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1、参加2016年广东省小学数学教学专业委员会论文评选送评论文经历归纳推理过程 积累数学思维活动经验以“运算定律”教学为例（广东省，东莞市，教育局教研室 陈晓燕） 摘 要： 数学基本活动经验包括“思维的经验”和“实践的经验”。“思维的经验”是学生经历数学思维过程后的一种结果。归纳推理是小学数学重要的推理之一，是从个别到一般的推理，其思维过程包括“观察分析、归纳、数学表达、验证或证明”。让学生经历归纳推理的完整过程，有利于帮助学生积累“从特殊入手探索一般规律”的思维经验。从教学的维度，有效实现“思维经验”的积累，需要教师准确把握教学内容蕴含的数学思想，分类整理教学内容，并整体规划、设计“经验”获得的
2、教学侧重点，做到循序渐进、逐步积累。关键词：小学数学；归纳推理；基本活动经验 义务教育数学课程标准（2011年版）在课程目标中明确提出“四基”，即使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验” 【1】8。关于基本活动经验，史宁中教授指出，“数学基本活动经验包括实践的经验和思维的经验”、 “日常学习学生主要获得思维的经验”，并强调“数学基本活动经验是亲身经历和感悟了归纳推理和演绎推理的过程，尤其是归纳推理过程后的一种结果。”【2】。那么，什么是归纳推理？归纳推理的思维过程是怎样的？小学数学哪些内容蕴涵归纳推理？作为教师，又如何在具体的教学过程中让学
3、生经历归纳推理的完整过程，有效地帮助学生积累数学思维活动经验？本文将就以上问题，结合“运算定律”的教学进行探讨。一、归纳推理的含义、特点及教学价值关于归纳推理，逻辑学的定义是：“凡是从个别知识的前提推出一般知识的结论的推理，称之为归纳推理【3】276。根据考查的对象的范围不同，归纳推理又可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理即考查一类的全部个体对象，根据他们具有（或不具有）某种属性，从而概括出该类全部对象具有（或不具有）某种属性的一般结论。不完全归归纳推理，则指只考察一类中的部分个体对象，根据他们具有（或不具有）某种属性，概括出该类全部对象具有（或不具有）某种属性的一般结论【3】27
4、7。史宁中教授的观点则有所不同，他认为：“推出该类事物的普遍性规律是归纳推理非常重要的方面，但绝不是全部归纳推理也适应于类形成的过程。”【4】以上是不同研究者关于归纳推理的含义的不同理解。对于小学阶段的数学教学而言，学生所接触的归纳推理基本属于不完全归纳推理。它的特点：一是只考察一类中的部分个体对象；二是结论具有或然性，属于或然性推理。归纳推理由于是从个别事实或现象出发发现一般结论的推理。因此，其价值在于“由已知发现未知”、“探索思路，发现结论” 【1】7，最终实现学生创新能力的培养。二、归纳推理思维过程分析就小学数学教学而言，归纳推理所经历的思维活动过程，大致可概括为：个别对象（一定事实材料
5、或具体算式、图形等）观察分析归纳（猜想）表达（猜想）解释或验证结论。对个别对象或特殊情况进行观察，是归纳思维最重要的一步。例如： “加法交换律”的教学，算式“40+56=56+40”就是个别对象，加法交换律的得出就是从观察这样具体的算式开始的；在观察的基础上，进行分析、再举例，得到更多个别对象，再次进行观察、归纳，并形成猜想；接着，借助语言或符号对猜想的结论进行表达；表达之后，对猜想进行进一步的解释或验证，最后形成结论。在 “运算定律”的教学中，从教材编排（人教版）可以看出，这一类课教学的思路都很好地体现了归纳推理的思维过程，即：情境引出具体算式计算得出两组算式结果相等（个别对象）观察算式，初
6、步感知规律学生举例观察所有算式，发现规律表述规律解释、验证应用规律。以上过程是典型的归纳推理思维过程。三、经历归纳推理过程，积累思维活动经验 “归纳在本质上是一种思想方法，这种方法表现在思维的过程之中，对于这种方法的把握，不是靠人们的理解而是靠感悟。”【4】 “积淀数学基本活动经验，需要亲身经历和感悟归纳推理和演绎推理的过程。”【2】离开“过程”也就不存在“经验”。下面，以“乘法分配律”一课为例，谈谈具体做法。1.从具体算式入手，积累观察活动经验观察是数学思维活动经验获得的起始阶段。在归纳推理中，通过对个别对象进行观察，才能发现他们的共同之处，才能从个别对象中抽象出共同属性。“乘法分配律”一课
