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1、学习必备欢迎下载专题：万有引力与航天一、开普勒行星运动定律（ 1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是 _, 太阳处在 _上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。（ 2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的_. 这就是开普勒第二定律，又称面积定律。（ 3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值_。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用 R表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则R2k （ k 是一个与行星无关的量） 。T2二、万有引力定律1 内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们之间成反比2 公式： F，其中 G22N
2、83;m/kg ，叫引力常量3适用条件： 公式适用于间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到间的距离【例】 1、(2009 ·浙江高考) 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道 已知太阳质量约为月球质量的2.7 × 107 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400 倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A 太阳引力远大于月球引力B太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同
3、区域海水的吸引力大小相等D 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。若以 R表示月球的半径，则24RA. 卫星运行时的向心加速度为B.卫星运行时的线速度为T 224RC物体在月球表面自由下落的加速度为D月球的第一宇宙速度为T 2三、人造卫星1、三种宇宙速度宇宙数值 (km/s)意义速度2RT2 R（Rh) 3TR第一宇卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）若 7.9 km/s 7.9GM运行 ( 环绕速度 )宙速度v<11.2 km/s ，物体绕v1gRR第二宇物体挣脱地球
4、引力束缚的最小发射速度若11.2 km/s v<16.7 km/s ，11.22GM宙速度运行 ( 脱离速度 )v22v12gR物体绕R学习必备欢迎下载第三宇物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度若v16.7 km/s ，物体将脱离宙速度16.7在宇宙空间运行 ( 逃逸速度 )补充：第一宇宙速度的理解和推导1由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。根据论述可推导如下： G Mmm v12, v1GM7.9km
5、 / s 或 mg m v12, v1gR 7.9km/ sR 2RRR其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，v1gR'1'注意（ ）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。 （ 2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度【例】 1、某星球质量是地球质量的2 倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图, 卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨, 进入地月转移轨道, 最终被月球引力捕获, 成为绕月卫星 , 并开展对月球的探测. 下列说法正确的是()A. 发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B. 在绕
6、月圆轨道上 , 卫星周期与卫星质量有关C. 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D. 在绕月圆轨道上 , 卫星受地球的引力大于受月球的引力2. 近地卫星所谓近地卫星， 是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大_的速度。3、同步卫星（ 1）轨道平面一定：轨道平面与共面（ 2）周期一定：与周期相同，即T 24 h.（ 3）角速度一定：与的角速度相同Mm4232（ 4）高度一定：由2( ) 得同步卫星离地面的高度GMT7Gm2h2 .3.56 × 10 mTR h4R( R h)（ 5）速率一定：
7、 vGMR h22（ 6）向心加速度大小一定anvR hT【例】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01 星”于 20XX年 4 月 25 日在西昌卫星发射中心发射升空，经过 4 次变轨控制后， 于 5 月 1 日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道关于成功定点后的“天链一号 01 星”，下列说法正确的是（）学习必备欢迎下载A运行速度大于7.9 km/sB 离地面高度一定，相对地面静止C 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等4、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系由 G Mmm v2得 v_, 所以 r越
8、大， v _r 2r由 G Mmm2r得=_，所以 r越大，_r 2由 G Mmm(2) 2 r 得 T=_，所以 r 越大， T _r 2T万有引力定律应用的基本方法：（ 1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供Mmv222 22“万能”连等式： Gr 2 man=mr m r m(T ) r m(2 f ) r（ 2）不考虑中心天体的自转。黄金代换式：GMmmgR2考向一：天体的质量M、密度 的估算（ 1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期 T，Mm22r ，可得天体质量为：4 2r 3由 Gr m( T )MGT.22该中心天体密度为：MM3 r 3 23
9、 （ R为中心天体的半径） V 43GTR3 R3当卫星沿中心天体表面运行时，r R，则 2 .GT（ 2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.MmgR2由于 GR2 mg，故天体质量M G ，M M3g天体密度 .V43 4GR R3【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的4.7 倍，质量是地球的25 倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G 6.67 × 10 1122N·m/kg，由此估算该行星的平均密度约为（）A 1.8 × 103 kg/m 3B 5.6 × 103 kg/m 3C 1.1
10、15; 104 kg/m 3D 2.9 × 104 kg/m 3考向二：卫星的运行和变轨问题1人造卫星的动力学特征v2Mm222万有引力提供向心力即Gr 2ma mr mr m(T )rma2人造卫星的运动学特征（ 1）向心加速度 aGM，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。r 2（ 2）由线速度 v GMr ，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。学习必备欢迎下载GM（ 3）角速度 r 3 ， 随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。r 3（ 4）周期 T 2， 随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。GM【例】如图所示， a、 b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面
11、的高度分别是R和 2R( R为地球半径 ) 下列说法中正确的是（）A 、的线速度大小之比是2 1a bB a、b 的周期之比是 1 22C a、b 的角速度大小之比是36 4D a、b 的向心加速度大小之比是9 43卫星的环绕速度和发射速度GM不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度v，其大小随半径的增大而减小但是，由于在r人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即发射速度环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度4人造地球卫星的超重和失重(1) 人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动
12、；在返回地面时，有一段减速运动这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态(2) 人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）5. 卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：GMmma =v2mr2 mr22r2m(T)r当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F引> m v2时 ,r卫星向近地心的轨道运动, 即做向心运动v2, 即做离心运动。; 当 F引 < m时
