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1、7的倍数的判定方法 本文摘要：本文介绍了7的倍数的判定方法，由此得出除2和5以外所有质数的判定方法并分别加以证明。在一本数学课外书中，介绍了一种7的倍数的判定方法，可以命名为连续割尾求差法。即要判定一个非零自然数是不是7的倍数，只要用这个数个位以前的数减去个位数的2倍，看其差是不是7的倍数即可。如果差比较大，难以看出是不是7的倍数，还可以用差的个位以前的数减去差的个位数的2倍，看第二次的差是不是7的倍数。这个过程可以一直持续到最后的差能看出是不是7的倍数为止。举例说明如下：例1：判定1528是不是7的倍数。 1528 - 168×2=16 _ 136152-16=136 -126&#
2、215;2=12_ 113-12=11不是7的倍数，所以1528不是7的倍数。除法验证：1528÷7=2182,得出1528确实不是7的倍数。例2：判定3794是不是7的倍数。 3794- 84×2=8_371379-8=371 - 21×2=2 _ 3537-2=3535是7的5倍，所以3794是7的倍数。除法验证：3794÷7=542，得出3794是7的倍数。那么7的倍数的这种判定方法是否具有普遍性？答案是肯定的。即除2和5以外的所有质数的倍数都可以用类似的方法进行判定。只不过个位数所乘的数有所不同，求差有时需要变成求和而已。具体说明如下：质数除2和
3、5以外，个位数无非只有1、3、7、9四种。这样我们可以根据个位数的不同，把除2和5以外的所有质数分成四类：10m+1型、10m+3型、10m-3型、10m-1型，其中m是保证所代表类型为质数的自然数。各种类型质数的倍数判定中个位数所乘的数及求差或求和列表如下：质数类型个位数所乘数求差或求和10m+1型m求差10m+3型3m+1求和10m-3型3m-1求差10m-1型m求和 下面举两例加以说明。例3：判定7516是不是23的倍数。说明：23属于10m+3型的质数，其中m=2,个位数要乘的数是3m+1=3×2+1=7,用求和法判定。7516 + 426×7=42 _ 79375
4、1+42=793 +213×7=21 _ 10079+21=100 100不是23的倍数，所以7516不是23的倍数。除法验证：7516÷23=32618,得出7516确实不是23的倍数。例4：判定2964是不是19的倍数。说明:19属于10m-1型的质数，其中m=2，个位数要乘的数是m=2，用求和法判定。2964+ 84×2=8_304296+8=304 + 84×2=8 _ 3830+8=3838是19的2倍，所以2964是19的倍数。除法验证：2964÷19=156，得出2964确实是19的倍数。从表中可以看出，个位数是1和9的质数的倍数
5、用这种方法判定比较简便，有一定的实用价值，因为个位数要乘的数较小；而个位数是3和7的质数的倍数用这种方法判定则相对麻烦，实用价值不大，因为个位数要乘的数较大。以上方法证明如下:假设非零自然数为n,n=10a+b.a为n的个位数以前的数，b为n的个位数。命题1：如果a-mb能被10m+1整除,那么，n=10a+b能被10m+1整除。（10m+1为质数）证明：10×(a-mb)=10a-10mb =10a+b-10mb-b =(10a+b)-b(10m+1)因为a-mb能被10m+1整除，所以10×(a-mb)也即(10a+b)-b(10m+1)能被10m+1整除。显然b(10
6、m+1)能被10m+1整除。所以n=10a+b能被10m+1整除。命题2：如果a+(3m+1)b能被10m+3整除,那么，n=10a+b能被10m+3整除。（10m+3为质数）证明：10×a+(3m+1)b=10a+10×(3m+1)b =10a+30mb+10b =10a+b+30mb+10b-b =(10a+b)+3b(10m+3)因为a+(3m+1)b能被10m+3整除，所以10×a+(3m+1)b也即(10a+b)+3b(10m+3)能被10m+3整除。显然3b(10m+3)能被10m+3整除。所以n=10a+b能被10m+3整除。命题3：如果a-(3m-
7、1)b能被10m-3整除,那么，n=10a+b能被10m-3整除。（10m-3为质数）证明：10×a-(3m-1)b=10a-10×(3m-1)b =10a-30mb+10b =10a+b-30mb+10b-b =(10a+b)-3b(10m-3)因为a-(3m-1)b能被10m-3整除，所以10×a-(3m-1)b也即(10a+b)-3b(10m-3)能被10m-3整除。显然3b(10m-3)能被10m-3整除。所以n=10a+b能被10m-3整除。命题4：如果a+mb能被10m-1整除,那么，n=10a+b能被10m-1整除。（10m-1为质数）证明：10×(a+mb)=10a+10mb =10a+b+10mb-b =(10a+b)+b(10m-1)因为a+mb能被10m-1整除，所以10×(a+mb)也即(10a+b)+b(10m-1)能被10m-1整除。显然b(10m-1)能被10m-1整除。所以n=10a+b能被10m-1整除。说明：命题及证明中n能被不同类型质数整除，即是说n是这些质数的倍数。这样除2和5以外的所有质数的倍数都能用连续割尾求差或求和法进行判定，只不过这种方法理论意义大于实用价值。但它的确是用除法直接判定质数倍数之外具有普遍性的一种方法。