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1、初高中常用数学公式一代数1绝对值与不等式a, a0绝对值定义： | a |a, a0a2| a | ， | a | | a | a |a| a | 若 | a |b ( b 0) ，则 b a b 若 | a |b ( b 0) ，则 ab 或 ab（三角不等式） | ab | | a | | b |， | ab | | a | b | ab | a | b | a | a |(b0)b| b |2指数运算axayax yaxaxya y(ax ) yaxy(ab) xax bx ( a ) xaxx a yy a xbbxa x1 a01a x3对数运算（ a0, a1 ）零和负数没有对数
2、loga a 1 loga 10 log a ( xy)loga xlog aylog axlogaxlog ay log a xbb loga xy对数恒等式 alogayy 换底公式 log a ylogbylog b a e 2.718 281 828 459 lg elog10 e0.434 294 481 903 ln10log e 102.30 258 509 2994乘法及因式分解公式 ( xa)( x b)x(ab)xab( xy)2x22xyy 2 ( xy)3x33x2 y3xy2y3( xyz)2x2y2z22xy2 yz2xz( xyz)3x3y3z33x2 y3xy2
3、3y2 z3yz23x2 z 3xz26xyzx2y2( xy)( xy)x3y3( xy)( x2xyy2 )xnyn(xy)( xn1xn2 yxn3 y2xyn2yn 1 )xnyn(xy)( xn1xn2 yxn3 y2xyn2y n 1 ) （n 为偶数）xnyn( xy)( xn1xn2 yxn3 y2xyn2yn 1 ) （ n 为奇数）x3y3z33xyz(xyz)( x2y2z2xyyzxz) x4 x2 y2 y4 (x2 xy y2 )( x2 xy y2 )5数列 等差数列通项公式 ana1(n1)d （ a1 为首项， d 为公差）前 n 项和 Sn(a1an )nn
4、(n 1)2na1d2特例：123(n1)n(n1)n2135(2 n3)(2n1)n2246(2 n2)2nn(n1) 等比数列通项公式 ana1 qn 1 （ a1 为首项， q 为公比， q1）前 n 项和 Sna1 (1 qn ) a1an q1q1q 122232n21 n(n 1)(2 n 1)6 132333n3n2 (n 1)24123252(2 n1)2n(4 n21)3133353(2n1)3n2 (2n21)1 (n 1), n为奇数1 2 3(1)n1 n2n ,n为偶数21 22334n( n1)1 n( n 1)(n 2)36牛顿二项公式(a b)nannan 1b
5、n(n 1) an 2 b2n(n 1)(n 2) an 3b32!3!n(n1)(nk1) annkbknabn 1bnCnk an kbkk !k0二、三角1基本关系式tansin cotcoscossintan1 sec1cotcoscsc1 sin2cos21sin1 tan2sec2 1 cot 2csc22诱导公式角 AA3A 2函数AA22sin Acossincossincos Asincossincostan Acottancottancot Atancottancot3和差公式sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tan
6、tan cot()cot cot1cotcotsinsin2sin2cos2sinsin2 cos2sin2coscos2 cos2cos2coscos2 sinsin22sincos1sin()sin()2cossin1sin()sin()2coscos1cos()cos()2sinsin1 cos()cos24倍角和半角公式sin 22sincos cos2cos2sin 2tan 22 tan cot 2cot211 tan22cotsin1cos cos1cos2222tan1cos cot1cos1cos1cos22三、初等几何在下列公式中，字母R、 r 表示半径， h 表示高， l
7、 表示斜高， s 表示弧长。1圆；圆扇形圆周长2 r ；圆面积r 2圆扇形：圆弧长 sr （圆心角以弧度计）r以度计）（圆心角180扇形面积1 rs1 r 2222正圆锥；正棱锥正圆锥：体积1r 2 h3侧面积rl全面积r (r l )正棱锥：体积1底面积高3侧面积1斜高底周长23圆台：体积h ( R2r 2Rr ) ；侧面积l (Rr )34球：体积4r 3 ；表面积4r 23四、导数和微分1基本求导公式 (C)0 （C 为常数） ( x n )nxn1 ；一般地， ( x)x1 。特别地：， ( x2)1)1x )21。( x)12x ， ( xx2 ， (x (ex )ex ；一般地，
