1)(1,3答案D解析2x，1)(1,35设集合Ax|(x1)2<3x7，xR，则集合AZ中元素的个数是()A4 B5 C6 D7答案C解析解不等式(x1)2<3x7，然后求交集由(x1)2<3x7，得1<x<6，集合A为x|1<x<6，AZ的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素6对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值
4、恒大于零，则x的取值范围是()A1<x<3 Bx<1或x>3 C1<x<2 Dx<1或x>2答案B解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)>0恒成立且a1,1x<1或x>3.二、填空题7若关于x的不等式>0的解集为(，1)(4，)，则实数a_.答案4解析>0(x1)(xa)>0(x1)(x4)>0a4.8若不等式x22xa0恒成立，则实数a的取值范围是_答案a1解析44a0，a1.9若全集IR，f(x)、g(x)均为x的二次函数，Px|f(x)<0，Qx|g(x)0，则不等式组的解集可用P、
5、Q表示为_答案PIQ解析g(x)0的解集为Q，所以g(x)<0的解集为IQ，因此的解集为PIQ.10如果Ax|ax2ax1<0，则实数a的取值范围为_答案0a4解析a0时，A；当a0时，Aax2ax10恒成立0<a4，综上所述，实数a的取值范围为0a4.三、解答题11某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？解由题意可列不等式如下：·24 000·t%9 0003t5.所以t%
6、应控制在3%到5%范围内12关于x的不等式组的整数解的集合为2，求实数k的取值范围解由x2x2>0，可得x<1或x>2.的整数解的集合为2，方程2x2(2k5)x5k0的两根为k与，若k<，则不等式组的整数解的集合就不可能为2；若<k，则应有2<k3，3k<2.综上，所求的k的取值范围为3k<2.【能力提升】13已知x1、x2是方程x2(k2)xk23k50(kR)的两个实数根，则xx的最大值为()A18 B19 C. D不存在答案A解析由已知方程有两实数根得，0，即(k2)24(k23k5)0.解得4k，又xx(x1x2)22x1x2(k5)2
7、19，当k4时，xx有最大值，最大值为18.14已知不等式x2px1>2xp.(1)如果不等式当|p|2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2x4时恒成立，求p的取值范围解(1)不等式化为(x1)px22x1>0，令f(p)(x1)px22x1，则f(p)的图象是一条直线又|p|2，2p2，于是得：即即x>3或x<1.故x的取值范围是x>3或x<1.(2)不等式可化为(x1)p>x22x1，2x4，x1>0.p>1x.由于不等式当2x4时恒成立，p>(1x)max.而2x4，(1x)max1，于是p>1.故p的取值范围是p>1.1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解若不等式含有等号时，分母不为零2对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立a<f(x)min.