《第四讲n元线性方程组求解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲n元线性方程组求解.doc（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四讲 n元线性方程组求解上一讲我们介绍了当 n元一次线性方程组的系数矩阵A可逆时，可求出方程组解1X二Ab，实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A不可逆或A不是方阵时,19该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等n元一次线性方程组是指形如aii X1a 12 X2 +* a*i n x n = ba2lXi +a22X2 + +a2nXn =b2彳(4.1)IamiXi - am2X- amnXn =bm令a11a12IIIa1nA =a21a22IIIa2n，X =X2，b =b2I
2、II川IIIIII+<_am1am2IIIamn丿<XnJlbm丿则方程组的矩阵方程形式 AX -b.其中：A称为方程组（4.1）的系数矩阵，AP.A b称为方程组（4.1）的增广矩阵。当b = 0时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组；当b =0时，称（4.2 ）式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX = 0 .a11 X1 ' a12X2丨 11a1nXn = 0(4.2)a21 X1 ' a22X2 丨1丨'a2nXn = 0iiiiHHiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiin丄 am1X1'am2X2 JU amnXn
3、=0显然X =0是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一 解（零解）和无穷多解（非零解）。把非齐次线性方程组 （4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换 得到的.那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们 就给出理论证明.定理4.1若将非齐次线性方程组AX二b的增广矩阵A二A b用初等行变换化为U V，则方程组AX =b与UX =V是同解方程组。证由第二
4、讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵A b用初等行变换化为U V时，一定存在初等矩阵 R,P2,Pk，使得PkPk|p（A； b）=（U V）成立记PkPkP = P，由初等矩阵的可逆性知 P可逆。若设X1为AX=b的解，即AXi =b，两边同时左乘矩阵 P，有PAXi 二 Pb= （PA）Xi 二 Pb= UXi =V于是X1是方程组UX二V的解。反之，若 X2为UX二V的解，即UX2 二V 二 PUX2 二 PAV= （PU）X2 二 PV 二 AX2 二 bX2亦为AX -b的解。综上所述， AX =b与UX =V所表示的是同解方程组.定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的
5、思路，具体方法如下：将方程组的增广矩阵 A二A b实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法称为 高斯消元法。aiia21til©mi先写出方程组（4.1）的增广矩阵 A，然后利用初等行变换将A化为行最简形。%川ambia22川a2nb2III III HIam2" Iamnbmm nA的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设A的行最简形中构成的单位阵正好在左上角）。1 0 0 川a11a12HI4 nb1、(1)a21a22IIIa2nb2行变换IIIIIIinH
6、I0m1am2ina mnbmo10III+p+*+i.+I+000川00川0 q0 C2(4.3)<0 0 川004+00 .my(n)注意到A的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数其对应的方程组如下XiX2III HI二 C2IIIXn 二 cnCi此时原方程组的唯一解已经得到:C2ana12IIIa1nb1 '(2)a21a22IIIa2nb2行变换IIIIIIinHI<am1am2inamnbmm>nq00ih0d1(r +)d2(rH2)ind1(Hn)C10+1+0+ih0d2(r +)+Fd(r 七)rrd2( Hn)rC2+0+0+0hi1+bdr
7、(H1)t-rdr(r 七)Hlrdr(r 4n)c0+0F0Ffa ihi000in0+0+<0b0b1ii000+0m (n -1)注意到A的行最简形中不为零的行数为件4)(r<n)小于变量个数n.对应的方程组如下Xi+(宀)X" +3(七)人七 +Hi+bnXn =Cib2(r 1)Xr 1b2(r 2)X2 2b2nX - C2III III HIXr * br(r 十)X十十 Q (r 七)人七卄| + bm X* = GX2此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为如果把后面n -r个变量xr 1 , xr 2 ,Hlxn赋予数值后，前