13、, 卫星向远地心的轨道运动r变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力F 引=GMm，在开始变轨时F 引不变；r 2F 向= m v 2二是飞船所需要的向心力，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到r使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。v2(1) 当 v 增大时，所需向心力 mr 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的vGM圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由r 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加2(2) 当卫星的速度突然减小时，向心力mvr 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨
14、道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由vGM 知r运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少( 卫星的发射和回收就是利用了这一原理)学习必备欢迎下载【例】 1、如图 4 42 所示， a、 b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3 颗人造卫星，下列说法正确的是 ()A b、 c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B b、 c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度C c 加速可追上同一轨道上的b， b 减速可等到同一轨道上的cD a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r ，后
15、来变为 r ( r<r ) ，用 E 、 E 表示卫星在这两个轨道上的动能，T、T 表示1221k1k212卫星在这两个轨道上的运行周期，则()AE <E ，T<TBE <E ，T>Tk2k121k2k121C Ek2>Ek1， T2<T1D Ek2>Ek1， T2>T13、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为 340km 的椭圆轨道， 在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s 2）（ 1）飞船在椭圆轨道1 上运行， Q
16、为近地点， P 为远地点，当飞船运动到P 点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）A飞船在 Q点的万有引力大于该点所需的向心力轨道B 飞船在 P 点的万有引力大于该点所需的向心力C 飞船在轨道上P 点的速度小于轨道上P 的速度Q地球PD、飞船在轨道上P 点的加速度小于轨道上P 的加速度（ 2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）A从较低轨道上加速B. 从较高轨道上加速轨道C. 从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速考向三：“双星模型”问题在天体模型中， 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点
17、做周期相同的匀速圆周运动如图（ 1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（ 2）具有相同的周期T 和角速度（ 3）轨道半径和质量成反比r1m1m2L , r 2m1Lm1r 1 O r 2 m2m2m1m2（ 4）双星总质量4 2L3（其中 L 为双星间距， T 为周期）M 总GT 2【例】如图4 4 6，质量分别为和的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做mM匀速圆周运动，星球A 和 B两者中心之间的距离为L. 已知 A、 B 的中心和 O三点始终共线，A和B分别在O的两侧引力常量为.G(1) 求两星球做圆周运动的周期；(2) 在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将
18、月球和地球看成上述星球A和，B月球绕其轨道中心运行的周期记为T . 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心1做圆周运动的， 这样算得的运行周期记为T2. 已知地球和月球的质量分别为5.98 ×1024kg 和 7.35 × 1022 kg. 求 2 与1 两者平方之比 ( 结果保留 3 位小数 )TT考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力学习必备欢迎下载赤道1自T1T自v11 Ra12RF1ma1上1近地GM4 2R3GMGMF2ma2mg卫星2R3T2GM2v宇1a2R2g上R3自T3T自v33 ( R h)a2( R h)F3
19、ma3同步33GM42 (R h) 3GMGM卫星a33(R h)3T3GM3R h( R h) 2上同物132T1 T3T2v1 v3v2v宇1 a1a3a2g F1F3F2mg比较【例】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设、q的圆周运动速率分别为v1、2、v3 ，向心加速度分别为e pva1 、a2、 a3，则 ()1231<v2312313<a2A v>v>vB v<vC a >a >aD a <a考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）关键是：重力加速度g
20、（1）由黄金代换得g（ 2）由抛体运动或牛顿运动定律得g【例】我国在 20XX年实现探月计划“嫦娥工程”(1) 若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为同学们也对月球有了更多的关注g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径(2) 若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点已知月球半径为r ，万有引力常量为G，试求出月球的质量 M月考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间：据大 -小 t2 则
21、t2，大小而2T大T小T则 tT小T大2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：据大 -小 t则 t，大小而2T大T小则 t2T大 T小T【例 10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a 卫星离地面的高度等于R， b卫星离地面高度为3R，则：(1) a、 b 两卫星周期之比 TaTb 是多少？(2) 若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？学习必备欢迎下载【课时训练】m1m21对万有引力定律的表达式F G r 2 ，下列说法正确的是（）A公式中G为常量，没有单位，是
22、人为规定的B r 趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C 两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2 是否相等无关D两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6 倍若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为()A6 小时B12 小时 C 24 小时 D 36 小时3在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图44 7 所示下列说法正确的是 ()A宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与 1
23、1.2 km/s之间B若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上C宇航员将不受地球的引力作用D 宇航员对“地面”的压力等于零图 44 74“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为 v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时A r 、 v 都将略为减小B r 、v 都将保持不变C r 将略为减小， v 将略为增大D r将略为增大， v 将略为减小5天文学上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动是匀速圆周运动，周期分别是1 和2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一水平面上若在某时刻地球和火星都在太阳的一
24、TT侧，三者在一条直线上，那么再次出现这种现象( 已知地球离太阳较近，火星较远) 所需要的时间是（）1 2T TB12A T T222121 2TTD T TCT T2216已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。（ 1）推到第一宇宙速度v1 的表达式；（ 2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期 T。g7如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度2竖直向上匀加速17运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的18. 已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度(g 为地面附近的重力加速度)学习必备欢迎下载8如右图，质量分别为m和M的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L。已知A、B 的中心和O三点始终共线，A 和B 分别在O的两侧。引力常数为G。求两星球做圆周运动的周期。在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98 ×10 24kg 和 7.35 ×10 22kg 。求 T2 与 T1 两者平方之比。 （结果保留3 位小数）