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1、微分中值定理的推广及应用本 科 毕 业 设 计（论文）微分中值定理的推广及应用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application学 院 （系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 101108072 指 导 教 师（职称）： 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 2012.04 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology微分中值定理的推广及应用数理学院 摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分
2、中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationMathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives
3、a new proof method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on s
4、everal aspects of the application.Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermat's theorem目 录0 绪论11 微分中值定理及相关的概念12 微分中值定理普遍的证明方法22.1 费马定理22.2 罗尔中值定理22.3 拉格朗日中值定理32.4 柯西中值定理43 中值定理的推广43.1 关于三个中值定理新的证明方法4 3.2 微分中值定理的推广6 3.3 微分中值定理的弱逆定理 104 微分中值定理的应用114.1 利用微分中值定理证明等式114.
5、2 利用微分中值定理证明不等式144.3 讨论方程根的存在性 15结束语18参考文献18致谢180绪论微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容.1 微分中值定理及相关概念所谓微分中值
6、定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (最小值或最大值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点).定义2 (极小值或极大值) 设在任意上有定义,若存在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点).定义3 (极限的局部保号性) 若,则存在任意使得.定义4 (函数单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增(严格单调递增).当时,有,则称单调递减(严格单调
7、递减).定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义6(凹性) 若的一阶导数在上单调递增(或递减),则称在是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的证明方法2.1 费马定理定理1 设在区间有定义.若是函数的极值点,且在处可导,则.费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明 为的极值点.设为极小值点,则存在任意,有,若,则 ;若,则 ;取极限与分别为、,由于在处可导,则=由极限的局部保号性有
8、, .故 =.所以有 , 即.2.2 罗尔中值定理 定理2 设满足:(1) 在闭区间上连续; (2) 在开区间内可导; (3) ,则至少存在一点使得.罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图), 其中,.证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值,最小值.若则对任意有,即为常函数,所以.若,由于.与不同时为区间的端点,不妨设,所以必为的极大值.设,则有,且在内可导,根据费马定理可知 .证毕.2.3 拉格朗日中值定理 定理3 若函数满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使得.证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.证
9、明 作辅助函数,显然,在上连续, 在内可导,且,由罗尔定理可知,存在一点 使得 即.推论 设、都在区间上可导,且,则2.4 柯西中值定理 定理4 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一点使得.证明 由定理条件可知,则任意都有,因此,只需证 ,为此,构造函数,显然,在上连续,在内可导,且,根据罗尔定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1 关于三个中值定理新的证明方法3.1.1 罗尔定理的新证法引理1非单调函数在上连续,在内可导,则存在一点,使得.证明 因为在上
10、连续,且非单调,故存在为函数的极值点.又在内可导,故在点可导,由费马定理可知.罗尔定理的新证法 证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕.3.1.2 拉格朗日中值定理的新证法证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得 成立，即证,存在使得 (1) 成立.亦即 (2)记,则由满足罗尔定理的条件知,存在使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新证法 证明 首先构造辅助函数,由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 使得.我
11、们不妨设恒大于零.于是,对于任意,其中,.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得在闭区间上连续;在开区间内可导,且故即是要证明,因此可构造辅助函数:,可以验证满足罗尔定理的条件,故至少存在一个,使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得证.3.2 微分中值定理的推广 微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.3.2.1 罗尔定理的推广 定理5 设在内可导,且,其中,则存在使得.证明 由于在内可导,则必有在上连续,又有. (1)当时,对在两点进行连续延拓,使得,则有在上连续,在内可导且有,所以,满足罗
12、尔定理的条件,存在使得.(2)当时,由于,故存在,使得,所以在上连续,在内可导,满足罗尔定理,即存在使得.综上所述,存在使得.3.2.2拉格朗日中值定理的推广 定理6(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得.证明 作辅助函数,很明显在连续,在内可导,且,则根据罗尔定理有,存在使得,命题得证.定理7(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得.证明 （1）当时,由定理5可知,结论成立.（2）当时,作辅助函数,由在内可导知,在内也可导,又因为;,根据定理5可知,至少存在一点使得.进而有,即.综上所述,存在一点使得.3.2.3柯西定理的推广 定理8(推广一) 在连续,在内可导,
