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1、训练 23矩阵与变换(参考时间： 80 分钟 )已知12， 15.M，计算 M1217212(2012 ·苏北四市质量检测 )已知矩阵 M 34 .(1)求矩阵 M 的逆矩阵；(2)求矩阵 M 的特征值及特征向量已知矩阵1a2，其对应的特征向量是 12A，A 的一个特征值.31b1设向量 7，试计算 A5的值4·盐城中学模拟求使等式2 42 010(2012)M成立的矩阵 M .43 50 1105设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2 倍，纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换(1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵M1以及椭圆x2y2在 M1的作用下的新曲
2、线的方程49 16已知矩阵 A1 23. 7(1)求逆矩阵 1A；3，试求矩阵 X .(2)若矩阵 X 满足 AX1参考答案训练 23矩阵与变换解 矩阵的特征多项式为1 22M23.1f( )211令 f()0，解得 13，2 1，从而求得对应的一个特征向量分别为1，112 1 .令 m1n2，所以求得m4，n 3.55 35 5 5551M M (414(M3(M4( 3( · 3(2)1)2 )1 1)2 2)4 3119751)5. 1969412解(1)M 155.325521(2)矩阵 A 的特征多项式为f(x)342( 2)(4)3 65，令 f()0，得矩阵 M 的特征
3、值为 1 或 5， xy0，当 1 时，由二元一次方程得 xy 0，令 x1，则 y 3x3y0，1，1所以特征值 1 对应的特征向量为1 1 ；3x y0，当 5 时，由二元一次方程得 3xy 0，令 x1，则 y3， 3xy 0，所以特征值 5 对应的特征向量为 21.31 a 222a4，a 2，3解 由题设条件可得， 1 b2，即解得11 2 b 2， ，b 412得矩阵 A 14 . 1 22矩阵 A 的特征多项式为 f()1 560，解得 12，23.421当 12 时，得 1；当 23 时，得 2 ，112mn7，得 m3，n1，由 m1n2，得m n 4，5A51 25555
4、A(31A2 3(11 22)3(A ) 3×25 2 35 1 43511339mn2420104解 设 Mq，则51M1p3002m 2m12m 2n2n 4n212p q则?，即 M5p 3p33q5q55解20由题意 M，03(1)由 |M E|0 得， 1 2， 23，22 x0当 12，y0，取 x1；3y02x0当 23，x0，取 y1.33 y01所以，特征值为2 和 3，特征值 2 对应的特征向量，特征值 3 对应的特征00向量 1.10(2)由逆矩阵公式得： M 1 2，1032 2设 P(x0，y0)是椭圆 x4 y9 1 上任意一点 P 在 M 1 下对应 P(x， y)，则120xx0 2x，220xy 1xy0 3y， 所以，椭圆01y0 y ，491在 M的作用下的新曲3线的方程为 x2y2 1.6解1 a ba b 1 2a3b 2a 7b(1)设 A，则c3d 2c7dc dc d 3 7a3b 1，102a7b 0， .01c3d 0， 2c7d 1.a7，b 2，解得c3，d 17 2 A1.3 1(2)AX3 1 1 3，即 XA13AAXA，111 X7 23193 118 .