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1、完美WORD格式编辑学习指导参考资料直线与圆锥曲线的位置关系练习题、选择题2x1双曲线CI与双曲线2y孑一2= 1( a>0, b> 0)的右焦点为C的左、右两支都相交的充要条件是b亠C. k >_或 kv abA k>一二 B . kva2 .若直线mx ny=4与O O的交点个数是(A.至多为13.斜率为1的直线F，直线x2 + y2= 4没有交点，则过点过焦点F,且斜率为k,则直线P(m n)的直线与椭圆2 2x y+ = 194A. 2)B.2x 2与椭圆二+ y = 1相交于A4B舞C. 1D.B两点，则|AB的最大值为(2 24.设双曲线右一y2= 曲线的离
2、心率为()5a41(a> 0,B. 55.已知A B为抛物线C：b > 0)的一条渐近线与抛物线y = x2+ 1只有一个公共点，则双D. 54X上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点，若FA=-4FB,则直线AB的斜率为A ± 2A±36.过点(0,2)与抛物线B.)33±c.± 248x只有一个公共点的直线有C)A.1条 B. 2条 C. 3条 D.无数条2 2x yy = kx k + 1与椭圆t= 1的位置关系为(94相交 B.相切 C.相离 D.不确定2 2x y7.直线A.8. 已知双曲线-2= 1(a>0,b>0)的右
3、焦点为F,若过点a b的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. (1,2)9. 过抛物线的面积为A腔A 2F且倾斜角为60°的直线与双曲线10.已知对B. y2= 4x (C )B.2k R,A. (0, 1)(1,2C. 2 ,+s) D.的焦点F的直线交抛物线于D.2 2(A )(2 , +m)A B两点，点O是原点，若|AF| = 3,则厶AOB2直线y kx 1 = 0与椭圆* + m= 1恒有公共点，则实数 m的取值范围是B . (0,5) C . 1,5) U (5 ,+s) D .1,5)x I x|4=1交点的个数为211. 直线I : y= x+ 3与曲线
4、y9 A. 0B. 1C. 2D. 312.已知双曲线x ya2 b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A. (1,2) B . ( 1,2) C . (2 ,+) D . 2 ,+口2x 213. 斜率为1的直线I与椭圆-+ y = 1交于不同两点 A、B,则| AB|的最大值为()A. 2 B孚c学D.啤5552 214. 设离心率为 e的双曲线C：移一蒼=1( a> 0, b> 0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且 斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都
5、相交的充要条件是()A. k2 e2> 1 B . k2 e2v 1 C . e2 k2> 1 D . e2 k2v 1二、填空题2 21. 直线y= kx + 1与椭圆-5 +鲁=1恒有公共点，贝U m的取值范围是 .2 2x y2. 已知(4 , 2)是直线I被椭圆36+ 9 = 1所截得的线段的中点，贝UI的方程是 .3. (2013 汕头模拟)已知点P在直线x+ y + 5= 0上，点Q在抛物线y2= 2x上，则| PQ的最小值等于.2 2x y4. 若椭圆+ m= 1与直线x+ 2y 2= 0有两个不同的交点，则m的取值范围是3 III5. 已知两定点 M( 2,0)，N
6、(2,0)，若直线上存在点 P，使得|PM| |PN| = 2，则称该直线为 “A型直线”，给出下列直线：y= x + 1;y= . 3x + 2:y= x + 3:y= 2x.其中是“ A型直线”的序号是.三、解答题21. 设F1，F2分别是椭圆E x2+古=1(0< b<1)的左，右焦点，过 F1的直线I与E相交于A，B两点，且|A冋，|AB，|B冋成等差数列.(1) 求 IAB ;(2) 若直线|的斜率为1,求b的值.2. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上， ABC勺三个顶点都在抛物线上，且 ABC勺重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x + y 20=
