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1、题组层级快练（三十二）1.已知向量a, b和实数 入下列选项中错误的是（）A. |a |=寸 a aB. |ab|=|a|b|C. Xa b）=尬 bD. |a b|< |a|b|答案 B解析|a b|= |a|b|cosB|,故 B 错误.2 已知向量a与b的夹角为n，|a|=羽，则a在b方向上的投影为（）A. ,3B. ,2C.答案 C解析a在b方向上的投影为|a| cos a, b=.选 C.3. (2014 山东文)已知向量 a= (1 ,3), b= (3, m). 若向量a, b的夹角为n,则实数m=( )A. 2 3B. 3C. 0D. . 3答案 B1 x 3 + f3m
2、l l I 2解析 根据平面向量的夹角公式可得 ;= 2，即3+ _3m=，3x '9 + m ,两边2 xJ 9 + m2平方并化简得 6 3m= 18,解得m= , 3,经检验符合题意.4. (2014 重庆理)已知向量 a= (k,3), b= (1,4), c= (2,1),且(2a 3b)丄c,则实数 k=()A . 2B. 015C. 3DQ答案 C解析 因为 2a 3b= (2k 3, 6), (2a 3b)丄c,所以(2a 3b) c= 2(2k 3) 6= 0,解得 k= 3，选 C.5 .若 |a|= 2, |b|= 3, a与 b 的夹角 0= 150。，则 a
3、(a b)=()A. 1B. 1C. 7D. - 7答案 C解析a a- b) = a2 - a b= 4 2 x-.；3x ( ¥)= 7.故选 C.36.若向量a, b满足|a|= |b|= 1, (a+ b) b= 2，则向量a, b的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案 C3解析'(a+ b) b= b2+ a b= 1 + a b= 2,1 1'a b= |a|b|cosa, b>= 2， cosa, b>= 2，a, b>= 60°.故选 C.A. ,5B. 2,
4、5C. 5D. 25答案C解析由 a = (1,2)，可得 a2=|a|2= 12+ 22= 5.7 .已知向量 a= (1,2), a b= 5, |a b|= 2 5，则 |b|等于()|a b|= 2 ,5,/a2 2a b+ b2= 20.5 2 x 5 + b2 = 20./b2= 25./|b|= 5，故选 C.0,有下列四个命题：（）P1：|a+ b|>1?0，2 nP ；P2：|a+ b|>1?(2n1 3，n；P3：|a b|>1?0，nn；P4：|a b|>1?(n(3，n.其中的真命题是()A.P1，P4C.P2， p3答案 A8 .已知a与b均为
5、单位向量，其夹角为B. P1, P3D . P2, P4解析 |a+ b|>1 ? (a + b)2>1,而(a + b)2= a2+ 2a b+ b2= 2+ 2cos 0>1,cos0> 2，解得 00, #，同理，由 |a b|>1? (a b)2>1，可得9 .已知向量a, b是非零向量，且满足 a b= |b|,则"a= 1”是"向量a与b反向”的( )B 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A .充分不必要条件C.充要条件答案 C解析 '-a b= abcos a, b>= b,Jacosa, b>= 1
6、.若a= 1，贝U cos a, b>= 1 ,Ja, b> = n, -'a 与 b 反向.若 a 与 b 反向，则 cos < a, b>= 1, a= 1.10.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是A. P1P2 P1P3f fC.P1P2 P1P5答案 Af fB.P1P2 P1P4f fD.P1P2 P1P6解析f f由于P1P21P1P5，故其数量积是0,可排除C； P：与p1p6的夹角为3 n故其数量积小于0,可排除D;设正六边形的边长是a,则P1P2 P1P3= P1P2p1P3cos30 =；a2, P1
7、P2 P1P4=f f2P1P2P1P4cos60 =a .故选 A.11. (2014 陕西文)设 0< 赤才，向量 a= (sin2 0, cos®, b= (1, cosB),若 a b= 0，则 tan B答案2解析利用向量的数量积列出关于&的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关 系式变形求解.I 2 2 因为 a b= 0,所以 sin2 0 cos 0= 0,2sin Ocos 0= cos 0.n1因为 0< 0<2，所以 cos 00,得 2sin 0= cos0, tan 0= ?.12. 若向量 OA = (1 , - 3), |
8、OA|=|OB|, OA OB = 0,则 |AB|=.答案 2 5解析 方法一：设 OB = (x, y)，由 |OA|=|OB|,知 iX2+ y2= 10.又OA OB= x- 3y= 0,所ff以 x = 3, y = 1，或 x= 3, y= 1.当 x= 3, y= 1 时，|AB| = 2 5;当 x= 3, y= 1 时，|AB|= 2 ,5，则 |AB|= 2 ,5.ff ff方法二：由几何意义知，|AB|就是以OA, OB为邻边的正方形的对角线长，所以|AB|= 2,5.f fff13. (2015济南模拟)已知在 ABC中，向量AB与BC的夹角为n |AC|= 2，则|A