8、面r个变量 ,x2 ,|xr的值就被唯一确定,从而得到方程组解为必,|区,Xr i ,Xr 2，川 X.)厲1a12川a1na21a22IIIa2nIIIIIIin.am1am2inamn(3)bi b2IIIIIICiC2HI行变换 、IIIIIICk+i(4.5)0 m (n -1)注意到A的行最简形中不为零的行数是k+1,但第k+1行中只有q i = 0，其余元素全为零。这就是说 A的行最简形对应的方程组中最后一个方程是“。二“ ”（ ck0 ）,这显然是一个矛盾方程，因而原方程组无解。根据上面讨论的方程组（4.1）解的3种情况，先给出非齐次方程组的相关定义定理后 再详细讨论（4.1）的
9、解。定义4.1如果一个n元线性方程组它存在解，则称方程组是相容的，否则就称方程组 是不相容组或矛盾方程组。比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程组都是相容方程组，而（4.5）所表示的方程组是不相容方程组。定义4.2 n元线性方程组经过化简后，方程组中被保留的方程称为有效方程，消去的 方程称为多余方程比如（4.3）式的有效方程个数正好有n个（相容的有效方程组）；（4.4）式的有效方程个数有r个，多余方程个数有 n - r个（相容的有效方程组）.（4.5）式有效方程有r 1个, 多余方程n - r -1个（不相容的有效方程组）.定理4.2（1）方程组（4.1）有唯一解的充要条件是，有效方程的个
10、数等于变量个数；（2）方程组（4.1）有无穷多解的充要条件是，有效方程的个数小于变量个数；（3）方程组（4.1）无解的从要条件是，存在着矛盾的有效方程。证明（略）定理4.2更加明确了利用高斯消元法如何判断非齐次方程组的解的情况捲x2 + x3 - x4 = 0例4.1求解线性方程组 彳2捲 _x2 +3x3 _2x4 =_13xi - 2x - X3 ' 2X4 = 4(1-11-10、1-11-10、212-13-2-130110-1<3-2-124丿<01-454丿广1-11-10、1甘广1-1 1-10£0110-1501 10-1?1°0-555
11、丿1°0 1-1-1LA =解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形(1-1001、(10011401010r1 十2 丁010101°01-1j1°01-1一1丿XiX2这时行最简形所对应的方程组为X4X4注意到方程组的有效方程个数为X3X4-1小于方程变量个数所以原方程有无穷多解，求解方法如下:先将x4移到等号右端得Xi = 1 - X4X2 =0 -X4，称X1 , X2 ,X3是方程组的 保留变量，称X4是方X3 = -1 X4程组的自由变量（可任意取值）。x4再令X4取任意常数k R，则得x2 = 0 - k x3 = T + k(4.6)或写成、
12、x4 = k(4.7)称k为方程组的自由未知数 或自由元，（4.6）式称为方程组的通解或一般解；（4.7）称为方程组的向量解* x2 +2x3 =13x<i + x2 + 2x3 = 3例4.2求线性方程组的解123捲-2x2 + x3 = -1 2禺-2x2 -3x3 - -5解将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形n-12r广1-1 2r3123<4-21104401-21-10-1-1-2<2-2-3一51°0-7-7A 二<1 二4r2 f4<3 -2<4广1-121、广101101-10<1十201-1001120022卫01b
13、<001100 0(100°)0101010114r2 ()3(-"A一：从增广矩阵行的最简形可看出,方程组有效方程数是3,方程组的第4个方程是多余方程，但由于方程组变量的个数是也是3,所以原方程组有唯一解：捲=0X2 二 1X3 =1本例说明当方程组中方程的个数多于变量个数时，方程组一定有多余方程例4.3求解线性方程组d _2x2 +3x3 +2x4 = 13x1 - X2 5x3 - X4 - -12x1 x2 2x3 - 3x4 二 3解将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形Z1-232*1-232rL<2亠1A =3 -15_1_113 2<1
14、05一4_7_4<212_33<05一4_71d-2321、05-4-7-40005丿-2x2+ 3x3 + 2x4 = 1行阶梯形所对应的方程组是-5 X2 4x3 -7x4 = V，虽说方程组有效方程有 3个,0 x4 =5但最后一个方程是矛盾方程，故原方程组无解|kx1 x2 x3 = 5 例 4.4 设方程组3x1 2x2 kx3=18-5kx2 2x3 = 2问：k取何值时方程组有唯一解 ？无穷多解？无解？在有无穷多解时求出通解。解 先将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形，然后再利用定理 4.2的结论来判断方程组解的所有可能情形：30k 4012004k-Ik2 -
15、1I335k2314 -5k2143zk115、r一2 r一0-13A =32k18 -5k，23 J30k4145ke122 >1°12241 2 .5 21400k一k - -1-k -k 3333330k -414 -5k0122ik -'43214 -5k3(4.8)24kk233(1)当k =1且k = 3时，4k -丄疋-1 =0，此时方程组的有效方程个数与变量个数相33等，故原方程组有唯一解;5214（2）当 k =1 时，一k k 3 = 0， 33于变量个数，故方程组有无穷多解。将41 2k - k -仁0，此时有效方程个数是 2,小33=1代入（4.