7、 0.(1) 求抛物线C的方程；(2) 若O是坐标原点，P, Q是抛物线 C上的两动点，且满足 PCLOQ证明：直线 PQ过 定点.2 2x y3. 设椭圆孑+合=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A, B,点P在椭圆上且异于 A, B两点，C为坐标原点.1(1) 若直线AP与BP的斜率之积为2，求椭圆的离心率;(2) 若|AP =|OA，证明直线 OP的斜率k满足|k|>3.4. 已知i , j是x, y轴正方向的单位向量，设a= xi + (y 1)j , b= xi + (y+ 1)j ,且满足 | a| + | b| = 2 2.(1) 求点P(x，y)的轨迹C的方程
8、；(2) 设点F(0,1)，点A, B, C, D在曲线C上，若AF与FB共线，CF与 FD共线，f f且AF- CF= 0.求四边形ACBD勺面积的最小值和最大值.直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案一、选择题1.解析】bb由双曲线的几何意义，一kv-.答案】aaD2.解析】4由题意知：_2 > 2,即./ m + n v 2,寸m+ n甲22点P(mn)在椭圆着+鲁=1的内部，因此直线与椭圆有2个交点.答案】-2 ,2 ,x + 4y = 4, 由消去y=x+1.y，得 5x* 2 * 4 + 8tx + 4(t2 - 1) = 0,则有8xi + x2 一 5t，X1X2 =3
9、.【解析】设椭圆与直线相交于 A(xi, yi) , 0X2, y2)两点,2-4X 4(I 1)的一条渐近线为戸bx,设 A(X1, yd ,8、解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即ba<tan 60°= 3所以双曲线的离心率e=a=9、解析：设/ AFx=0 (0< 0<2<2,1 + an )及 |BF| = m即1 v ev 2，故选A得 3 = 2+ 3 cos 0 ? cos 0 =13.又 n= 2+ mcos( n 0) ? m=3则点A到准线I : x = 1的距离为3,一232，1 + cos 0 AOB的面积为 S= 1 - |OF|
10、 - |AB| sin 0=卜 1X (3 + |) x 晋=学，故选 C.2 2一一"一 x y = 1外部即可.m10.解析：直线y = kx + 1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆-+2 2x y 从而m> 1,又因为椭圆= 15 m中m5,所以m的取值范围是1,5) U (5 ,+).答案：C211.解析：当x>0时，曲线为y9曲线为222y+4=1，如图所示,直线I : y = x+ 3过(0,3)，又由于双曲线的渐近线y=|x的斜率| > 1,故直2 2y x线I与曲线2丁= 1(x>0)有两个交点，显然94l与半椭圆2 2y x，卄人亠一
11、+ = 1( xw 0)有两个父点,94(0,3)记了两次，所以共 3个交点.答案：D12. 解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的 倾斜角应不小于I的倾斜角，已知I的倾斜角是60°,从而-> 3，故- >2.答案：Da 、 a13. 答案：C-14. 解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足一-< kv-,aa2 2 2即 k2v = C 2a = e2 1.答案：Ca a二、填空题m> 0,1【解析】直线y = kx +1过定点(0 , 1)，由题意知*仆5,m> 1，且m5.,m 1,【答案