13、任意,有.则存在使得.证明 作一个辅助函数,则在连续,在内可导,且,所以在上满足罗尔定理,即存在使得.因为,所以,即得.定理9(推广二) 若在有限或无穷区间中的任意一点有有限导数和,任意,都存在,则至少存在一点使得 .证明 首先证明.假设即,根据定理5可知,至少存在一点使得.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数由已知得在可导且,所以,.根据定理5可知,至少存在一点使得即.3.2.4 微分中值定理的推广定理10 设函数在上连续, 在内可导,且,则在内至少存在一点,使得 .证明 根据题意,设显然在上连续, 在内可导,并且 即,所以由罗尔中值定理可知在至少存在一点使得 证毕.当上述式子中时,可得到柯
14、西中值定理;当上述式子中时,可得到拉格朗日中值定理.3.3 微分中值定理的弱逆定理在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理) 设在上连续,在内可导,若在严格单调,则对任意的,存在使得成立.证明 因为在上严格单调,不妨设其严格单调递增, 由定义6可知,函数在上是向下凸的,再由定义5,任意的,有,所以,切线在曲线下方,所以存在的邻域使得直线的平行线与有两个交点,假设交点为 .即有,得到,结论得证.定理12（柯西中值定理的弱逆定理）设在上连续,在内可导,且严格单调,则对于任意的存在,使得成立.证明 对任意的,作辅助函数,显然, 在上连续,在内可微,并且由严
15、格单调,可知也严格单调.由定理11知,对任意的,存在使得成立.而,所以有, ,整理得.证毕.4 微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.4.1 利用微分中值定理证明等式例1 设函数在上连续,在内可导.证明存在使得,.证明 利用柯西中值定理 令,显然,在上连续,在内可导,且,所以,存在使得 ,所以.证毕.例2 设函数在上连续,在内可导,且.证明对任意常数,存在,有.证明 利用罗尔定理,构造函数,由于在上连续, 在内可导,且，所以,且在上连续,在内可导，所
16、以,存在使得,即.例3 设满足:(1) 在上连续;(2) 在内可导,证明存在,使得.证明 证法同例2,令即可证得.小结 如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例4 设,在上连续,在内可导, .则有使得.证明 由于,且在上连续在内可导，所以,必存在使得,根据罗尔定理,存在使得 .例5 证明恒等式:. 证明 令,则,所以,在为常函数.又有，所以,即成立.例6 设且在上连续,在内可导.则存在使得.证明 变换待证等式为 其中,显然,利用罗尔定理即可得.例7 设,在内可导,则存在,使得.证明 变换待证等式为,其中.由于,所以,其中,
17、于是,在上满足罗尔定理,从而有结论.若待证等式明显可表示为的形式,则很可能就是,因而,可以利用柯西定理证明.例8 设,在连续可导,则存在使得.证明 令则,且,在上连续在内可导,根据柯西定理,存在使得,即.4.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为 的形式,且满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的有,最后利用中值定理证明.例9 证明对任何正数、有 .证明 令,.则在上连续,在内可导,根据拉格朗日中值定理,存在使得 ,由于,所以,即有 .例10 设为非线性函数,且在上连续,在内可导,则存在使得 .证明 变换待证不等式为 ,其中,若结
18、论不成立,则,因而单调递减.但是,故,必有,从而与已知矛盾,所以结论成立.即成立.例11 设函数在上连续,在内可导,则存在,使得 .证明 若不存在,则,从而单调递增，又由于满足罗尔定理,则存在使得,又有,所以,非单调递增.上下矛盾.因而,存在使得 .例12 设,对任意.证明.证明 当时,结论显然成立.当时,取或,在该区间上,设,根据柯西定理,有,或,即;当时,，即;又有,所以.当时, ,所以,.由此,不等式得证.4.3 讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,这样就可以利用中值定理讨论方程的根的存在性.例13 设为任意个实数,证明函数在必有零点.证明 作辅助函数,则,容易验证在上连续,在可
19、导,且 ,所以存在使得,即.所以,在必存在零点. 例14 设函数在区间上可导,则的两个零点间一定存在的零点. 证明 (采用罗尔定理)任取的两个零点.不妨设.作辅助函数,则在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的两个零点间一定存在的零点.例15 证明:若,则多项式在内至少有一个实根.证明 令则,又有在连续可导,且,满足罗尔定理的条件,故存在使得即,结论得证.例16 若函数在上非负,且三阶可导,方程在内有两个不同的实根.证明存在使得.证明 因为方程在内有两个不同的实根,设其分别为所以,又由于非负，根据极值定义可以知道为的两个极值点,所以有又因为满足罗尔定理，所以存在使得
20、 ,又三阶可导，所以满足罗尔定理,即存在,使得 ,同样满足罗尔定理,则存在使得.证毕.例17 设,则方程在内有解.证明 将待证问题转化为中值问题:存在使得,即,根据柯西中值定理直接得证,即方程在内有解.例18 若函数在可导,对与之间的任意数,则在内至少存在一点,使得.证明 不妨设.则.作辅助函数 ,有.显然, 与,即与 .由极限保号性,存在,使得,从而,.存在,使得 ,从而, .于是,在内至少存在一个极小值点.根据费马定理,有,即.结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的
21、几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论. 深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.参考文献1 刘玉链等编.数学分析讲义M 高等教育出版社 20032 张勇.微分中值定理的认识及推广J.消费导刊·时空教育 . 2009(02) 1663 童蓓蕾;胡燕. 微分中值定理证法的改进J. 科技创新导报.2011(07) 1514 李阳; 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用J. 辽宁师专学报. 2011（01）6-85 张晓彦; 刁光成. 微
22、分中值定理的推广J. 科技天地. 2009(34) 31-326 朱美玉. 微分中值定理的进一步探讨J. 湖北广播电视大学学报. 2009(08) 158-1597 邢建平; 徐湘云. 微分中值定理的解题应用J.中小企业管理与科技(上旬刊). 2010(08) 1588 胡适耕，姚云飞编著.数学分析：定理·问题·方法M.科学教育出版社 2007致谢在论文的写作过程中，我得到了很多热心人的帮助，特别是感谢宋老师以及给与我悉心的指导的朋友们，并引导我翻阅了大量的书籍，对论文进行了多次、细致的修改.论文导师细心谨慎的修改，使我的论文更加严密与完善.老师严谨的教学精神以及渊博的知识，都使我受益匪浅，在此谨向宋老师致以衷心的谢意！22