16、8），得到增广矩阵的行最简形其对应的方程组(1f X1 - X3 = 3J X2 2X3 - 2再将X3做为自由变量移到等号右边，并令X3=C（c乏R），得原方程通解或向量解X"3 cx2 = 2 - 2cX1x2 | = | 2 |+c<xJI0.'-2-1-1（3）当k = 3时，增广矩阵的行最简形，出现矛盾的有效方程，故X =(0,0,0)T。除此之原方程组无解显然，齐次线性方程组总是相容的，因为它至少有一个零解 外它可能还存在非零解.定理4.3（1） 齐次线性方程组（4.2）有无穷多解的充要条件是，方程组有效方程的个数小于变 量个数，且自由变量的个数等于变量总数
17、减去有效方程的个数（2） 齐次线性方程组（4.2）只有零解的充要条件是，方程组有效方程的个数等于变量个 数证明（略）例4.5求下列齐次线性方程组的解解由于齐次线性方程组的增广矩阵的最后一列都是零,所以其增广矩阵行的最简形与系数矩阵行的最简形是一致的。这就是说，求解齐次线性方程只要对系数矩阵实施行变换即可。X1-3x2+X3-2X4=二 05x j 1+x2-2x3+3X4=二 0_X1-11x2+2X35x4二 03X!+5x2+x4=01402120注意到方程组的有效方程数是X2143X3142，变量个数是1工X44X44,所以该方程有4 - 2二2个自由变量,广1-31-2、2 书1广1&
18、#163;1-2、-51-23r3 +10-143-7-1-112-5J0-143-7< 350b<014-37-31-21-31一2> JA 二310-14301114 r2143140<0行最简形对应的方程组5. 1X1X3 X414-3X2X314可令X3/X4为自由变量，并将其移到方程的右边，得1 ，再令X3二匕，二k?，（k1, k2为任意常数）X42则原方程组的通解或向量解X2X3Xi 二X2X3X45ki 1k222k2143 ki14 ti(5、(i)I423i+ k2I42i0< 0丿< 4丿o=t21.4.3学生自主学习内容本讲的主要内容
19、就是：希望同学们会熟练利用矩阵的初等行变换，来判断齐次与非齐次线性方程组解的情况， 并求出方程组解。由于求解过程不需要更深的理论支撑，所以只要 能按要求把增广矩阵化为行最简形即可。针对本讲例题，特提出下面问题请同学思考与解答。（1）求解方程组能否用列变换?（2）请观察例（4.1）：为什么要令X4为自由变量？让 Xi ,X2花中的一个作为自由变量是否也可以，比如 X3 ?当非齐次方程组有无数解时，保留变量和自由变量是如何确定的？（3）请观察例（4.2）：当方程组有多余方程时，如何找出多余方程？本例中如果把第 三个方程作为有效方程，那么方程组中前三个方程哪一个是多余的方程？（4）请观察例（4.3）当非齐次方程组无解时，其导出组是否也无非零解？（5）请观察例（4.4）：当方程组中变量前的系数有未知参数时，最好把方程组的增广 矩阵利用初等行变换化到什么形式，才开始讨论系数取值的情况？2 Xi X2 - X3 X4 = i（6） 用相同的初等行变换求非齐次方程组3xi - 2X2 X3 -3X4 = 4及其导出组Xi 4x2 - 3X3 5x4 - -22Xi X2 _ X3 X4 = 03xi - 2x2 - X3 - 3X4 =0的通解，请观察非齐次方程组通解与其导出组通解之间的关系x-i 4x2 -3x3 5x4 =0是什么?