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1、2 2常用不等式的解法一、一元一次不等式 ax >b ( a ¹0)的解集情况是：（1）当a >0时，解集为x | x >ba；（2）当 a <0 时，解集为x | x <ba。类型（设 a <b ） x >a解集数轴表示x >bx <ax <bababx >ax <bx <aabx >bab【例】 解关于 x 的不等式：ax -a2+3a >x +2【课堂练习】：当 k 为何值时，关于 x 的方程 4( x -3) =k ( x -1)的解是正数？是负数？二、一元二次不等式的解法1、一般形式：
2、ax +bx +c >0 或 ax +bx +c <0（a ¹0）2、两种解法：（1）先分解因式，再转化成一元一次不等式组求解。12 22 2【例】解关于 x的不等式：x 2 -ax -6 a 2 <0。（2）利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在联系求解。a >0，D=b2-4acD>0D=0D<0二次函数 y =ax2 +bx+c的图象一元二次方程ax2 +bx +c =0的根不等式ax2+bx +c >0的解集不等式ax2+bx +c <0的解集【例】解下列一元二次不等式：（1）2x +x +4 £0 ； （2
3、） 4 x -2 x <5【例】（1）关于x的不等式ax2+bx +2 >0的解集为1 1( - , )2 3，则a +b=_ 。（2）关于x的不等式ax +bx +c >0 的解集为 (-1,2) ，则不等式 cx +bx +a <0的解集为_。2【例】（1）如果集合A = x | ax2-ax +1 <0 =Æ，则实数 a 的取值范围是_；（ 2 ） 若 不 等 式ax2+ax -5 <0的 解 为 一 切 实 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_；（3）不等式( a 2 -1)x 2 -( a -1) x -1 <0对任意实
4、数 x恒成立，则实数 a的取值范围是_。【注】：要使不等式ax2 +bx +c >0对一切实数 x 恒成立的，则一般分这两种情况讨论：一种是当a=0时特殊情况；一种是当 a >0 且 D<0 时的情况【课堂练习】：1、设关于 x的不等式x2 -(2 a +1) x +a 2 +a -2 >0 和 x 2 -( a 2 +a ) x +a 3<0（其中a >1）的解集分别为A和B。若A I B =Æ，求 a的取值范围；2、已知关于 x 的不等式ax21+bx +c <0 的解集是 x | x <-2或 x >- 2，则不等式ax 2
5、 -bx +c >0的解集是_三、其他不等式的解法1、一元高次不等式的解法一元高次不等式f ( x) >0 （或 f ( x) <0），一般用数轴标根法求解，其步骤是：（1） 将（2） 将f ( x)f ( x)的最高次项的系数化为正数；分解为若干个一次因式的积；3（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（4）根据曲线显现出f ( x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。如：若a <a <a <L<a 1 2 3n，则不等式(x -a )(x -a )L(x -a ) >01 2 n或( x -a )(x -a ) L
6、 ( x -a ) <01 2 n的解法如下图（即“数轴标根法”）：1、 分式不等式的解法【思想】：等价转化为同解的整式不等式（组）。 【方法】：数轴标根法。对于解f ' ( x ) f ' ( x )<a或 ³a g ' ( x ) g '( x)型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成f ( x) f ( x )>0(<0)或 ³0( £0) g ( x) g ( x)的形式，再转化为整式不等式求解。f ( x)g ( x)f ( x )>0 Û f ( x ) g ( x ) >0
7、 （1）g ( x )f ( x ) g ( x) ³0f ( x )³0 Û<0 Û f ( x ) gg( x( x) )<0g ( x) ¹0（2）f ( x)g ( x)£0 Ûf ( x ) g ( x) £0 g ( x) ¹0（3） （4）2 x +1【例】 解下列不等式：（1） >3 （2）2 -xx2+2 x -8 x +3£0（3）5x 2 -10 x +3 3x 2 -7 x +2³1（4）( x -1)2 ( x +2) x 2 -7 x +1