12、】m> 1, 且 m52 2-X1 y1 + = 136+ 9,22X2 y2.36 + 9,屮一y2，又 X1 + X2= 8, y1 + y2= 4,二X1 X2,“ y1 y2X1 + X2两式相减得=一X1 X24 (y1+ y2)1故直线I的方程为y 2= 2(x4)，即x+ 2y 8 = 0.12,【答案】x + 2y 8 = 03. 【解析】 设直线l '平行于直线x+ y+ 5= 0，且与抛物线相切，设l '： y = x +y= x + m 21由 2得 y + 2y 2n= 0,由 A = 4+ 8m= 0，得 m=石.y = 2x21|5 2则两直线
13、距离 d=-2 2x.+y_=13 + m= 14解析：由$.x+ 2y 2= 0m3根据条件得im>02 = 64m 4m字，即|PQmin = 学.【答案】字4442消去x并整理得(3 + 4m)y 8my+ m= 0,1，解得-<m<3或 m>3.饰+3 >025解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x2 y3 = 1右支的交点情况，作图易知直线与双曲线右支有交点，故填.三、解答题1 解:(1)由椭圆定义知 | AF2| + |AB + | BF2| = 4,又 2| AB = | AF2| + |BF2|，得 |AB = 3.I的方程为y= x+ c,其中c=
14、 . 1 b2.设A(xi, yi) , B(X2, y2)，贝U A, B两点坐标满足方程组fy=x+c,2红1b22 22一 2c化简得(1 + b)x+ 2cx + 1-2b = 0.则 Z X2=1 2b22, X1X2=.因为直线AB的斜率为1,所以| AEB = 2| x2 X1|，即彳=,2| % X1|.4 1 b 2 4 1 2b28 2则9=(X1+X2) 4X1X2=ub2 2一1 + b22【解析】 设直线I与椭圆相交于 A B两点，且A(X1, yd , B(X2, y",则2解： 设抛物线C的方程为y2= 2mx由+20 °，|y = 2 m：得
15、 2y2+ my- 20m= 0.A >0,二 n>0 或 nr 160.设 B(xi, yi) , C(x2, y2),小m则 yi+ y2= 2,再设A(x3, y3)，由于 ABC的重心为iim厂 xi + X2 + x3m3= 2,X3= i0,yi + y2 + y33解得=o,m点A在抛物线上, m= 8,抛物线C的方程为y2 = i6x. 证明：当PQ的斜率存在时，设 PQ的方程为y= kx + b,显然k丰0,0,v POLOQ kpckoG= 1,设 P(xp, yp) , Qxq, y® , xpxq+ ypy(= 0.将直线y = kx + b代入抛
16、物线方程，得ky2 i6y+ i6b= 0, ypyQ=学.从而2 2 . 2ypyQ bXpXQ=2 = 2i6 ki6bk=0. &0, 0.直线PQ的方程为y= kx i6k, PQ过点(i6,0);当PQ的斜率不存在时，显然 PGL x轴，又PCL OQPOG为等腰三角形由y= |x|, y2= i6x,得P(i6,i6) , Qi6 , i6)，此时直线 PQ过点(i6,0)，直线 PQ恒过定点(i6,0)2 23.解： 设点P的坐标为(X。，y0).由题意，有x2 +書=i.a b由 AA a, 0) , Qa, 0)得 kAp= xa, kBP= X0ai由 kAP- k
17、BP= 2,可得 x0= a 2y0，代入并整理得(a? 2b)y0= 0.由于yoM0,故 a2= 2b2.于是 e2=2 2a b2 a2,所以椭圆的离心率(2)证明：依题意，直线OP的方程为y = kx,设点P的坐标为(x°, y°).y。= kx0,由条件得x0 y0a+b2 =.、2a2b2消去y°并整理得X0 | 2 22.k a + b2 . 2 2 2 2 2 2由 | Ap = | OA , A a, 0)及 y°= kx°,得(x°+ a) + k x°= a .整理得(i + k )X0+ 2ax
18、76;= 0.而xoM 0,于是xo= 占?代入，整理得(1 + k1 故四边形 ABC两积S= 2|AB| cd = 2X) 2= 4k2专)+ 4.由 a>b>0,故(1 + k2) 2>4k2 + 4，即 k2 + 1>4,因此k2>3,所以| k|>3.4. 解析： T|a| + | b| = 2 2 , x2+ y12+x2+y+12= 22.由椭圆的定义可知，动点F(x, y)的轨迹是以点Fi(0， 1) , F2(0,1)为焦点，以2 2为22 y长轴的椭圆.点Rx, y)的轨迹C的方程为：x + 2 = 1.(2)由条件知AB和CD是椭圆的两