9、B|的取值范围是.答案(0,2)解析 由向量AB与BC的夹角为n可得B=宁.在AABC中，由正弦定理，可知今 =烂!,66sinB sinC所以AB|= IACnSnC=犁4sinC.因为B=卸 所以C(0,，所以sinC q0,，因此|AB| sin才的取值范围为(0,2).14. (2014新课标全国I理)已知A, B, C为圆O上的三点，若AO = ?(AB+ AC),则AB与AC的夹角为.答案 90°f 1 f f解析 '-AO = 2(AB+ AC),点O是ABC中边BC的中点.BC为直径，根据圆的几何性质有ffAB, AC>= 90°.15. (2
10、013江西理)设e1, e2为单位向量，且 & , e?的夹角为扌，若a = &+ 3血，b= 2& ,则向量a在b方向上的投影为答案52解析向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos a, b> =又 ab=(e1+ 3e2)2e1=2e-i+ 6e 1e2|b|15=2+ 6x 2= 5, |b|=|2&|= 2,/-|a| s < a, b= q.16. 若平面向量a, b满足|2a b|< 3,贝U a b的最小值是 .答案一98解析 由|2a b|w 3 可知，4a2+ b2 4a bw9,所以4a2 +b2< 9+ 4ab
11、.而4a2 + b2= |2a|2+29|b|2>2|2a| |b|> 4a b,所以a b> ® 当且仅当2a = b时取等号.17 .已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE CB的值为 ；t tDE DC的最大值为.答案 1,1解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示.则D(0,0) ,A(1,0) ,B(1,1) ,C(0,1).设t tt tt tE(1, a)(0w aw 1)，所以 DE CB= (1, a) (1,0) = 1, DE DC = (1, a) (0,1) = aw 1故DE DC 的最 大值为1.18.
12、设两个向量 e1, e2满足|e11= 2, |e2|= 1, e1与 e的夹角为 3 右向量 2te1 + 7s与® + 3te2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.答案(-7,-于)U (尝-1)2te1 + 7e2 e1 +1 e2解析 由向量2te1 + 7e2与e1 +1e2的夹角为钝角，得<0,|2te1 + 7 e2|e1 +1 e2|即(2te1 + 7e2)(e1 + te2)<0,化简即得2t2+ 15t+ 7<0,1解得一7<t< 当夹角为 n时，也有(2tc + 7eQ (®+1e2)<0,但此时夹角不是钝角.设
13、2te1 + 7e2= X& + te2), ?<0,2t =人可求得 7 =入，入=一 14 ,14所求实数t的范围是11).19. (2015浙江余杭高中期中)已知向量3m= (1,1)，向量n与向量 m的夹角为n,且m-n=-1.(1)求向量n;一一n若向量n与向量q= (1,0)的夹角为2,2A向量 p= (2sinA,4cos"2)，求 |2n + p|的值.答案(1)n= (- 1,0)或 n= (0, - 1) (2)2解析 设n = (x, y),由mn= 1,有x+ y=- 13x= 1 ,由得y= 0'm-n= |m| |n|cos4 n=-
14、 1,x= 0,或即 n = (1,0)或 n = (0, - 1).y=- 1.由n与q垂直，得n = (0, - 1).2n+ p= (2si nAcos2? 2) = (2s in A,2cosA).-|2n + p|=4si n2A+ 4cos2A= 2.1 .若l2面向量a,B满足| a|= 1 , |1,且以向量a , B为邻边的平行四边形的面积为12,则a与B的夹角B的取值范围是答案【n 5n111n 5 n解析 由题意，得aiBsinB= 2,“a= 1, |B|< 1,sinB=祈？.又"0,% 旳6，石.故.n 5 n填6, 7.2 .在正三角形 ABC中，
15、D是BC上的点，若 AB= 3, BD = 1 则AB CD = 答案15解析f f f f f1515如图所示，AB AD = AB (AB+ BD)= 9+ 3 X cos120 =，故填 y.ff3. （2013福建）在四边形ABCD中，AC= （1,2）, BD = （ 4,2）,则该四边形的面积为（）A. .5C. 5答案 CB. 2 5D. 10解析f ff fAC BD = (1,2) ( 4,2) = 0，故 ACJBD.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积=2IAC| |BD|=-,5X 2 5 = 5,选 C.4. (2014大纲全国理)若向量a,b满足：|a|= 1,(a +b)丄a,(2a + b)丄b,则|b|=(A. 2C. 1B. 2D.答案 B解析利用向量的运算列式求解.ia+ b a= 0,a + b a= 0，由题意知'即丫2l2a + b )b= 0,12a b+ b = 0,将 X 2 ，得 2a2 b2= 0./b2= |b|2= 2a2= 2|a|2= 2,故 |b|= . 2.1 15. （2015海淀区期末）设向量a= （1,0）, b= © 2，则下列结论中正确的是（）A . |a|= |b|ab=C. a II bD. a b与b垂直答案 D