8、2£04ïa =í3、含有绝对值的不等式的解法1绝对值的概念：ì a ( a >0) 0 (a=0)ïî-a(a<0)2含绝对值不等式的解：（1）（2）（3）（4）| x |<a( a >0) Û -a <x <a| x |³a( a >0) Û x £-a或x ³a| f ( x) |£a ( a >0) Û -a £ f ( x) £a| f ( x) |>a ( a >0)
9、19; f ( x ) <-a或f ( x ) >a注：当a £0时，| x |<a无解，| x |>a的解集为全体实数。3、思想：去绝对值。方法：1）根据绝对值的意义进行分类讨论；2）当不等式两边非负时，同时平方，去掉绝对值。【例】 （1）| x -2 |<|x +1|（3）4 x -3 >2 x +1（4）| 2x +1| +| x -2 |>4练习：1、不等式x -2 x -2>x x的解集是（ ）A.(0，2)B.( -¥，0)C.(2，+¥)D.（-¥，0）È(0，+¥)2、设
10、函数f ( x ) = 2x +1 - x -1,求使 f(x)22的 x 的取值范围。3、若不等式| x -4 | +| x -3| <a的解集为非空集合，则实数 a 的取值范围是（）Aa >7B1 <a <7Ca >1Da ³1523四、其他形式的不等式的解法1、不等式2 x2+1 -x £1的解集是 .2 、 若 行 列 式4 5 x1 x 37 8 9中 ， 元 素 4 的 代 数 余 子 式 大 于 0 ， 则 x 满 足 的 条 件 是_ .3、已知函数ì f ( x) =íîx +2,-x +2,x
11、£0x >0，则不等式f ( x ) ³x2的解集是( )A.-1,1B.-2,2C.-2,1D.-1,2ìï2ex-1,x<2,4、设 f(x)= íïîlog( x -1), x ³2,则不等式 f(x)>2 的解集为( )(A)（1，2） È （3，+） (B)（ 10 ，+）(C)（1，2）È（10，+） (D)（1，2）5、在 R 上定义运算Ä : x Ä y =x(1 -y ).若不等式( x -a ) Ä ( x +a ) <1
12、对任意实数x成立，则 （ ）A-1 <a <1B0 <a <2C 1 3- <a <2 2D-3 1<a <2 26、不等式23x - +1x£12的解集为 7、不等式 log ( x +21x+6) £3 的解集为61x | x £-1或x ³1x | -1 £x <0或x ³1x | x £-1或0 £x £1x | x £-1或0 <x £18、解不等式：log (3 x12 - 2 x - 5) £ log
13、(4 x 21+ x - 5)2 29、不等式log2x -1x1 的解集为 ( )A(-¥,-1B-1,+¥)C-1,0)D(-¥,-1U(0,+¥)10、已知r ura =( x, -1)与 b =(1, ),x则不等式r r a ×b£0的解集为 （ ）A B C D 11、在 R 上定义运算Ä : x Ä y =x(1 -y ).若不等式( x -a ) Ä ( x +a ) <1对任意实数x成立，则A.-1 <a <1B.0 <a <2C.-1 3 3 1<a
14、 < D. - <a < 2 2 2 2五、课外练习1、对于任意实数 x ，不等式ax2-4 ax +9 >0恒成立的充要条件是_。2、已知命题 p：不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R，命题 q：命题f ( x) =-(5 -2 m )x是减函数，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必 要条件（2）( x -3)( x -4) >-17-3，2- ，32( é1 ö÷ê( é 1 ö÷ê3、不等式x +5 ( x -1)2
15、2的解集是（ ）Aé 1 ùê úë ûBé 1 ùê úë ûC，1 U 1，3 ë2 øD- ，1 U 1，3 ë 2 ø4、已知集合 Ax | x <a，Bx |1 <x <2，且A U ( B ) =RR，则实数a的取值范围是（ ）Aa £2B a<1 Ca ³2Da>25、已知集合A = x |10x +3³1, x ÎR ， B = x | x2-(3a -1)x +2 a2-a <0, x Î R。（1）若a =-2，求A U B;（2）若B Í A，求实数 a的取值范围。8