7、，可以设计以下教学活动帮助学生积累观察经验。【片段一】观察“联系”通过“一共有25个小组，每组有4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加植树活动？”这一问题，分别引出算式：(4+2)×25、 4×25+2×25。1.分别计算(4+2)×25、 4×25+2×25，发现两式结果相等，板书 (4+2)×25=4×25+2×252.引导学生观察等号两边的算式，说说有什么发现？【片段二】观察“共同点”在学生观察(4+2)×25=4×25+2×25的基础上，让学生试
8、着再写出相同结构的算式，并分别计算左右两边是否相等。1.反馈，针对性地选择部分算式进行板书。2.观察板书的所有算式，说一说它们有什么相同的地方？片段一中的观察是本节课的首次观察。这里的观察有两个作用：一是明确左右两边的算式结果相等；二是观察左右两边的算式的特征以及彼此之间的联系，从而初步感知乘法分配律的基本结构。片段二中的观察主要是找不同算式之间的共同点，从而归纳、得出“乘法分配律”这一猜想。以上两个片段，涉及到数学观察活动的两个方面：一是找“关系”。通过找关系，可以将不同对象之间联系起来思考，这是发现结论的重要手段。上述片段中“左右两边的算式计算结果具有相等关系”，“左边的算式与右边的算式结
9、构上有联系”都是观察“关系”获得的结果。二是找“共性”。观察“共性”是为了发现不同对象之间共有的属性。上述片段中，在学生举例后，对多个算式进行观察，发现多个算式均具有“乘法分配律”的特点，即是观察“共性”的结果。观察事物之间的关系，寻找不同事物之间的共性，同中求异、异中求同，是观察活动最重要的几个方面。而学生观察经验的形成，就是在这样的学习活动中不断经历、体验和感悟逐渐积累的。2.分析归纳，积累归纳猜想的经验【片段三】通过学生举例、反馈环节，黑板上得到以下算式：(4+2)×25=4×25+2×25(8+3)×6=8×6+3×6(70+
10、40)×5=70×5+40×5(20+10)×30=20×30+10×30(18+35)×4=18×4+35×4师：这些算式都是大家仿照(4+2)×25=4×25+2×25的样子写出来的，并且都通过计算证明它们左右两边的确相等。请观察这些等式，结合刚才写的过程，说说它们有什么相同的地方？生1：左边的算式都有小括号。生2：左边的算式都是先算两个数的和，然后再乘一个数。师：那右边的算式呢？生1：右边的算式都是先相乘，再相加。生2：右边的算式都是用左边算式中括号里的两个数分别与括号
11、外面的数相乘，再相加。师：并且左边的算式等于右边的算式。那联系起来看，能不能总结一下这样的等式有什么规律？以上教学过程，由特例开始，通过对具体例子进行观察、分析，进而归纳，获得关于乘法分配律的一般认识。这一过程，就是由特殊到一般的归纳过程。让学生经历归纳过程，获得归纳的实际经验和体会，是积累思维活动经验的重要环节。3.尝试表达，积累数学表达的经验数学表达主要是指将归纳获得的一般结论（猜想），用文字、符号等表达出来。通过数学表达，完成问题的提出，才能获得新知识、新结论。不仅如此，数学表达还是发展学生数学语言、符号思想、提高学生表达能力的重要载体。【片断四】表达规律师：谁来说说你们的发现？生：从左
12、向右看，两个数的和乘一个数，等于先把这两个数与第三个数分别相乘，再相加；师：从右往左看呢？生：两个数同一个数分别相乘，积相加，也可以将这两个数先加起来，再同那个数相乘，结果相等。师：这就是“乘法分配律”。（板书课题）师：如果让你们用一个等式表示“乘法分配律”，你准备怎样表示？生：(ab)×c=a×cb×c。（板书）师：用字母表示。这样能概括我们发现的规律吗？生（齐）：能！师：我要采访采访你，这样的灵感来源于哪里？生：我们前面学习过交换律和结合律，都可以用字母表示。师：真不错，借助前面学习的经验。现在让我们来看这个字母表达式，有了它，简洁明了，咱们说起来就方便多了。
13、以上片段，既有文字表达，又有数学符号化表达，从中还可以看出学生对表达经验的迁移。教师最后一句看似鼓励和总结的语言，实则再一次引导学生体会符号表达的好处，帮助学生进一步积累数学表达的经验。4.解释验证，积累数学验证的经验观察、归纳、猜想、表达都是发现结论的思维活动。验证是证明结论的思维活动。由特例入手，通过观察、归纳获得一般规律（猜想），这一过程属于不完全归纳，其结论（猜想）具有或然性，它的可靠程度需要验证或证明。小学阶段，一般采用以下方式：一是继续举例。通过更多个例、范围更广的个例增强结论的可靠程度。例如：运算定律的教学，在第一次观察的基础上，让学生自己举例，从某种程度来说，也是为了增加结论的
