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1、复变函数与积分变换教学大纲Complex functions and integral transformation课程编码：09A00310 学分：3.0 课程类别： 专业基础课（必修课）计划学时：48 其中讲课：48 实验或实践：0 上机：0适用专业：自动化电气电子等专业推荐教材：王以忠、吕林燕等， 应用复变函数与积分变换，徐州：山东矿业大学出版社, 2014年.参考书目：西安交通大学高等数学教研室，复变函数（第四版），北京：高等教育出版社，1996年. 张元林，积分变换（第四版），北京：高等教育出版社，2003年. 课程的教学目的与任务复变函数与积分变换是高等工科学校机、电类本科专业的一
2、门重要基础课。主要包括两部分内容，即复变函数理论与积分变换理论。通过本课程的教学，使学生初步掌握这门课程的基本理论和基本方法，并具有运用复变函数与积分变换方法解决一些实际问题的能力，为以后学习工程力学、电学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程和有关专业的后继课程奠定必要的数学基础。课程的基本要求1、通过本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识，掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，并具有比较熟练的运算能力和分析解决实际问题的能力；2、培养学生抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，进而为学习后继课程及工程实际应用奠定良好的基础。各章节授课内容
3、、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章 复变函数与极限 建议学时：6教学目的与要求 掌握复数的概念、各种表示法及其运算;知道区域，连通区域，单连通区域，复连通区域的概念。理解复变函数的概念,知道复变函数的极限和连续的概念和性质。教学重点与难点 复数的各种表示法及其运算，复变函数的概念; 映射的概念授 课 方 法 课堂讲授授 课 内 容第一节 复变函数 1. 复变函数的概念2. 复变函数的几何意义3. 平面向量场第二节 初等函数1. 指数函数2对数函数3幂函数4. 三角与双曲函数5. 反三角与反双曲第三节 复变函数的极限与连续性第二章 解析函数 建议学时：6教学目的与要求 理解复变函数的导
4、数概念与解析函数的概念。会用柯西黎曼（CauchyRiemann）条件审定复变函数的解析性，知道解析函数与调和函数的关系，能从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。知道常见复变初等函数（如指数函数、三角函数、对数函数、根式函数）的定义及其解析性（包括多值函数在单值域中的解析性）。了解导数的几何意义教学重点与难点 解析函数的概念，函数解析的充要条件；导数的几何意义的理解，函数解析的判定。授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课 内 容第一节 复变函数的导数1.复变函数导数与微分的定义2.复变函数的导数的运算法则3.复变函数的导数的几何意义4. 函数可导的充分必要条件第二节 解析函数1
5、. 解析函数的概念2.函数解析的充分必要条件3.初等函数的解析性第三节 调和函数1.调和函数的定义2.调和函数与解析函数的关系3.平面场的复势 第三章 复变函数的积分 建议学时：8教学目的与要求 了解复变函数积分概念及其基本性质。会求简单的复变函数的积分。了解柯西（Cauchy）积分定理（分单连通域和多连通域）；掌握柯西积分公式；知道解析函数的无穷次可微性。教学重点与难点 复变函数积分概念，复变函数积分的计算；柯西积分公式的应用；解析函数无穷次可微的理解。授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课 内 容第一节 复积分的概念 1. 复积分的定义2. 复积分的计算3. 复积分的性质第二节
6、柯西积分定理1. 柯西积分定理2. 解析函数的积分第三节 柯西积分公式1. 柯西积分公式2. 最大模原理第四节 解析函数的高阶导数1. 解析函数的高阶导数2. 代数学基本定理第五节 复积分的应用第四章 傅里叶变换 建议学时：8教学目的与要求 了解傅氏积分定理；理解傅里叶变换及傅里叶逆变换概念，了解单位脉冲函数概念及其傅氏变换，了解广义傅氏变换，了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换性质。教学重点与难点 傅氏变换的定义性质和运算；利用傅氏变换式与傅氏逆变换式计算初等函数及其与单位脉冲函数有关的傅氏变换与傅氏逆变换,还可解决非周期函数的频谱问题。授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课 内
7、容第一节 傅里叶积分 1.傅里叶级数2.傅里叶积分公式3.傅里叶变换第二节 单位脉冲函数1. 单位脉冲函数2. 单位脉冲函数的傅氏变换第三节 傅氏变换的性质1. 基本性质2. 卷积与卷积定理第四节 傅氏变换在轨道结构动力分析中的应用第五章 拉普拉斯变换 建议学时：6教学目的与要求 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换性质(初值定理不作要求)； 掌握用留数求拉氏逆变换的方法；理解拉氏变换卷积概念及卷积定理。教学重点与难点 拉氏变换的定义性质和运算；利用拉氏变换的性质与留数熟练计算函数的拉氏变换与逆变换.授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课
8、 内 容第一节 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换的定义2. 拉式变换存在定理第二节 拉氏变换的性质1. 线性与相似性质2. 微分性质3. 积分性质4. 延迟与位移性质5. 卷积定理6. 初值与终值定理第三节 拉氏逆变换第四节 拉氏变换的应用1. 微分方程、积分方程的拉氏变换解法2. 应用实例第六章 级 数 建议学时：6教学目的与要求 知道复数项级数收敛、发散及绝对收敛的概念；了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径。知道幂级数在收敛圆内一些基本性质；了解解析函数的泰勒(Taylor)展开定理；会用 、sinz、cosz、ln(1+z)、 的麦克劳林(Maclaurin)展开式，将一
9、些常见的简单的解析函数展成幂级数；了解罗朗（Laurent）定理及孤立奇点的分类（包括无穷远点）；会用间接方法求简单解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式。教学重点与难点 将解析函数展成幂级数，将解析函数展成罗朗级数；函数的洛朗展开授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课 内 容 第一节 收敛序列与收敛级数 1. 收敛数列2. 数项级数3. 函数项级数第二节 幂级数1. 幂级数的概念2. 幂级数的收敛半径3. 幂级数和函数的性质第三节 泰勒级数第四节 罗朗级数第七章 留数及其运用 建议学时：6教学目的与要求 了解留数的概念；掌握函数在极点处的留数求法；了解留数定理、会用留数定理计算一些复变函数的积分；知道无穷远点的留数的定义和计算方法；留数在定积分计算中的应用。教学重点与难点 留数定理，函数在极点处的留数求法；留数概念，留数的应用.授 课 方 法 课堂讲授为主，课下辅导为辅授 课 内 容第一节 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的概念与分类2. 零点与极点的关系3. 函数在无穷远点的性态第二节 留 数1. 留数的概念及留数定理2. 函数在极点的留数3. 无穷远点的留数第三节 留数的应用1. 留数在定积分计算中的应用2. 留数在反演积分中的应用撰稿人：吕林燕 审核人：杨殿武