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1、带电粒子在磁场中的运动【例 1】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：。当 U=Bdv外电路断开时， 这也就是电动势 E。当外电路接通时， 极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是，但路端电压将小于。E=BdvBdv在定性分析时特别需要注意的是：正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向
2、相反。外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于，但电动Bdv势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。【例 2】 半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为p 型和 n 型两种。p 型中空穴为多数载流子； n 型中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p 型还是 n 型：将材料I放在匀强磁场中， 通以图示方向的电流I ，用电压表判定上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p 型半导体；若下极板电势高，就是 n 型半导体。试分析原因。解：分别
3、判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p 型半导体中空穴多，上极板的电势高；n 型半导体中自由电子多，上极板电势低。注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。3. 洛伦兹力大小的计算带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：mv2 mr,TBqBq- 1 -【例 3】 如图直线上方有磁感应强度为B的匀强磁场。 正、MN负电子同时从同一点以与成 30°角的同样速度v射入磁场（电BOMNv子质
4、量为 ，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时mMN间差是多少？O解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2 /3 。答案为射出点相距s2mv，时间差TBe为 t4 m 。关键是找圆心、找半径和用对称。3Bq【例 4】 一个质量为电荷量为q的带电粒子从x轴上的 （， 0）mP a点以速度 v，沿与 x 正方向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。 求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。/解：由射
5、入、射出点的半径可找到圆心 O，并得出半径为r2amv ,得B3mv ；射出点坐标为（ 0，3a ）。3Bq2aqyvO/voax带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。1、带电粒子在半无界磁场中的运动【例 5】一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率 v 垂直于屏 S 经过小孔 O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图 1 中纸面向里 .
6、OvB（1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与 O点的距离 .（2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置 P，证明 : 直线 OPP与离子入射方向之间的夹角 跟 t 的关系是qB t 。S2m解析：（ 1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为 r ，则据牛顿第二定律可得：- 2 -Bqvm v 2，解得 rmvrBq如图所示，离了回到屏S 上的位置 A 与 O点的距离为：=2rAO所以 AO2mvBq（2）当离子到位置P 时，圆心角：vtBq trm因为2，所以qB t .2m2穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。偏角
7、可由 tanr 求出。经历时间由 tmr v2得出。RBqv注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。O/【例 6】如图所示，一个质量为、电量为q的正离子，从 A 点正对着圆心以速度v射mO入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为。要B使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间 t. 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子B的重力。Av0O解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（ n2
8、），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2 / （ n+1） . 由几何知识可知，离子运动的半径为rR tann1离子运动的周期为 T2 m，又 Bqvm v2，qBr所以离子在磁场中运动的时间为t2R tan.vn1- 3 -【例 7】圆心为O、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的 O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v 从左侧沿OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求 OP 的长度和电子通过磁场所用的时间。MLAON解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，
9、半径为R。圆弧段轨迹 AB所对的圆心角为 ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动，如图 4 所示，连结 OB， OAO OBO，又 OA OA，故 OBO B，由于原有BP O B，可见 O、 B、P 在同一直线上，且OOP= AOB= ，在直角三角形P 中， O P=（ L+r ） tan ，2 tan()rP而tan2， tan()，所以求得R后就可以求出P了，电子RO2()21 tan2经过磁场的时间可用t = ABR 来求得。VV由 Bev m v 2得 R=mv .OP ( L r ) tanR eBtan( )reBr ，2RmV2 tan()2eBrmvtan22m2v 2