14、可靠程度；二是简单说理，例如：加法交换律的教学，对归纳得出的结论，可以运用加法的意义解释其合理性。 “乘法分配律”一课，可以安排以下环节，让学生经历解释、验证过程，获得关于验证的经验。【片段五】学生举例环节师：你们所写的算式，左右两边结果相等吗？生：相等。师：怎样才能知道它们相等？生：计算，我算了，两边得数一样。师：大家都计算了吗？生（齐）：计算了。师：计算是个好办法，如果不计算，有没有办法判断左右两边计算结果相等？（生迟疑，沉默。）师：你们互相讨论讨论。（学生讨论后）生：有，可以这样想。比如：(8+3)×6=8×6+3×6，左边8+3 等于11，表示11个6，右
15、边8×6是8个6，3×6是3个6，加起来也是11个6，所以是相等的。师：你们听明白了吗？其它算式呢，是不是都可以这样理解？谁再来说说？（生结合黑板上其它算式，从乘法的意义入手进行解释、说明。）师：非常精彩！从乘法的意义着手，同样说明了每道算式左右两边结果相等。以上环节，虽然不是严格的证明，也不是安排在获得结论（猜想）之后，但是结合具体的算式，运用乘法的意义，对乘法分配律的合理性进行解释、说明，同样达到验证的效果。关键是让学生经历了解释、验证的过程，从而获得关于验证的体验和感悟，积累关于验证的活动经验。四、关于积累基本活动经验的进一步思考张丹教授认为：经验的形成要经历“经历、
16、内化、概括、迁移”的过程。可见，积累数学基本活动经验是一个循序渐进的过程，不是一节课或几节课的教学就可以实现的目标。从更长远来看，有效积累归纳思维的经验，我们还需思考以下问题： 1.如何循序渐进地帮助学生经历、形成、内化归纳的思维经验关于这一问题，也许我们可以从以下方面进一步思考和探索： （1）梳理小学数学教学中蕴含归纳思维的典型课例以下内容，均蕴含归纳思维：找规律：“找规律”是典型的“从个别对象入手，发现探索一般规律”的归纳思维。 运算定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及整数运算定律推广到小数、分数。其思维过程本文已做分析，不再重复。平面图形面积公式推导：长方
17、形面积计算公式推导是典型的归纳思维；平行四边形面积计算公式推导中，由数方格到提出猜想，实则也是归纳思维；三角形面积计算公式的推导中，分三类通过拼摆推导出公式也蕴含归纳。 计算法则：各类计算（特别是笔算），其计算法则的得出也是归纳思维的具体体现。每一个计算法则的得出，都经历了“从具体的数字出发进行计算，在计算的过程中感悟运算方法的道理，然后总结计算方法”【4】的过程。（2）整体设计和规划经验获得的侧重点在分类梳理的基础上，对每一类中不同的课例从经验获得维度分层设计。如：“运算定律”这一类课，“加法交换律”是第一节课，具有“种子课”特质，须让学生经历归纳推理的全过程，获得关于归纳思维的基本经验，而
18、“加法结合律”、“乘法交换律”、“乘法结合律”的教学，则应该将侧重点放在如何进一步促进经验的形成、内化和迁移。2.如何更为有效地帮助学生实现经验的迁移 学生在活动中获得经验，最终要将获得的经验运用到新问题的解决中，也就是形成思维模式。这应该是“基本活动经验”提出的根本目的。教学中，教师不仅要让学生经历过程，获得经验，还应该适时通过概括、提升、明示等方式对经验予以强化，并在不断循环往复的连续过程中实现经验的领悟、转化和迁移。3.对学科内容本质的准确把握、对数学思维的清晰分析是促进学生获得基本活动经验的重要保障学生能否在学习活动中有效获得良好的思维经验，有赖于教师的教学设计、教学实施。而教师自身对
19、教学内容的理解和把握，自身思维的逻辑性和清晰度都直接影响着教学的效果。如“乘法分配律”一课，笔者曾在听课过程中多次发现以下现象：即在学生举例环节，所写算式都不计算，直接从左写到右，反馈的时候也没有计算验证或从乘法意义的角度加以说明和解释，显然，这里犯了逻辑错误以结论证结论。试想，这样的教学，怎能让学生获得良好的思维经验？因此，加强对学科内容本质的研究、加强对学生数学学习思维的分析是落实“基本活动经验”的前提和基础。参考文献1教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）S.北京：北京师范大学出版社，2012:8.2郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分J.教育学报，2012（5）:23-28.3普通逻辑编写组.普通逻辑（第五版）M.上海：上海人民出版社，2010.4史宁中.数学思想概论：数学中的归纳推理M.长春：东北师范大学出版社，2010:111.-7-