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1、广义胡克定律,主讲教师：王明禄,2021年12月7日星期二,78 广义胡克定律,P,P,=,+,1,2,2,1,一、平面应力状态的广义胡克定律,正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；,二、三向应力状态的广义胡克定律,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,三、主应力状态的广义胡克定律,1,2,3,四、应力-应变关系,例1 已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题
2、意可得：,即为平面应力状态，有,联立两式可解得：,主应变2为：,其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。,例2边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x 、y 、z 和应变x 、y 、z 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,P,x,y,z,x,y,z,例3薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、 已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一点的轴向应力：,筒壁一点的环向应力：,k,p,t,D,x,
3、x,y,y,45,-45,45,-45,例4受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab 。,A,B,m,m,d,a,b,45,解：,A,B,m,m,d,a,b,45,45,-45,例5 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max =80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。,D,
4、t,x,y,m,k,可求得:,解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 如图 所示,k点处的线应变 x , y 为,圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为,同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处的径向应变为,79 复杂应力状态下的体积应变、比能,一、体积应变,dx,dy,dz,dx+dx,dy+dy,dz+dz,略去高阶微量，得,单元体的体积应变,代入式,得：,纯剪应力状态：,可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为,体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。,令,m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。,二、比能,单位体积的变
5、形能称为变形能密度，简称比能。, 单向拉压比能,dx,dz,dy,d(l),dx,dz,dy, 纯剪切比能,dx,dy,dz, 复杂应力状态的比能, 体积改变比能与形状改变比能,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。,状态2的体积应变：,状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状改变比能uf。,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,例1边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑
6、比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积应变V 和形状改变比能uf 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,x,y,z,例2证明弹性模量E 、泊桑比 、剪切弹性模量G 之间的关系为 。,3,1,证明：,纯剪应力状态比能为,用主应力计算比能,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论：最大切应力理论和最大畸变能密度理论,(2) 塑性屈服：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压
7、。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-10 强度理论概述,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,7-11 四种常见强度理论及强度条件,断裂条件,铸铁拉伸,铸铁扭转, 局限性：,1、未考虑另外二个主应力影响，,2、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3、对塑性材料的破坏无法解释，,4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。,实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符
8、合，如铸铁受拉、扭。,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,断裂条件,即,最大切应力是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉
9、伸实验测得,屈服条件,强度条件,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,轴向拉、压（单向应力状态）,圆轴扭转（纯剪切应力状态）,第三强度理论在工程中实际问题中的应用,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。,4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单
10、拉实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,强度理论的统一表达式：,相当应力,例1:试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？,解：危险点A的应力状态如图,例2 直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力 T=7kNm, P=50kN =40MPa, 用第一强度理论校核强度,安全,例3 薄壁圆筒受最大内压时, 测得x=1.8810-4 y=7.3710-4, 用第三强度理论校核其强度 ( E = 210GPa, = 170MPa, = 0.3 ),解：由广义虎克定律得,所以，此容器不满足第三强度理论, 不安全,作业与练习,作业：7.27；7.36,练习：7.33；7.34,