10、e2 B 2r 21tan()2O,P (Lr ) tan2( Lr )eBrmv，m 2v 2e2 B 2 r 2arctan(2eBrmv2 )2v2e2B2rmRm2eBrmv2 )tarctan(2v222rveBme BMLAOO,BRN/2P/2O/3穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。偏转角由sin =L/ R- 4 -求出。侧移由R2=L2- （ R-y） 2 解出。经历时间由tm得出。Bq注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！【例 8】如图所示，一束电子（电量为e）以速度 v 垂
11、直射入磁感强度为B，宽度为 d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是。解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图中的O 点，由几何知识知，AB间圆心角 30°， OB为半径。 r =d/sin30 ° =2d，又由 r =mv/ Be得 m=2dBe/v又AB圆心角是 30°，穿透时间= /12 ，故t=/3v。t Td带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量
12、 m和电量 e，若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度 v 必须满足什么条件？这时必须满足 r =mv/Be>d，即 v>Bed/m.【例 9】长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为 L，板不带电，现有质量为m，电量为 q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度v<BqL/4 m；B使粒子的速度v>5BqL/4 m；- 5 -C使粒子的速度v>BqL/ m；D使粒子速度BqL/4 m<v<5BqL/4 m。解
13、析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r 1 时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2 时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r 的最小值 r 1 以及粒子在左边穿出时r的最大值 r 2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：222得 r 1=5L/4 ，r 1 L +（ r 1- L/2 ）又由于 r=mv/ Bq得 v =5BqL/4 m， v>5BqL/4 m时粒子能从右边穿出。111粒子擦着上板从左边穿出时， 圆心在 O点，有 r L/4 ，又由 r mv/ Bq=L/4得 v BqL/
14、4 m22222</4时粒子能从左边穿出。vBqLm综上可得正确答案是A、 B。针对训练1如图所示，竖直向下的匀强磁场穿过光滑的绝缘水平面，平面上一个钉子O固定一根细线，细线的另一端系一带电小球，小球在光滑水平面内绕做匀速圆周运动 . 在某时刻细线O断开，小球仍然在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法一定错误的是A. 速率变小，半径变小，周期不变B.速率不变，半径不变，周期不变C.速率不变，半径变大，周期变大D.速率不变，半径变小，周期变小2如图所示， x 轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场. 有两个质量相同，电荷量也相同的带正、负电的离子（不计重力），以相同速度从O 点射入磁场中，射入方向与
15、x 轴均夹 角 . 则正、负离子在磁场中A. 运动时间相同B. 运动轨道半径相同- 6 -C.重新回到x 轴时速度大小和方向均相同D.重新回到x 轴时距 O点的距离相同3电子自静止开始经 M、N板间（两板间的电压为 u）的电场加速后从 A 点垂直于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中， 电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为 L，如图所示 .求匀强磁场的磁感应强度. （已知电子的质量为m，电量为 e）4已经知道，反粒子与正粒子有相同的质量，却带有等量的异号电荷. 物理学家推测，既然有反粒子存在，就可能有由反粒子组成的反物质存在.1998 年 6 月，我国科学家研制的阿尔法磁谱仪由“发现
16、号”航天飞机搭载升空，寻找宇宙中反物质存在的证据. 磁谱仪的核心部分如图所示， PQ、MN是两个平行板，它们之间存在匀强磁场区，磁场方向与两板平行. 宇宙射线中的各种粒子从板 PQ中央的小孔 O垂直 PQ进入匀强磁场区，在磁场中发生偏转，并打在附有感光底片的板 MN上，留下痕迹 . 假设宇宙射线中存在氢核、反氢核、氦核、反氦核四种粒子，它们以相同速度 v 从小孔 O垂直 PQ板进入磁谱仪的磁场区， 并打在感光底片上的 a、b、c、d 四点，已知氢核质量为 m，电荷量为 e，PQ与 MN间的距离为 L，磁场的磁感应强度为 B.（1）指出 a、 b、 c、d 四点分别是由哪种粒子留下的痕迹?（不要
17、求写出判断过程）（ 2）求出氢核在磁场中运动的轨道半径；（ 3）反氢核在 MN上留下的痕迹与氢核在 MN上留下的痕迹之间的距离是多少?5如图所示，在y0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸里，磁感应强度为B. 一带负电的粒子（质量为m、电荷量为 q）以速度 v0 从 O点射入磁场，入射方向在 xy 平面内，与x 轴正向的夹角为 . 求：- 7 -（ 1）该粒子射出磁场的位置；（ 2）该粒子在磁场中运动的时间 . （粒子所受重力不计）参考答案1A2.BCD3. 解析：电子在M、 N间加速后获得的速度为v，由动能定理得：122mv-0= eu电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半
18、径为r ，则：2vevB=mr电子在磁场中的轨迹如图，由几何得：LL2d 2L2d 2=r22L2mu由以上三式得： B= 22eL d4. 解 : （ 1）a、 b、c、d 四点分别是反氢核、反氦核、氦核和氢核留下的痕迹.- 8 -（2）对氢核，在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：v 2mvevBmRR eB（ 3）由图中几何关系知：so d R R2L2 mvm2 v22eBe2 B 2L所以反氢核与氢核留下的痕迹之间的距离sad2so d2mvm 2v22eB2Le2 B25. 解：（ 1）带负电粒子射入磁场后，由于受到洛伦兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从 A点射出磁场，设O、 A 间的距离为L，射出时速度的大小仍为v，射出方向与x 轴的夹角仍为 ，由洛伦兹力公式和牛顿定律可得：qv0 B=mv02R式中 R为圆轨道半径，解得：R= mv0qB圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得：- 9 -L = sin R2联解两式，得：L=2mv0 sinqB所以粒子离开磁场的位置坐标为（2mv0sin-， 0）qB（ 2）因为 T= 2 R = 2 mv0qB所以粒子在磁场中运动的时间，t 22T2m()2qB-10-