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1、_立体几何大题题型一：基础题型3(2015 ·课标全国 )如图，四边形ABCD 为菱形， ABC 120 °， E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE 平面 ABCD ，DF 平面 ABCD ， BE 2DF， AE EC.(1) 证明：平面 AEC 平面 AFC ；(2) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值(1) 证明 如图所示，连接 BD，设 BDAC G，连接 EG， FG， EF.在菱形 ABCD 中，不妨设GB 1.由 ABC 120 °，可得 AG GC 3.由 BE 平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AE EC，所以 E
2、G3，且 EG AC.2在 Rt EBG 中，可得BE 2 ，故 DF .26在 Rt FDG 中，可得 FG .2232在直角梯形BDFE 中，由 BD 2，BE2，DF，可得EF，从而 EG2 FG222 EF2，所以 EG FG .精品资料_又 AC FG G，可得 EG平面 AFC.因为EG ?平面 AEC，所以平面 AEC 平面 AFC .(2) 解如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向， |为单位长GBGCGB度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由 (1) 可得 A(0，3，0)，E(1,0 ，2) ，F 1，0，2，C(0， 3，0)，2，3，3 ，2.所以 AE
3、(12)，CF 1，2 AE·CF3故 cos AE，CF .|AE| CF|33所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为.34. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，底面 ABCD 是直角梯形， ADBC，ADC 90°，AD2BC 2，CD3，平面 PAD 底面 ABCD，若 M 为 AD 的中点， E 是棱 PC 上的点(1) 求证：平面 EBM 平面 PAD ；(2) 若 MEC 90°，求二面角 P-BM -E 的余弦值解： (1) 证明： M 是 AD 的中点，且 AD2，MD 1，又ADBC，BC1，四边形 MBCD 为
4、平行四边形ADC 90 °，DCMB，精品资料_AMB 90 °，即BM AD.平面 PAD 平面 ABCD ，BM ?平面 ABCD ，BM 平面 PAD .平面 EBM 平面 PAD.(2) PAD 是正三角形， M 为 AD 中点， PM AD.又 平面 PAD 平面 ABCD，PM 平面 ABCD.如图，以 M 为原点，以MA，MB，MP 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系M-xyz，则 A(1，0，0)，B(0， 3，0)，P(0，0， 3)，C(1，3，0)，PC(1， 3， 3)，E在 PC上，设 CE CP (0< <1) ，
5、ME MC (MP MC) ( 1 ， 3 3 ， 3 )ME4ME·PC 0， .7333 43ME ，.777设平面 MBE 的法向量为 n (x， y， z)，则 ME·n0， MB·n0 3x 3y 4z0 ，即3y 0.令 x4，n(4 ， 0 ， 3) 又平面 PMB 的一个法向量为n1 (1 ， 0 ，0) ，精品资料_4419cos n， n1 3.1619419设平面 PMB 与平面 EMB 所成的角为 ，则 cos .195 如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， OA底面ABCD , OA2,M为 OA 中点
6、（ 1）求证：直线BD平面 OAC ；（ 2）求直线 MD 与平面 OAC 所成角的大小；（ 3）求点 A 到平面 OBD 的距离【答案】（ 1）证明见解析； （2） 300 ；（ 3） 2 3【解析】试题分析： （ 1 ）由 OA底面 ABCDOABD ，又BDACBD平面OAC ；精品资料_（ 2）做辅助线 EM 可得 DME 是直线 MD 与平面OAC 所成的角，计算求得所成的角为300 ；（ 3）作 AHOE 于点HBD平面OACBO AH 线段 AH 的长就是点OA AE222A 到平面 OBD 的距离2AH3 2 3OE2试题解析：（ 1）由 OA底面 ABCD ,OABD 底面