19、条弦，相交于焦点 F(0,1)，且ABL CD直线AB CD 中至少有一条存在斜率，不妨设 AB的斜率为k，又AB过点F(0,1)，故AB的方程为y= kx + 1,将此式代入椭圆方程得(2 + k2)x2 + 2kx 1 = 0,设A B两点的坐标分别为(灯，y" ,(X2,y2),X1 =k .'2k + 22 + k2X2 =k+ :'2k + 22+ k2从而 | AB = (x1 X2) + (y1 y2)2=耳+匸，亦即|AB = 2述 Z F+ k2 + k21当k0时，CD的斜率为一忆,+同上可推得|CD =2 +(1"k12 , .kJ2+
20、 k21+k21 2 2 2+k25+2k + k2令 u=k + k2，得 s= j+u1 、5 + 2u .- u= k2 + 卜2,当 k=±1 时ku= 2, S=普，且S是以u为自变量的增函数,16 &三 S< 2.当k= 0时，CD为椭圆长轴,|CD = 2 .2, |AB = 2, S= *|AB| CD = 2.故四边形ABC爾积的最小值和最大值分别为,2.5. 【解】(1)设直线I的方程为y= kx + t(k> 0).由题意知t > 0.y= kx+1,由方程组 x22得(3 k2 + 1)x2+ 6ktx + 3t2 3 = 0.由题意
21、知 A >0，所以 3k2 + 1 >J+y=1,t2.6 kt设 A(X1, y” , B(X2, y2)，由根与系数的关系，得X1 + X2 = 3+,2t3ktt所以yi+y2=录肓.所以XE=- 3k，yE=录R，y 1此时山矿-示所以ob所在直线的方程为y 一 3kx.i由题意知D( 3, m)在直线OE上，所以m-,即mk= 1,K所以m2+ K2> 2mK= 2,当且仅当m K = 1时等号成立.此时由 A >0,得0 vt v 2. _ 2 2因此当mi= K = 1且0v t v 2时，m + k取最小值2.1 证明 由(1)知OD所在直线的方程为y
22、= 3x，将其代入椭圆C的方程，并由K> 0,3k1解得G U3K+T，而韦).又旦3Kt3K2 + 1,由距离公式及f 23K 2t > 0，得问=(时)+(t13K+) , D 3, K)212= 9k”+ 13K2+ 1)= 3疋 + 1,IOD = 寸(3) 2 +(亦 2 =79：+ 1,/3Kt 2 t 2 U/9K2 +1|OE = .、(3k2 + 1)+( 3K2+ 1)=K+T.由| OG2= | OD OE，得t = K.因此直线I的方程为y = K(x + 1).所以直线I恒过定点(一1, 0).2x 25. (2013 佛山质检)在平面直角坐标系 xOy中
23、，已知椭圆C：； + y = 1.如图8 9 3所示， 斜率为k(k>0)且不过原点的直线I交椭圆C于代B两点，线段 AB的中点为E,射线OE 父椭圆C于点G,父直线x = 3于点D( 3, m).(1) 求m2 + k2的最小值；2(2) 若IOG = I OD 丨OE，求证：直线l过定点.|A耳=1 + k2|xi-x2| = 2 (- |t)4航 当t = 0时，|AEfmax=.【答案】C52 24.解析】 双曲线xp= 1by=-x,2 bb 2b由方程组$a 消去y得，x - -x + 1 = 0有唯一解，所以 A = (a) 4= 0, a= 2,2 a a a,y= x + 1e= 9=7+ b =、/1 +(b) 2 =萌.答案】Da a* a 丫5.解析】焦点F(1 , 0)，直线AB的斜率必存在，且不为 0.故可设直线 AB的方程为y= k(x-1)( k丰0)，代入y2= 4x中化简得ky2- 4y- 4k= 0.4B(x2, y2)，贝U y1 + y2=， yy2= 4,kf4又由FA= 4FB可得y1 = - 4y2,联立式解得 k =± 3.答案】D36、解析：易知y轴与抛物线切于原点满足条件；直线y = 2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形， 易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有 3条.选C7.选A