8、(a x )axln a(a0,a1)。 (ln x)1 ；一般地， (log ax)1( a0,a1)。xx ln a (sin x)cos x ， (cos x)sin x ， (tan x)sec2 x ，(cot x)csc2x ， (sec x)tan xsecx ， (csc x)cot x csc x 。 (arcsin x)1， (arccosx)1，1x 21x2(arctan x)1， (arc cot x)1，1x21x2(arcsecx)1， (arccscx)1。xx21xx212求导法则 四则运算法则设 f(x)，g(x)均在点 x 可导，则有：（） ( f (x)
9、g( x)f ( x)g ( x) ；（） ( f (x) g( x)f ( x) g (x)f ( x) g ( x) ，特别 (Cf (x)Cf (x) （ C 为常数）；（） ( f (x) )f ( x) g (x) f ( x) g (x) , ( g(x) 0) ，g( x)g 2 ( x)特别 (1)g (x) 。g( x)g 2 ( x) 复合函数求导法则设函数 y = f(u)， u( x) 均可导，则 yf ( (x) 关于 x 的导数恰为 f(u)及 (x) 的导数的乘积：dydf ( ( x) dyduyu ux ）。dxdxduf (u) ( x) （ yxdx推广若
10、 y f(u), ug(v), vh( x) ，则：dydydudvf (u) g (v) h ( x) （ yxyu uv vx ）。dxdudvdx3微分 函数 yf ( x) 在点 x 处的微分： dy y dxf ( x)dx 微分规则设函数 u = u(x)， v = v(x)均可微， C 为常数，则有（） d (Cu)Cdu ； d (uv) du dv ；（） d (uv )vduudv ；（） d ( u)vduudv ( v0) 。vv 2若函数 yf (u),u( x) 均可微，则复合函数 y f ( x) 也可微，且有dyf (u)du f (u) (x)dx 。五、不定
11、积分1常用的不定积分公式 0dx C ；x dx1x1C (1) ；1 dx1ln | x |C ；xex dxexC ；a x dxa xC (a0, a1) ；ln acos xdxsin xC ；sin xdxcos xC ；sec2xdxtan xC ；csc2xdxcot xC ；1dxarcsinxCxC ；1x 2arccos12 dxarctan xCarccot xC 1 x2不定积分的性质和法则 ( f (x)dx )f ( x) 或 d f (x)dx f (x)dxF ( x)dx F ( x)C 或 dF (x) F (x) C( f (x) g( x)dxf (x)
12、dxg (x)dxkf ( x)dxk f ( x)dx （k 为常数）凑微分法设 F(u)是 f(u)的原函数，u =( x) 可导，则 F ( x) 是 f ( x)( x) 的原函数。即若 f ( x)dxF ( x) C ，则f ( x)( x)dxf ( x) d (x)F (x) C换元积分法设 x(t) 可导，且(t )0，又 f (t) (t ) 有原函数 F(t)，则f ( x)dxf (t)(t )dtF (t)CF 1 ( x) C其中 t1 ( x) 是 x(t) 的反函数。分部积分法u( x)v ( x) dxu( x)v( x)v( x)u ( x) dx或简写成
13、udvuvvdu六、定积分1定积分性质和运算bbba k1 f ( x)k2 g ( x)dxk1 af (x)dxk2 ag( x) dx其中 k1 , k2 为任意常数。bcbf (x)dxf ( x)dxf ( x)dxaac 若 f ( x)g( x), x a, b ，则bbf ( x)dxg(x)dxaa 若 mf ( x) M , x a, b ，则 m(ba)bf (x)dx M (ba)a 定积中值定理设 f(x)在区间 a，b 上连续，则在 a，b上至少存在一点，使bf ( )(b a)f ( x) dxa1由上式，得 f ( )bb af ( x) dx ，此值称为函数
14、f(x)在区间 a， b 上的平均值。a2牛顿 -莱布尼兹公式若函数 f(x)在区间 a， b 上连续， F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F (x)f (x) ，则bF ( x) |abF (b)F (a)f (x)dxa3积分法 换元积分法设函数 f(x)在区间 a， b 上连续，作变换 x(t ) ，如果(t) 在区间 , 上连续； 当 t 从 变到时，(t ) 从 ()a 单调地变到 () b ，则有bf (t )(t )dtf ( x) dxa 分部积分法设 u(x)，v(x)在 a，b上具有连续导数 u ( x), v (x) ，则bbba u( x)dv( x)u( x)v( x) aa v( x)du( x)