7、ABCD 是边长为1 的正方形，BDAC ，又 ACOAA ，BD平面 OAC （ 2）设 AC 与 BD 交于点 E ，连结 EM ，则DME 是直线 MD 与平面 OAC 所成的角MD2, DE2，2直线 MD 与平面 OAC 所成的角为300 （ 3）作 AHOE于点 H BD平面 OAC ，BOAH ，线段 AH 的长就是点 A 到平面 OBD 的距离OA AE222AH2OE32，32点 A 到平面 OBD 的距离为2 3精品资料_考点： 1 、线面垂直； 2 、线面角； 3、点到面的距离.【方法点晴】本题考线面垂直、线面角和点到面的距离，涉及数形结合思想，并考查空间想象能力和计算能
8、力，具有一定的综合性，属于较难题型第一小题由 OA底面ABCDOABD， BDACBD平面 OAC ；第二小题做辅助线EM 可得DME 是直线 MD 与平面 OAC 所成的角，计算求得所成的角为300 ；第三小题作AHOE 于点 HBD平面 OACBOAH线段 AH 的长就是点A 到平面 OBD 的距离，计算求得点A 到平面 OBD 的距离为 2 36如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形， AB CD ，AC 3， AB 2BC 2，AC FB.（ 1）求证：ACDE ；（ 2）求点 C 到平面 BDF 的距离 .【答案】（ 1）详见解析； （ 2）5 。5
9、【解析】试题分析：（ 1）根据题中条件AC 3，AB 2，BC 1，所以 AC 2BC 2AB2 ，所以 ACBC ，精品资料_又因为已知 ACFB ，且 BCFB B ，根据线面垂直判定定理可知，AC 平面 BCF ，因为 CF平面 BCF ，所以 ACCF ，又因为 CF / / DE , 所以可得 ACDE ；本问重点考查线面垂直判定定理。（ 2）根据第（ 1 ）问， ACCF ，又由正方形 DCCF ，且 DCACC ，所以 CF平面 ABCD ，则线段 CF 为三棱锥 F-BCD 的高， Rt ACB 中， AC3，AB 2，BC1，所以ABC60， CAB30 ，所以根据等腰梯形可
10、得： CB DC 1，BCD120 ，所以 BCDS 3F-BCD 的体积为3的面积为4，则可以求出三棱锥，由图可知12VF BCDV C BDF，而 VC BDF1S BDF d ，其中 d 为点 C 到平面BDF的距离，又因为3DFBF2, BDAC3 ，所以 S BDF15，于是可以得到d3VF BCD ，计算4S BDF就可以求出 d 的值， 即得到点 C 到平面 BDF 的距离。 本问主要考查点到面的距离，常用等体积法解题。试题解析：（ 1）证明：在 ABC 中，因为 AC 3， AB 2， BC 1，则 AB 2AC 2 BC 2，所以 AC BC ，又因为 AC FB ，且 FB
11、 BC B，所以 AC 平面 FBC.所以 ACCF ,又因为 CF / /DE ，所以 ACDE（ 2）解因为 AC 平面 FBC ，所以 AC FC. 因为 CD FC ，且 CD AC C，精品资料_所以 FC 平面 ABCD.则 FC 为四面体 F BCD 的高，在等腰梯形ABCD 中可得 CB DC 1，3所以 FC 1，所以BCD 的面积为 S 413所以四面体 F BCD 的体积为 VFBCD S·FC 312又因为 DFBF2,BD AC3，所以 S15BDF4由 VC BDFVF CBD ，得点 C 到平面 BDF 的距离为555.(2015 ·湖北 )九
12、章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE、 BD、 BE.(1) 证明： DE 平面 PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑 若是， 写出其每个面的直角(只需精品资料_写出结论 )；若不是，请说明理由；V1(2) 记阳马 PABCD 的体积为 V1 ，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 的值V2(1) 证明 因为 PD 底面 ABCD ，所以 PD BC，由底面 ABCD 为长方形，有 BC CD，而 PDCD
13、 D，所以 BC 平面 PCD .而 DE ?平面 PCD ，所以 BC DE.又因为 PD CD ，点 E 是 PC 的中点，所以DE PC.而 PC BC C，所以 DE 平面 PBC .由 BC 平面 PCD ， DE 平面 PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 BCD， BCE， DEC ， DEB .(2) 解由已知得， PD 是阳马 PABCD 的高，11所以 V1 SABCD ·PD BC·CD·PD.33由 (1) 知， DE 是鳖臑 DBCE 的高， BC CE，11所以 V2 SBCE·DE BC·CE·DE.362在 Rt PDC 中，因为PD CD，点 E 是 PC 的中点，所以DE CE CD，2精品资料_1BC·CD·PDV132CD ·PD于是 4.V21CE ·DEBC·CE·DE6精品资料_Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料